Задание 13 ЕГЭ база: конус, цилиндр и пирамида

Q: Изменится ли задание 13 в 2027 году?

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года [5] базовый уровень не меняется, обновлены лишь отдельные образцы, так что тренироваться можно на задачах прошлых лет.

Q: Почему в ответе часто нет числа π?

Потому что в задачах на отношения \pi входит в оба объёма и сокращается. В остальных случаях условие обычно просит разделить ответ на \pi.

Что проверяет задание 13 и сколько баллов

Задание 13 — это задача с кратким ответом на объёмы тел вращения и многогранников: конуса, цилиндра, пирамиды, призмы. За верное число ставится 1 первичный балл^[1].

В базовом ЕГЭ 21 задание, 180 минут и пятибалльная отметка: «3» — от 7 баллов, «5» — от 17. Стереометрия встречается в варианте дважды. В задании 11 считают конкретный объём бака или площадь коробки, а в задании 13 чаще спрашивают о соотношениях: в каком отношении находятся объёмы конуса и цилиндра с общим основанием, во сколько раз уменьшится пирамида при сечении, как изменится цилиндр при изменении радиуса и высоты.

Главное, что проверяет номер, — понимание, как объём зависит от размеров. Конус и пирамида втрое меньше цилиндра и призмы, радиус входит в формулу во второй степени, а подобие переносится на объём кубом коэффициента. С этими тремя идеями решается подавляющее большинство вариантов. Спецификация ФИПИ для базового уровня относит такие задачи к стереометрии, а демоверсия ФИПИ показывает образец формулировки — без чертежа сложнее, чем с ним, поэтому рисунок в черновике обязателен.

Формулы объёмов конуса, цилиндра, пирамиды и призмы

Для задания 13 нужны 4 формулы, и они попарно похожи: объём цилиндра и призмы — площадь основания на высоту, объём конуса и пирамиды — треть этого произведения.

Тело	Объём	Что важно для отношений
Цилиндр	$V = \pi r^2 h$	радиус в квадрате, высота в первой степени
Конус	$V = \frac13 \pi r^2 h$	втрое меньше цилиндра с теми же $r$ и $h$
Призма	$V = S_{\text{осн}} h$	не зависит от формы основания, только от его площади
Пирамида	$V = \frac13 S_{\text{осн}} h$	втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой

Эти формулы выводятся в курсе геометрии 10–11 классов по учебнику Атанасяна^[2], но для задания достаточно уметь ими пользоваться. В учебнике каждая из них доказывается как отдельная теорема, а теорема об объёме подобных тел даёт правило куба коэффициента. Например, цилиндр с радиусом 2 и высотой 6 имеет объём $24\pi$ , а конус с теми же размерами — $8\pi$ . Если ответ просят разделить на $\pi$ , в бланк пойдут 24 и 8. Подробная теория с площадями поверхностей — в разделе цилиндр, конус и шар.

Правило одной трети: конус и цилиндр, пирамида и призма

Если конус и цилиндр имеют общее основание и равные высоты, объём конуса ровно в 3 раза меньше. То же верно для пирамиды и призмы с общим основанием и общей высотой.

Призма и пирамида имеют общее основание и равные высоты. Объём пирамиды равен 9. Найдите объём призмы.

Объём пирамиды — треть объёма призмы, значит, призма втрое больше: $9 \cdot 3 = 27$ . Ответ: 27. Обратная задача — по объёму цилиндра найти объём вписанного в него конуса — решается делением на 3. Конусы с общим основанием и равной высотой имеют равные объёмы, даже если вершина одного смещена в сторону: теорема об объёме пирамиды и конуса учитывает только площадь основания и высоту.

Похожий сюжет — пирамида, отсечённая от куба плоскостью через три вершины, соседние с одной вершиной. Основание — прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $a$ , высота $a$ , объём $\frac13 \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$ . При ребре куба 6 объём пирамиды равен $216 : 6 = 36$ , то есть шестая часть куба.

Миф: «конус занимает половину цилиндра, раз он сужается к вершине равномерно». Это неверно: доказано, что объём конуса составляет ровно треть объёма цилиндра с теми же основанием и высотой. Интуиция про «половину» не подтверждается ни расчётом, ни опытом с переливанием воды.

Подобные тела: коэффициент в кубе

Если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, площади вырастут в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз. Это правило работает для любых подобных тел: конусов, пирамид, кубов.

Объём конуса равен 48. Через середину высоты параллельно основанию проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

Меньший конус подобен большому с коэффициентом $\frac12$ : его высота и радиус вдвое меньше. Объём меньше в $2^3 = 8$ раз: $48 : 8 = 6$ . Ответ: 6. Все конусы, отсечённые плоскостями, параллельными основанию, подобны исходному. Частая ошибка — разделить на 2 или на 4: это отношения высот и площадей оснований, а не объёмов.

В сосуд в форме конуса, поставленного вершиной вниз, налили 15 мл жидкости, и она заполнила его до половины высоты. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы заполнить сосуд доверху?

Жидкость образует конус, подобный сосуду, с коэффициентом $\frac12$ , поэтому её объём — $\frac18$ объёма сосуда. Объём сосуда $15 \cdot 8 = 120$ мл, долить нужно $120 - 15 = 105$ мл. Ответ: 105. Подобие тех же треугольников в плоскости разобрано в материале подобие треугольников и отношение площадей.

