Тела вращения: формулы объёма, образующая, развёртка и задачи

Тело вращения — что это и какие бывают

Тело вращения — это фигура, которая получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоскости. Прямую называют осью вращения, и любое сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси, — круг или кольцо.

Школьный курс рассматривает 3 тела. Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из сторон, конус — вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, шар — вращением полукруга вокруг диаметра. Это не просто картинка: в задачах «прямоугольник со сторонами 6 и 10 вращают вокруг большей стороны» нужно сразу увидеть цилиндр с высотой 10 и радиусом 6. По учебнику Атанасяна^[1] тела вращения изучаются в 11 классе вместе с формулами объёмов.

Главное сечение каждого тела — осевое, то есть проходящее через ось. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2R$ и $h$, конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами, равными образующей, шара — большой круг радиуса $R$. Почти любая задача о цилиндре или конусе сводится к планиметрии в осевом сечении.

Цилиндр: объём, боковая и полная поверхность

Цилиндр — это тело с двумя равными круглыми основаниями в параллельных плоскостях; у прямого цилиндра образующая перпендикулярна основаниям и равна высоте $h$.

$$V = \pi R^2 h, \qquad S_{\text{бок}} = 2\pi R h, \qquad S_{\text{полн}} = 2\pi R(R + h).$$

Формула боковой поверхности понятна из развёртки: боковую поверхность разрезают по образующей и разворачивают в прямоугольник со сторонами $h$ и $2\pi R$ — длиной окружности основания. Пример: при $R = 3$ и $h = 5$ объём $\pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$, боковая поверхность $2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi$, полная — $2\pi \cdot 3 \cdot 8 = 48\pi$.

Объём цилиндра пропорционален квадрату радиуса и первой степени высоты. Если радиус увеличить в 2 раза, объём вырастет в 4 раза, а если в 2 раза увеличить высоту — только в 2 раза. На этом свойстве построены задачи о переливании жидкости: объём воды сохраняется, поэтому уровень в сосуде с вдвое большим диаметром станет в 4 раза ниже.

Конус: образующая, объём и развёртка

Конус — это тело, ограниченное кругом основания и поверхностью, образованной отрезками от вершины до точек окружности основания. Эти отрезки — образующие, и у прямого кругового конуса все они равны $l = \sqrt{R^2 + h^2}$.

$$V = \frac13 \pi R^2 h, \qquad S_{\text{бок}} = \pi R l, \qquad S_{\text{полн}} = \pi R(R + l).$$

Радиус основания конуса равен 6, высота равна 8. Найдите образующую, объём и площадь полной поверхности.

Образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8: $l = \sqrt{36 + 64} = 10$. Объём $\frac13 \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$. Боковая поверхность $\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$, полная — $60\pi + 36\pi = 96\pi$. Совпадение чисел у объёма и полной поверхности здесь случайно: единицы у них разные.

Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор радиуса $l$. Длина его дуги равна длине окружности основания, поэтому центральный угол $\alpha = 360^\circ \cdot \frac{R}{l}$. Для нашего конуса $360^\circ \cdot \frac{6}{10} = 216^\circ$. Угол развёртки не может быть больше $360^\circ$, потому что радиус основания всегда меньше образующей.

Миф: «раз объём конуса равен трети объёма цилиндра, то и боковая поверхность конуса — треть боковой поверхности цилиндра». Это неверно: множитель $\frac13$ есть только в формуле объёма. Площадь боковой поверхности конуса $\pi R l$ зависит от образующей, и никакого правила «одной трети» для неё не существует.

Цилиндр и конус в задачах: порядок решения

Чтобы решить задачу о цилиндре или конусе без ошибок, достаточно 4 шагов: определить тело, нарисовать осевое сечение, найти недостающие отрезки и только потом подставить их в формулу.

1. Шаг 1. Определите тело и ось. В задаче «треугольник с катетами 5 и 12 вращают вокруг большего катета» ось — катет 12, значит это конус с высотой 12 и радиусом 5.
2. Шаг 2. Нарисуйте осевое сечение и подпишите известные радиусы, высоту и образующую. Сравнивать радиусы двух тел удобнее всего именно на этом рисунке.
3. Шаг 3. Найдите недостающий отрезок по теореме Пифагора или из подобия треугольников. Для нашего конуса образующая $\sqrt{25 + 144} = 13$.
4. Шаг 4. Подставьте в формулу и проверьте, о какой величине спрашивают: объём, боковая или полная поверхность, и нужно ли делить ответ на $\pi$.

Отдельный тип задач — сравнение двух тел. Если радиусов два и они относятся как $1 : 2$, а высоты равны, объёмы цилиндров относятся как $1 : 4$. Если же радиусы равны, а высоты разные, отношение объёмов равно отношению высот. Учебник советует сначала записать обе формулы рядом, сократить одинаковые множители и лишь затем подставлять числа — так ответ получается без громоздкого счёта. Радиусы оснований, высоты и образующие — единственные данные, которые нужны в таких задачах.

