Задание 11 ЕГЭ база: объём, поверхность и уровень воды

Что проверяет задание 11 и сколько оно стоит

Задание 11 — это задача с кратким ответом на объёмы и площади поверхности простых тел: параллелепипеда, куба, призмы, иногда цилиндра. За верное число ставится 1 первичный балл^[1].

Весь базовый ЕГЭ — 21 задание и 180 минут, наибольший результат — 21 балл, «4» начинается с 12 баллов. Стереометрия в варианте встречается дважды: в задании 11 — бытовые объёмы и уровень жидкости, в задании 13 — отношения объёмов конуса, цилиндра и пирамиды. Здесь важнее не теоремы, а умение представить предмет: бак, аквариум, коробку без крышки, комнату со стенами.

Проект демоверсии ФИПИ 2027 года^[2] базовый уровень не меняет, поэтому сюжеты прошлых лет остаются актуальными: подъём уровня воды при погружении детали, переливание жидкости из сосуда в сосуд, площадь поверхности коробки и объём, который вмещает ёмкость.

Формулы объёма и площади поверхности

Для задания хватает 4 пар формул. Все они сводятся к одной идее: объём призмы или цилиндра — это площадь основания, умноженная на высоту.

Тело	Объём	Площадь поверхности
Прямоугольный параллелепипед	$V = abc$	$S = 2(ab + bc + ac)$
Куб с ребром $a$	$V = a^3$	$S = 6a^2$
Прямая призма	$V = S_{\text{осн}} \cdot h$	две площади основания плюс периметр основания, умноженный на $h$
Цилиндр	$V = \pi r^2 h$	$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Формулы объёма параллелепипеда и куба изучают ещё в 5 классе, а призму и цилиндр — в курсе стереометрии 10–11 классов по учебнику Атанасяна^[3]. Для задания 11 полезно держать в голове и обратные формулы: высота жидкости $h = \frac{V}{S_{\text{осн}}}$ , площадь дна $S = \frac{V}{h}$ . Именно их чаще всего и приходится применять. Вычисление объёмов и площадей поверхностей простейших тел входит в курс геометрии по ФОП среднего общего образования, а спецификация ФИПИ для базового уровня называет стереометрию одной из тем варианта. Учебник 5–6 классов даёт ту же формулу $V = abc$ , так что школьной базы хватает с запасом. Подробнее о свойствах многогранников — в разделе призма, пирамида и параллелепипед.

Уровень жидкости: деталь в баке

Если деталь полностью погрузили в воду, уровень поднимается так, что объём «добавленного» слоя воды равен объёму детали. Это закон, на котором держится больше половины задач номера.

В бак в форме прямоугольного параллелепипеда с основанием 40 см на 50 см налита вода. В неё полностью погрузили деталь объёмом 6000 см³. На сколько сантиметров поднялся уровень воды?

Площадь дна: $40 \cdot 50 = 2000$ см². Вытесненная вода образует слой с таким же дном и объёмом 6000 см³. Высота слоя: $6000 : 2000 = 3$ см. Ответ: 3.

Обратная задача встречается не реже: уровень поднялся на 3 см в баке с дном 40 на 50 см — найдите объём детали. Решение то же, только действие обратное: $2000 \cdot 3 = 6000$ см³. Если объём просят в литрах, делим на 1000 и получаем 6 л.

Миф: «уровень жидкости поднимется сильнее, если деталь тяжелее». Это неверно: при полном погружении важен только объём детали, а не её масса. Свинцовый и деревянный бруски одинакового объёма, утопленные целиком, вытеснят одинаковое количество воды.

Переливание из сосуда в сосуд

Чтобы решить задачу на переливание, приравнивают объёмы: жидкость не исчезает и не появляется, меняется только форма сосуда, а значит, и высота уровня.

Вода в цилиндрическом сосуде находится на уровне 16 см. Её перелили в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше. На какой высоте окажется уровень воды? Ответ дайте в сантиметрах.

Площадь круга пропорциональна квадрату диаметра: при диаметре в 2 раза больше дно больше в $2^2 = 4$ раза. Объём тот же, значит, высота в 4 раза меньше: $16 : 4 = 4$ см. Число $\pi$ в расчёт не входит — оно сокращается. Ответ: 4. Проверка: при высоте 4 см и вчетверо большем дне объём $4 \cdot 4 = 16$ «старых» единиц — столько же, сколько было.

Похожий пример с литрами: в аквариум с дном 50 на 30 см долили 6 л воды. Площадь дна 1500 см², объём 6000 см³, уровень поднимется на $6000 : 1500 = 4$ см. Здесь главная ловушка — забыть, что 1 л равен 1000 см³, и разделить 6 на 1500. Таблица перевода литров, кубических сантиметров и метров есть в статье единицы длины, площади и объёма.

