Обыкновенные и десятичные дроби в базовом ЕГЭ: порядок и проверка

Что проверяет задание 14 и сколько оно стоит

Задание 14 — это арифметика 5–6 классов в экзаменационном формате: за верно вычисленное значение выражения ставится 1 первичный балл из 21^[1].

Базовый ЕГЭ длится 180 минут, отметку «3» дают с 7 первичных баллов. Номер 14 — один из самых надёжных источников балла: в нём нет текста, рисунка и подвоха в условии, только выражение вроде $\frac{4{,}5 \cdot 6 - 1{,}7}{5}$ или $\left(\frac34 + \frac56\right) \cdot 12$. Но именно здесь часто теряют балл из-за спешки: ошибка в одном переносе запятой превращает 5,06 в 50,6.

Проект демоверсии ФИПИ 2027 года^[2] базовый уровень не меняет, поэтому тип выражений прежний: десятичные дроби с дробной чертой, сумма или разность обыкновенных дробей с последующим умножением, смешанные числа, деление на десятичную дробь.

Какие выражения встречаются

Выражения в задании делятся на 4 типа, и для каждого есть свой самый короткий путь. Таблица ниже помогает выбрать его за несколько секунд.

Все приёмы взяты из школьного курса: учебники математики 5–6 классов и алгебры Макарычева^[3] дают те же правила действий с дробями. Новых знаний задание не требует, но требует автоматизма, который появляется после 30–50 решённых примеров. Полезно помнить и основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, — значение дроби не изменится. На нём держатся и сокращение, и приведение к общему знаменателю, и перенос запятой при делении. Полная теория с правилами сокращения — в статье действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Порядок действий и дробная черта

Дробная черта — это скобки над числителем и под знаменателем: сначала полностью вычисляют числитель, потом знаменатель, и только затем делят.

Найдите значение выражения $\frac{4{,}5 \cdot 6 - 1{,}7}{5}$.

Числитель: $4{,}5 \cdot 6 = 27$, $27 - 1{,}7 = 25{,}3$. Делим на 5: $25{,}3 : 5 = 5{,}06$. Проверка обратным действием: $5{,}06 \cdot 5 = 25{,}3$. Ответ: 5,06.

Здесь легко ошибиться дважды. Первая ловушка — разделить на 5 только последнее слагаемое числителя. Вторая — потерять ноль: $25{,}3 : 5$ равно 5,06, а не 5,6. Деление удобно делать «уголком» прямо на черновике, приписав к 25,3 ноль: $25{,}30 : 5 = 5{,}06$.

Миф: «умножение всегда выполняется раньше деления». Это неверно: умножение и деление равноправны и выполняются слева направо. Выражение $24 : 4 \cdot 2$ равно 12, а не 3. Правило о приоритете умножения не существует ни в одном школьном учебнике.

Обыкновенные дроби и смешанные числа

Если в выражении есть обыкновенные дроби и общий множитель, выгоднее раскрыть скобки, чем приводить дроби к общему знаменателю: множитель часто сокращается с каждым знаменателем отдельно.

Найдите значение выражения $\left(\frac34 + \frac56\right) \cdot 12$.

Распределительный закон: $\frac34 \cdot 12 = 9$, $\frac56 \cdot 12 = 10$, сумма $9 + 10 = 19$. Через общий знаменатель путь длиннее: $\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$, затем умножение на 12 — тот же ответ 19, но больше шагов и больше шансов ошибиться.

Смешанные числа переводят в неправильные дроби: $2\frac35 = \frac{13}{5}$, $1\frac{3}{10} = \frac{13}{10}$. Деление — умножение на перевёрнутую дробь: $\frac{13}{5} \cdot \frac{10}{13} = 2$. Ответ: 2. Ещё пример: $\left(\frac23 - \frac14\right) : \frac{5}{12} = \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5} = 1$.

Сокращайте до умножения, а не после. В произведении $\frac{14}{15} \cdot \frac{25}{28}$ сразу видно, что 14 и 28 сокращаются на 14, а 25 и 15 — на 5: остаётся $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac56$. Если сначала перемножить, придётся сокращать $\frac{350}{420}$, и вероятность ошибки заметно выше. Общий знаменатель при сложении ищите как наименьшее общее кратное: для 4 и 6 это 12, а не 24. С большим знаменателем ответ тоже получится верным, но числа будут крупнее, а значит, и считать дольше.

Десятичные дроби: деление без калькулятора

Чтобы разделить на десятичную дробь, переносят запятую в делителе и делимом на одинаковое число знаков вправо, пока делитель не станет целым. Значение частного при этом не меняется.

Умножение десятичных дробей ещё проще: перемножают числа как целые, не обращая внимания на запятые, а затем отделяют справа столько знаков, сколько их было у обоих множителей вместе. Например, $0{,}35 \cdot 1{,}2$: $35 \cdot 12 = 420$, знаков после запятой $2 + 1 = 3$, получаем 0,420, то есть 0,42. Ноль в конце дроби в бланк не пишут: 0,42 и 0,420 — одно и то же число, но короткая запись надёжнее.

