Задание 9 ЕГЭ база: площадь фигуры по клеткам и плану

Q: Изменится ли задание 9 в 2027 году?

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года [4] структура базового уровня остаётся прежней, обновлены лишь отдельные образцы заданий. Поэтому тренироваться можно на задачах прошлых лет.

Что проверяет задание 9 и сколько оно стоит

Задание 9 — это задача с кратким ответом на вычисление площади по рисунку: за верное число ставится 1 первичный балл. Проверяется умение снять длины по клеткам, выбрать формулу и учесть масштаб плана^[1].

В базовом ЕГЭ 21 задание, и каждое стоит одинаково — 1 балл; для отметки «3» нужно 7 первичных баллов, для «4» — 12. Номер 9 относится к геометрическому блоку вместе с практической планиметрией, стереометрией и треугольниками, но он самый «рисуночный»: почти все данные считываются с картинки, а не из текста условия.

Встречаются три сюжета: фигура на клетчатой бумаге с клеткой $1 \times 1$ , план участка или квартиры, где одна клетка соответствует нескольким метрам, и оценка площади неровной фигуры — озера, лесного массива — по числу клеток. Во всех трёх случаях ответ — одно число без единиц измерения. Писать «м²» в бланке не нужно.

Формулы площадей, которые нужны для клеток

Для задания хватает 5 формул: прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция и круг. Главное — выбрать такие основание и высоту, которые идут по линиям сетки, тогда их длину видно сразу.

Фигура	Формула площади	Что считать по клеткам
Прямоугольник	$S = ab$	две стороны вдоль линий сетки
Треугольник	$S = \frac12 a h$	сторону вдоль сетки и высоту к ней
Параллелограмм	$S = a h$	горизонтальную сторону и расстояние между параллельными сторонами
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} h$	оба основания и высоту
Круг или сектор	$S = \pi r^2$ , часть круга	радиус по клеткам; ответ часто просят разделить на $\pi$

Если у фигуры нет ни одной стороны вдоль сетки, формулы с высотой неудобны: высоту пришлось бы считать через теорему Пифагора. Тогда работают два обходных приёма — достраивание до прямоугольника и формула Пика. Оба дают точный ответ и не требуют ни одного корня. Полный список формул площадей с выводом есть в разделе площади треугольника, трапеции и круга.

Достраивание до прямоугольника и формула Пика

Достраивание — это способ найти площадь «косой» фигуры как разность: площадь описанного прямоугольника минус площади прямоугольных треугольников по углам. Катеты этих треугольников всегда идут по сетке.

Второй способ — теорема Пика для многоугольника с вершинами в узлах сетки: $S = \text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1$ , где $\text{В}$ — число узлов строго внутри фигуры, $\text{Г}$ — число узлов на её границе. Формула применима только если все вершины лежат в узлах сетки. Формула Пика удобна для проверки, но не для основного счёта: на большом рисунке легко сбиться при подсчёте внутренних узлов. В школьном учебнике геометрии Атанасяна^[2] её нет, поэтому опирайтесь в первую очередь на достраивание, а Пика держите как контроль.

Миф: «площадь на клетчатой бумаге можно точно найти, просто посчитав клетки внутри фигуры». Это неверно для фигур с наклонными сторонами: неполные клетки разной величины, и «половинки на глаз» дают ошибку. Точный ответ дают только формулы, достраивание или формула Пика; подсчёт клеток годится лишь для оценки.

Разбор задач по клеткам и по плану

Ниже 3 задачи разного типа. Координаты вершин даны парами (столбец; строка) от левого нижнего угла сетки — так удобно перенести рисунок на свой черновик.

Задача 1. Треугольник с основанием вдоль сетки

На клетчатой бумаге с клеткой $1 \times 1$ изображён треугольник с вершинами в узлах $(1; 1)$ , $(7; 1)$ и $(4; 5)$ . Найдите его площадь.

Сторона от $(1; 1)$ до $(7; 1)$ лежит на линии сетки, её длина 6 клеток. Высота — расстояние от третьей вершины до этой линии: $5 - 1 = 4$ клетки. Площадь $\frac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12$ . Ответ: 12.

Задача 2. Косой треугольник

Найдите площадь треугольника с вершинами в узлах $(2; 1)$ , $(6; 3)$ и $(3; 6)$ , если размер клетки $1 \times 1$ .

Ни одна сторона не идёт по сетке, поэтому достраиваем. Описанный прямоугольник: по горизонтали от 2 до 6, по вертикали от 1 до 6, его площадь $4 \cdot 5 = 20$ . Отрезаем три прямоугольных треугольника: с катетами 4 и 2 — площадь 4; с катетами 3 и 3 — площадь 4,5; с катетами 1 и 5 — площадь 2,5. Остаётся $20 - 4 - 4{,}5 - 2{,}5 = 9$ . Проверка формулой Пика: на границе 6 узлов, внутри 7, $7 + 3 - 1 = 9$ . Ответ: 9.

Задача 3. План участка с масштабом

На плане сторона клетки соответствует 2 м. Участок изображён прямоугольником 9 на 6 клеток, дом на нём — прямоугольником 3 на 4 клетки. Найдите площадь участка, не занятую домом, в квадратных метрах.

Сначала считаем в клетках: $9 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 54 - 12 = 42$ клетки. Одна клетка — квадрат $2 \times 2$ м, то есть 4 м². Итого $42 \cdot 4 = 168$ м². Самая частая ошибка здесь — умножить на 2 вместо 4: масштаб длины переводится в масштаб площади возведением в квадрат. Ответ: 168.