Изменение радиуса и высоты цилиндра

Чтобы понять, как изменится объём цилиндра или конуса, отдельно учитывают радиус и высоту: изменение радиуса в $n$ раз меняет объём в $n^2$ раз, изменение высоты в $m$ раз — в $m$ раз.

Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Объём исходного цилиндра равен 12. Найдите объём нового цилиндра.

Радиус даёт множитель $3^2 = 9$ , высота — $\frac12$ . Новый объём: $12 \cdot 9 : 2 = 54$ . Ответ: 54. Порядок действий не важен, но удобнее сначала разделить, если число делится нацело. Вычислять полный объём через $\pi r^2 h$ не стоит: сравнение множителей короче и надёжнее.

Тот же приём сравнивает два разных цилиндра. Пусть радиус первого вдвое больше радиуса второго, а высота первого втрое меньше. Отношение объёмов: $\frac{2^2}{3} = \frac43$ . Если объём второго равен 27, объём первого — $27 \cdot \frac43 = 36$ .

Не путать: в задании 13 работают отношения объёмов, а в задании 11 о баках и уровне воды обычно ищут конкретное число кубических сантиметров. Стереометрия профильного уровня с более сложными телами — в задании 3 профильного ЕГЭ.

Ловушки, проверка и запись ответа

Чтобы проверить ответ, оцените направление изменения: если размеры уменьшились, объём не может вырасти; если тело вписано в другое, его объём меньше. Затем проверьте, правильно ли выбрана степень.

Степень коэффициента. Длины — $k$ , площади — $k^2$ , объёмы — $k^3$ . Половина высоты — это восьмая часть объёма.
Радиус и диаметр. Увеличение диаметра в 2 раза — то же, что увеличение радиуса в 2 раза: объём растёт в 4 раза.
Лишнее $\pi$ . Если ответ просят разделить на $\pi$ , его не подставляют: $24\pi$ — это ответ 24.
Вершина вниз. В задачах о сосуде-конусе важно, где вершина: у сосуда вершиной вверх жидкость до половины высоты занимает 7/8 объёма, а не 1/8.

В бланк записывают одно число: 6, 54, 105. Дробный ответ — через запятую, например 4,5.

Тренажёр по заданию 13

Генератор вверху страницы выдаёт 3 сюжета в бесконечных вариантах: малое тело, отсечённое сечением через середину высоты, тело с общим основанием и высотой и объём по площади основания и высоте.

Введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет, какое правило сработало, «Следующая задача →» выдаст новые числа, а полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогут оценить прогресс. Короткие подходы в разные дни полезнее одного длинного: распределённое повторение эффективнее занятий подряд^[3]. Дополнительные задачи есть в сборниках типовых вариантов базового уровня под редакцией И. В. Ященко^[4].

Когда правило отношений не подходит

Не во всех задачах можно обойтись коэффициентами — иногда тела не подобны, и правило куба применять нельзя.

Если изменился только 1 размер — например, высота, — тела не подобны, и объём меняется во столько же раз, что и высота, а не в куб коэффициента.
Если секущая плоскость проходит через 2 точки на боковых рёбрах на разной высоте, отсечённая часть не подобна исходному телу.
Если тела имеют разные основания, например квадрат со стороной 3 и круг радиусом 3, правило одной трети нужно применять к площадям, вычисленным отдельно.
Если в задаче шар, формула $V = \frac43 \pi R^3$ тоже даёт куб радиуса: увеличение радиуса в 2 раза увеличивает объём в 8 раз.

Чего делать нельзя

Нельзя переносить отношение длин на объёмы без возведения в степень — это самая дорогая ошибка номера.

Нельзя считать, что половина высоты даёт половину объёма у подобных тел.
Нельзя применять правило одной трети к телам с разными основаниями или высотами без пересчёта.
Не следует подставлять $\pi \approx 3{,}14$ , если в условии сказано «ответ разделите на $\pi$ ».
Не следует возводить в куб коэффициент, если изменился только один размер.
Не стоит решать задачу о сосуде без рисунка: положение вершины меняет ответ.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[5] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Выдают ли формулы объёмов на экзамене?

Перечень разрешённых материалов указан в спецификации базового уровня, но надёжнее знать формулы самому. Запомнить нужно 4 формулы из таблицы выше, и две из них отличаются от двух других только множителем одна треть. Доказывать их на экзамене не нужно: в задании с кратким ответом ФИПИ проверяет только число в бланке.

Изменится ли задание 13 в 2027 году?

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года^[5] базовый уровень не меняется, обновлены лишь отдельные образцы, так что тренироваться можно на задачах прошлых лет.

Почему в ответе часто нет числа π?

Потому что в задачах на отношения $\pi$ входит в оба объёма и сокращается. В остальных случаях условие обычно просит разделить ответ на $\pi$ .

Нужно ли знать формулу площади поверхности?

Иногда спрашивают, во сколько раз изменится площадь поверхности подобного тела. Тогда работает правило квадрата коэффициента, и сама формула не нужна.

Сколько минут уходит на этот номер?

Обычно 2–3 минуты. Если правило не вспоминается сразу, выпишите формулу объёма и подставьте новые размеры — это всегда надёжно.

Что делать, если ответ получился дробью вроде 13,5?

Это допустимо: запишите десятичную дробь через запятую. Если же вышла бесконечная дробь, проверьте, не перепутаны ли степени коэффициента. Обзор всех номеров базового уровня — на странице ЕГЭ по математике базового уровня.