Пример: $7{,}2 : 0{,}08$. Переносим запятую на 2 знака: $720 : 8 = 90$. Ответ: 90. Проверка оценкой: делим на число меньше 1, значит, результат должен быть больше делимого — 90 больше 7,2, всё правильно.

Когда в выражении есть и обыкновенная, и десятичная дробь, смотрят на знаменатель. Если он раскладывается только на двойки и пятёрки (2, 4, 5, 8, 20, 25), дробь переводится в конечную десятичную: $\frac38 = 0{,}375$, $\frac{7}{20} = 0{,}35$. Тогда $\left(\frac14 + 0{,}15\right) \cdot 8 = 0{,}4 \cdot 8 = 3{,}2$. Если же в знаменателе есть тройка, как у $\frac13$, переводить в десятичную нельзя — получится бесконечная дробь. В этом случае десятичную дробь превращают в обыкновенную: $\left(\frac13 + 0{,}5\right) \cdot 1{,}2 = \frac56 \cdot \frac65 = 1$. Приёмы быстрого счёта собраны в материале как считать без калькулятора на экзамене.

Не путать: в задании 14 нужно только вычислить выражение, а в задании 15 о процентах и скидках те же дроби появляются внутри текстовой задачи. Похожие вычисления в 9 классе — в задании 6 ОГЭ.

Проверка ответа и запись в бланк

Если ответ получился бесконечной дробью, например 0,333…, в вычислениях ошибка: в задании 14 значение всегда записывается целым числом или конечной десятичной дробью.

• Обратное действие. Результат деления умножьте на делитель — должно получиться делимое.
• Оценка порядка. $4{,}5 \cdot 6$ — это примерно $5 \cdot 6 = 30$; если получилось 270, запятая потеряна.
• Отрицательный ответ. $2{,}4 - 3{,}15 \cdot 2 = 2{,}4 - 6{,}3 = -3{,}9$: минус пишется в первой клетке бланка.
• Запятая. Десятичный разделитель — запятая, без пробелов: 5,06.

Обыкновенную дробь в бланк записать невозможно: $\frac{19}{4}$ нужно перевести в 4,75. Как исправить ошибочно записанный ответ и где ставить минус, подробно описано в статье правила записи ответов в бланк.

Тренажёр: бесконечные варианты задания 14

Генератор вверху страницы выдаёт выражения вида $\frac{a \cdot b - c}{d}$ с десятичными $a$ и $c$ и целыми $b$ и $d$ — ровно тот тип, где чаще всего теряют запятую.

Решите пример на бумаге, введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет вычисление по шагам, «Следующая задача →» сгенерирует новый пример, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов покажут точность. Ориентир — 15 верных ответов подряд. Решение с проверкой без подсказки закрепляет навык лучше, чем просмотр готовых решений: это показало исследование Roediger и Karpicke^[4].

Когда перевод в десятичные не подходит

Не каждое выражение выгодно считать в десятичных дробях — иногда это удлиняет путь или делает ответ бесконечным.

• Если делитель содержит множитель 3, 7 или 9, десятичная запись будет бесконечной — считайте в обыкновенных.
• Если все слагаемые имеют знаменатели 12 и 6, привести их к двенадцатым проще, чем переводить каждое слагаемое.
• Если выражение умножается на число, которое делится на все нижние числа, например на 24, раскройте скобки и сократите.
• Если десятичных знаков больше 3, проверьте, не проще ли записать число в виде частного: $0{,}0625 = \frac{1}{16}$.

Чего делать нельзя

Нельзя торопиться в лёгком номере: на нём теряют балл не из-за незнания, а из-за спешки.

• Нельзя делить только часть выражения над чертой.
• Нельзя записывать в бланк ответ вида $\frac{19}{4}$ или смешанное число.
• Не следует записывать $\frac13$ или $\frac16$ приближённо, с округлением.
• Не следует выполнять умножение раньше деления, если деление стоит левее.
• Не стоит пропускать проверку обратным действием: она занимает 20 секунд.
• Не стоит считать в уме длинные произведения — пишите столбиком на черновике.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Можно ли пользоваться калькулятором?

Нет, на ЕГЭ по математике калькулятор запрещён. Все вычисления выполняются на черновике столбиком или устно.

Сколько времени тратить на задание 14?

Обычно 2–3 минуты с проверкой. Если пример занимает больше 5 минут, скорее всего, выбран неудобный путь — попробуйте раскрыть скобки или считать без перевода в десятичные.

Что делать, если ответ не записывается конечным числом?

Пересчитать: в этом номере ответ всегда конечный. Чаще всего ошибка в порядке действий или в переводе в десятичную запись.

Нужно ли сокращать ответ?

Ответ записывают в десятичной форме, поэтому сокращать нечего. Но промежуточные результаты сокращать полезно — числа становятся меньше.

Как не потерять ноль после запятой?

Делите уголком и приписывайте нули к делимому. Затем проверьте ответ умножением: $5{,}06 \cdot 5 = 25{,}3$, а $5{,}6 \cdot 5 = 28$.

Изменится ли этот номер в 2027 году?

Нет, по проекту ФИПИ базовый уровень остаётся прежним: 21 задание, 180 минут и та же пятибалльная отметка.