Не путать: в задании 9 площадь снимают с рисунка, а в задании 10 о заборах и участках размеры даны текстом и часто нужен периметр или расстояние. Клетчатая бумага на ОГЭ разобрана отдельно — в материале о фигурах на клетках в ОГЭ.

Оценка площади неровной фигуры

Если фигура нарисована плавной линией — контур озера, леса или пятна, — точной формулы нет, и в задании просят оценить площадь. Стандартный приём: полные клетки считаются целиком, неполные — половинами.

Пример: на карте с клеткой $1 \times 1$ км внутри контура озера 14 полных клеток, а ещё 10 клеток контур пересекает. Оценка площади: $14 + \frac{10}{2} = 19$ км². В таких задачах ответ обычно просят выбрать из промежутков или округлить до целых, и небольшое отклонение в подсчёте неполных клеток на ответ не влияет. Если же требуется точное значение, это сигнал, что фигура составлена из прямых отрезков или дуг окружности, и нужно вернуться к формулам.

С частью круга работают так: радиус снимают по клеткам, площадь круга $\pi r^2$ умножают на долю — четверть, половину. Если в условии сказано «ответ разделите на $\pi$ », число $\pi$ вообще не подставляют: для четверти круга радиусом 4 ответ $\frac{16}{4} = 4$ .

Типичные ошибки и проверка ответа

Чтобы не потерять балл, сверяйте ответ с размерами описанного прямоугольника: площадь фигуры не может быть больше его площади, а ответ вместе с отрезанными уголками должен дать ровно площадь прямоугольника.

Наклонная сторона вместо высоты. Длину наклонного отрезка по клеткам «на глаз» считать нельзя: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , а не 7.
Масштаб в первой степени. При клетке 3 м одна клетка — 9 м², а не 3 м².
Пропущенная половина. В формуле треугольника множитель $\frac12$ теряют чаще всего.
Лишняя клетка. Длину считают по промежуткам между узлами, а не по числу узлов: от узла 1 до узла 7 — 6 клеток.

В бланк записывают только число: 168, а не «168 м²». Дробный ответ пишут через запятую, например 4,5. Подробно правила записи разобраны в статье как заполнять бланк ответов.

Тренажёр по заданию 9: бесконечные варианты

Тренажёр вверху страницы — 9-е задание базового уровня в бесконечном количестве вариантов: генератор рисует на сетке $9 \times 7$ треугольник или трапецию с вершинами в узлах.

Найдите площадь, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет, какие основание и высоту нужно было снять по клеткам, а «Следующая задача →» сгенерирует новый рисунок. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают понять, когда тема закреплена: ориентир — 10 верных ответов подряд. Решение без подсказки и с проверкой запоминается прочнее, чем чтение готовых разборов^[3].

Когда подсчёт клеток не подходит

Если фигура задана не рисунком, а словами, или требуется длина, а не площадь, приёмы этой страницы не помогут — нужен другой номер или другая формула.

Если размеры участка даны числами, например 30 на 20 м, без рисунка — это сюжет практической планиметрии, а не клеток.
Если нужна длина наклонного отрезка, а не площадь, работает теорема Пифагора с катетами по 2 направлениям сетки.
Если требуется точный ответ, а фигура неровная, подсчёт половинок даёт лишь оценку с погрешностью в 1–2 клетки.
Если в фигуре больше 6 вершин, формула Пика становится ненадёжной: внутренних узлов слишком много для аккуратного подсчёта.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять глазомеру там, где можно посчитать: на рисунке в 1 клетку ошибка не видна, а в ответе она уже стоит балла.

Нельзя измерять наклонные стороны линейкой и подставлять «примерно 4,2» в формулу.
Нельзя умножать площадь в клетках на масштаб длины — только на его квадрат.
Не следует считать неполные клетки «половинами», если в условии требуется точная площадь многоугольника.
Не следует писать в бланке единицы измерения: «м²» или «кв. м» сделают ответ нечитаемым.
Не стоит пропускать проверку вторым способом, если на неё есть минута: Пик или повторное достраивание ловят почти все промахи.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Выдают ли нужные формулы на экзамене?

Надёжнее помнить эти формулы самому: перечень разрешённых материалов смотрите в спецификации базового уровня. Формул немного — пять из таблицы выше, — и все они изучаются в 8–9 классах.

Изменится ли задание 9 в 2027 году?

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года^[4] структура базового уровня остаётся прежней, обновлены лишь отдельные образцы заданий. Поэтому тренироваться можно на задачах прошлых лет.

Что делать, если ответ получился дробным?

Это нормально: у треугольника с нечётным произведением основания и высоты ответ равен, например, 7,5. Запишите десятичную дробь через запятую, без пробелов.

Можно ли пользоваться формулой Пика?

Да, в задании с кратким ответом проверяется только число, а способ не важен. Но формулу Пика надёжнее использовать для проверки, а не как основной метод.

Как быстро найти высоту треугольника?

Поверните лист так, чтобы горизонтальная или вертикальная сторона стала основанием. Высота к ней — это просто разность номеров строк или столбцов противоположной вершины и основания.

Нужна ли миллиметровая точность рисунка в черновике?

Нет. Достаточно перенести вершины по координатам узлов: все длины потом берутся из чисел, а не из рисунка. Пропорции и деление в заданном отношении подробнее разобраны в теме масштаб, отношения и пропорции.