Шар и сфера: объём и площадь поверхности

Шар — это множество точек пространства, удалённых от центра не более чем на $R$; сфера — его поверхность, то есть точки на расстоянии ровно $R$. Объём считают у шара, площадь — у сферы.

$$V = \frac43 \pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2.$$

При $R = 3$ объём $\frac43 \pi \cdot 27 = 36\pi$, площадь сферы $4\pi \cdot 9 = 36\pi$. Объём пропорционален кубу радиуса, площадь — квадрату: если радиус увеличить в 3 раза, площадь поверхности вырастет в 9 раз, а объём — в 27 раз. Любое сечение шара плоскостью — круг; если плоскость удалена от центра на $d$, радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ по теореме Пифагора. Сечение через центр называют большим кругом, его радиус совпадает с радиусом шара.

Цилиндр и конус с общим основанием, вписанный шар

Если цилиндр и конус имеют общее основание и равные высоты, объём конуса ровно в 3 раза меньше объёма цилиндра. Это соотношение не зависит от размеров и даёт мгновенный ответ в задачах первой части.

Красивое продолжение — шар, вписанный в цилиндр. Высота такого цилиндра равна диаметру $2R$, поэтому $V_{\text{цил}} = 2\pi R^3$, а $V_{\text{шара}} = \frac43 \pi R^3$ — ровно две трети. Если добавить конус с тем же основанием и высотой $2R$, его объём $\frac23 \pi R^3$, и три тела относятся как $1 : 2 : 3$ — конус, шар, цилиндр. Это соотношение доказал ещё Архимед, и оно — частая основа задач на вписанные тела.

Для подобных тел действует то же правило, что и для многогранников: при увеличении всех размеров в $k$ раз площади растут в $k^2$ раз, объёмы — в $k^3$ раз. Плоскость, параллельная основанию конуса и проходящая через середину высоты, отсекает конус объёмом $\frac18$ исходного. Как то же правило работает для призмы и пирамиды, разобрано в статье многогранники: призма, пирамида, параллелепипед.

Тренажёр и задачи с проверкой

Под заголовком страницы — «Тренажёр · № 3 ЕГЭ профиль · бесконечные варианты»: он выдаёт задачи на изменение радиуса цилиндра, переливание жидкости и объём параллелепипеда, числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →».

Кнопка «Проверить» сразу оценивает ответ, «Решение» показывает разбор, а полоска внизу хранит последние попытки. Ниже — блок «Задачи с проверкой» из 8 задач на конус, шар, развёртку и вписанные тела: их генератор не охватывает. Если в ответе получается выражение с $\pi$, а бланк принимает только число, условие обычно просит найти величину, делённую на $\pi$.

По спецификации ФИПИ^[2] стереометрия с кратким ответом стоит в задании 3 профильного ЕГЭ; полный разбор номера — в материале задание 3 профильного ЕГЭ по стереометрии. В базовом уровне похожие сюжеты есть в задании 13 — см. разбор задания 13 базового ЕГЭ. Сборники типовых вариантов^[3] полезны как источник дополнительных задач того же формата.

Когда стандартная формула не подходит

Формулы из таблицы описывают прямые круговые тела целиком, и в 4 ситуациях их приходится дополнять.

• Если дан усечённый конус, его объём считают как разность 2 конусов — большого и отсечённого — или по отдельной формуле.
• Если тело получено вращением трапеции или треугольника вокруг стороны, не являющейся катетом, оно состоит из 2–3 тел, и объём складывают или вычитают по частям.
• Если вода заполняет конус, стоящий вершиной вниз, не до верха, а, например, на 1/2 высоты, её объём — не половина, а $\frac18$ объёма сосуда.
• Если нужна площадь части сферы, например полусферы с основанием, к $2\pi R^2$ добавляют ещё 1 круг площадью $\pi R^2$.

Чего делать нельзя

Не стоит доверять памяти без проверки: почти все ошибки в этой теме — путаница между радиусом, диаметром и образующей.

• Нельзя подставлять диаметр вместо радиуса — ответ ошибётся в 4 раза для площади и в 8 раз для объёма шара.
• Нельзя путать высоту конуса с образующей: в объём входит высота, в боковую поверхность — образующая.
• Не следует писать $\frac13$ в формуле боковой поверхности конуса.
• Не следует забывать два основания в полной поверхности цилиндра и одно — у конуса.
• Не стоит умножать объём на $k^2$ при подобии: объём меняется в $k^3$ раз.
• Не допускается записывать в бланк ответ с буквой $\pi$: вписывается только число.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Чем шар отличается от сферы?

Сфера — только поверхность, шар — поверхность вместе с внутренностью. Поэтому говорят «объём шара» и «площадь сферы».

Как найти образующую, если известны радиус и высота?

По теореме Пифагора в осевом сечении: $l = \sqrt{R^2 + h^2}$. Образующая всегда длиннее и радиуса, и высоты.

Почему в ответах часто просят «делённое на π»?

Число $\pi$ иррационально, и точный ответ вида $96\pi$ нельзя записать в бланк конечной десятичной дробью. Деление на $\pi$ оставляет целое число.

Какие тела вращения встречаются в профильном ЕГЭ?

В первой части — все три: в задании 3 спрашивают объёмы и площади. Во второй части, в задании 15 (в 2026 — № 14), чаще встречаются многогранники, но бывают и задачи с цилиндром или конусом.

Как запомнить, где стоит одна треть?

Одна треть стоит у «заострённых» тел — конуса и пирамиды — и только в формуле объёма. У цилиндра и призмы её нет.

Сколько формул нужно знать наизусть?

Восемь: объём и две поверхности цилиндра, объём и две поверхности конуса, объём шара и площадь сферы. Остальное выводится через осевое сечение.