Площадь поверхности: коробка и комната

Площадь поверхности ищут, когда в задаче что-то красят, оклеивают или шьют. Нужно понять, какие грани действительно участвуют: у коробки без крышки 5 граней, у стен комнаты — 4 боковые поверхности без пола и потолка.

Коробку без крышки размером 30 на 20 на 10 см нужно оклеить снаружи цветной бумагой. Сколько квадратных сантиметров бумаги понадобится?

Дно: $30 \cdot 20 = 600$ см². Две длинные стенки: $2 \cdot 30 \cdot 10 = 600$ см², две короткие: $2 \cdot 20 \cdot 10 = 400$ см². Итого $600 + 600 + 400 = 1600$ см². Если бы крышка была, добавилось бы ещё 600 см². Ответ: 1600.

Для комнаты 5 на 4 м с высотой потолка 2,7 м площадь стен равна периметру пола, умноженному на высоту: $18 \cdot 2{,}7 = 48{,}6$ м². Если вычесть окно 1,5 на 1,2 м и дверь 0,9 на 2 м, остаётся $48{,}6 - 1{,}8 - 1{,}8 = 45$ м² под покраску.

Не путать: в задании 11 считают конкретный объём или площадь, а в задании 13 об отношениях объёмов обычно спрашивают, во сколько раз изменится объём конуса или цилиндра при изменении размеров.

Единицы, проверка и запись ответа

Если ответ в задании 11 получился неправдоподобным — уровень воды поднялся на 300 см в ведре, коробка требует 16 м² бумаги, — почти наверняка ошибка в единицах. Проверка здравым смыслом занимает 10 секунд.

Литры. 1 л = 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 л.
Квадратные единицы. 1 м² = 10 000 см², а не 100 см².
Обратная проверка. Умножьте найденную высоту слоя на площадь дна — должен получиться объём детали.
Оценка. Аквариум 50 на 30 см вмещает 1,5 л на каждый сантиметр высоты: 6 л — это 4 см.

В бланк записывают только число в тех единицах, которые указаны в вопросе. Дробный ответ — через запятую, например 2,5. Если в условии есть $\pi$ , а ответ просят «разделить на $\pi$ », число $\pi$ не подставляют.

Тренажёр по заданию 11

Генератор вверху страницы — это 11-е задание базового уровня в бесконечных вариантах: бак с основанием от 20 до 60 см, в который погружают деталь, и вопрос о подъёме уровня воды.

Решите задачу, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет расчёт, «Следующая задача →» выдаст новые размеры, а полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» покажут прогресс. Короткие подходы по 5–10 задач в разные дни дают больше, чем один длинный вечер: распределённое повторение эффективнее занятий подряд^[4].

Когда формула не подходит

Не каждую задачу о сосудах можно решить формулой $h = \frac{V}{S}$ — в нескольких ситуациях её применять нельзя.

Если деталь погружена не полностью, а, например, на 2/3 высоты, вытесняется только объём погружённой части.
Если вода после погружения переливается через край, подъём уровня ограничен высотой бака, например 30 см.
Если сосуд сужается кверху, как конус, площадь сечения меняется с высотой, и уровень считают через подобие — это тема задания 13.
Если в бак погружают сразу 2 детали, их объёмы складывают до деления на площадь дна.

Чего делать нельзя

Нельзя считать «на глаз» там, где решает одна строчка: ошибка в переводе единиц обнуляет даже верную идею.

Нельзя делить литры на квадратные сантиметры без перевода литров в кубические сантиметры.
Нельзя учитывать крышку коробки, если в условии сказано «без крышки».
Не следует подставлять $\pi \approx 3{,}14$ , если ответ просят разделить на $\pi$ .
Не следует путать диаметр и радиус: в формуле объёма цилиндра стоит радиус.
Не стоит забывать вычитать окна и двери при расчёте площади стен под покраску.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Какие тела встречаются в задании 11 чаще всего?

Прямоугольный бак, аквариум, коробка, комната, реже цилиндрическая банка или призма с треугольным основанием. Шар и пирамида здесь встречаются редко.

Нужно ли знать формулу объёма шара?

Для этого номера она почти не нужна. Если шар всё же появится, объём детали обычно дают числом, и считать его самому не приходится.

Почему в задаче про цилиндры не нужно число π?

Потому что оно входит в обе формулы — до и после переливания — и сокращается. Остаётся отношение квадратов радиусов или диаметров.

Что делать, если в ответе получилось 0,003?

Проверьте единицы: скорее всего, кубические метры смешаны с кубическими сантиметрами. Пересчитайте всё в одних единицах до вычислений.

Сколько минут отводить на этот номер?

Обычно 3–4 минуты, включая проверку единиц. Если задача про сосуд сложной формы, нарисуйте разрез — это экономит время.

Где ещё потренироваться перед экзаменом?

В демоверсии ФИПИ и сборниках типовых вариантов базового уровня. Тела вращения отдельно разобраны в материале цилиндр, конус и шар: объёмы и площади.