Планиметрия базового ЕГЭ: углы, косинус, тангенс и радиусы окружностей

Что проверяет задание 12 и сколько баллов

Задание 12 — это классическая геометрическая задача с кратким ответом: треугольник, окружность или их сочетание. За верное число ставится 1 первичный балл из 21 возможного^[1].

Базовый ЕГЭ оценивается отметкой: «3» — от 7 первичных баллов, «4» — от 12, «5» — от 17. Геометрия в варианте занимает несколько номеров подряд: площади по клеткам, практическая планиметрия, стереометрия. Номер 12 среди них самый «школьный»: вершины подписаны буквами, углы даны в градусах, а сюжет без бытовой оболочки. Это удобно — не нужно переводить текст в модель, но нужно точно помнить определения. Чертёж при этом не обязан быть точным: равные на вид треугольники могут оказаться разными, поэтому опираться можно только на данные условия.

Три темы покрывают почти все варианты: тригонометрия прямоугольного треугольника, углы треугольника и окружности, радиусы вписанной и описанной окружностей. Ниже по каждой — правило и разобранный пример.

Реже попадаются подобные треугольники и задачи на четырёхугольники, но в базовом уровне они почти всегда сводятся к тем же прямоугольным треугольникам. Доказательств писать не нужно: проверяется только число. Однако угадать его не получится — без формулы ответ не может совпасть случайно, ведь варианты ответа не предлагаются. Решать такие задачи стоит только после того, как уверенно освоены три основных блока.

Три блока тем и главные формулы

Для задания 12 нужно около 10 формул. Их удобно держать таблицей: слева — что дано, справа — чем находить ответ.

Все эти факты есть в учебнике геометрии Атанасяна для 7–9 классов^[2]. Значения синуса, косинуса и тангенса углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ полезно помнить или уметь быстро вывести из треугольника. Подсказка, как их не зубрить, — на странице значения синуса и косинуса основных углов.

Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике

Если в треугольнике есть прямой угол и дана тригонометрическая функция острого угла, задача решается одним умножением или делением. Главное — правильно назвать, какой катет противолежащий, а какой прилежащий.

Пример 1. Катет через косинус

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AB = 15$, $\cos B = 0{,}6$. Найдите $BC$.

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий к углу $B$ катет — $BC$, гипотенуза — $AB$. Значит, $BC = AB \cdot \cos B = 15 \cdot 0{,}6 = 9$. Проверка: второй катет $\sqrt{15^2 - 9^2} = 12$, получилась тройка 9, 12, 15 — всё сходится. Ответ: 9.

Пример 2. Гипотенуза через тангенс

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC = 8$, $\operatorname{tg} A = 0{,}75$. Найдите $AB$.

Тангенс угла $A$ — отношение противолежащего катета $BC$ к прилежащему $AC$: $BC = 8 \cdot 0{,}75 = 6$. Гипотенуза по теореме Пифагора: $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$. Ответ: 10. Подробно определения разобраны в статье тригонометрия острого угла прямоугольного треугольника.

Миф: «синус угла — это противолежащая сторона, делённая на любую другую сторону». Это неверно: в прямоугольном треугольнике синус острого угла — отношение противолежащего катета именно к гипотенузе. Если поделить на второй катет, получится тангенс, и ответ будет другим.

Углы треугольника и вписанные углы

Задачи на углы — самые короткие в задании 12: 1–2 действия на сумму углов, свойство равнобедренного треугольника или связь вписанного и центрального угла.

Пример 3. Вписанный угол

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$, центральный угол $AOB$ равен $124^\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$, опирающийся на дугу $AB$, не содержащую точку $C$. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: $124 : 2 = 62^\circ$. Ответ: 62. Если же точка $C$ лежит на меньшей дуге $AB$, вписанный угол опирается на большую дугу и равен $(360 - 124) : 2 = 118^\circ$ — поэтому внимательно смотрите на чертёж.

Ещё два факта, которые часто дают готовый ответ. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $40^\circ$ углы при основании равны $(180 - 40) : 2 = 70^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: если углы равны $47^\circ$ и $68^\circ$, внешний угол при третьей вершине — $115^\circ$. Больше об углах в окружности — в разделе центральные и вписанные углы.

Радиусы вписанной и описанной окружности

Если треугольник прямоугольный, обе окружности находятся почти устно: радиус описанной окружности — половина гипотенузы, радиус вписанной — полусумма катетов минус половина гипотенузы.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус описанной и радиус вписанной окружности.

Гипотенуза: $\sqrt{36 + 64} = 10$. Центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому $R = 10 : 2 = 5$. Радиус вписанной: $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$. В экзаменационной задаче спросят что-то одно, и в бланк пойдёт либо 5, либо 2. Формула $R = \frac{c}{2}$ верна только при прямом угле: в остальных случаях центр не лежит на стороне, и половина стороны радиусом не является.

Для непрямоугольного треугольника работает теорема синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Если сторона 7 лежит против угла $30^\circ$, то $2R = 7 : 0{,}5 = 14$ и $R = 7$. Теорема доказывается в 9 классе; подробнее — в статье вписанная и описанная окружности.

Не путать: в задании 12 фигура задана чертежом с буквами, а в задании 10 про лестницы, заборы и тени его нужно сначала увидеть в бытовом описании.

Типичные ловушки и проверка ответа

Чтобы проверить ответ, сравните его с остальными сторонами: катет всегда меньше гипотенузы, против большего угла лежит большая сторона, а сумма углов равна $180^\circ$. Нарушение любого из этих фактов — сигнал ошибки. Отношение катета к гипотенузе не может быть больше 1: если получилось $\cos B = 1{,}2$, стороны перепутаны.

• Перепутан катет. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, для угла $A$ — $AC$: буква угла всегда входит в название прилежащего катета.
• Не та дуга. Вписанный угол опирается на дугу, не содержащую его вершину.
• Радиус вместо диаметра. Формула $\frac{a}{\sin A} = 2R$ даёт диаметр, а не радиус — не забудьте разделить на 2.
• Градусы в бланке. Пишите только число: 62, а не 62°.

Тренажёр: бесконечные варианты задания 12

Генератор вверху страницы выдаёт 3 типа задач: катет по гипотенузе и тригонометрической функции, третий угол по двум данным и гипотенуза по двум катетам. Каждый раз числа новые.

Решите задачу, введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». «Решение» покажет нужную формулу, «Следующая задача →» сгенерирует новый вариант, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов покажут, насколько уверенно идёт тема. Решение с самопроверкой без подсказки запоминается надёжнее перечитывания конспекта — это подтверждено исследованием Roediger и Karpicke^[3].

Когда одна формула не поможет

Не каждая задача номера решается подстановкой в одну формулу — иногда без рисунка и анализа условия не обойтись.

• Если прямого угла нет, определения через катеты не работают — нужна теорема синусов или высота, делящая фигуру на 2 прямоугольные части.
• Если на чертеже 2 фигуры с общей стороной, сначала найдите эту сторону в одном, потом переходите к другому.
• Если дан угол $150^\circ$, помните, что $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = 0{,}5$: площадь треугольника со сторонами 10 и 6 и таким углом между ними равна 15.
• Если до экзамена меньше 3 недель, а тригонометрия совсем не знакома, выгоднее закрепить задачи на углы и радиусы, чем учить все формулы сразу.

Чего делать нельзя

Нельзя решать по чертежу «на глаз»: рисунок в варианте не обязан быть точным, и измерение транспортиром не заменяет вычисления.

• Нельзя измерять углы и стороны линейкой на чертеже экзаменационного варианта.
• Нельзя применять определения через катеты, если в фигуре нет прямого угла.
• Не следует путать прилежащий и противолежащий катеты — подпишите их на черновике.
• Не следует забывать, что отношение $\frac{a}{\sin A}$ — это диаметр, а не радиус.
• Не стоит записывать в бланк знак градуса или слово «см».

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Нужно ли знать теорему косинусов для задания 12?

Желательно, но она встречается реже теоремы Пифагора и определений через катеты. Если времени мало, начните с задач с прямым углом.

Изменилось ли задание в проекте 2027 года?

Нет. По проекту демоверсии ФИПИ^[4] базовый уровень остаётся прежним, поэтому подходят задачи прошлых лет.

Можно ли ответ оставить в виде корня?

Нет, в бланк записывают только целое число или десятичную дробь. Если получился корень из неполного квадрата, проверьте вычисления.

Как запомнить, где синус, а где косинус?

Косинус «касается» угла: прилежащий катет — тот, что образует угол вместе с гипотенузой. Второе отношение — про катет напротив.

Сколько времени тратить на этот номер?

Обычно 2–4 минуты. Если формула не вспоминается за минуту, переходите дальше и возвращайтесь в конце.

Что делать, если чертежа нет?

Нарисуйте его сами и подпишите все данные. Вершину прямого угла удобно ставить внизу справа — так катеты легче различать.