Задание 3 ЕГЭ профиль: объёмы и площади поверхностей тел

Q: Задание 3 в 2026 году было тем же самым?

Да. По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года [4] стереометрия с кратким ответом осталась третьим номером и стоит 1 балл. Перестановки начались с нового шестого номера.

Что проверяет задание 3 и сколько баллов даёт

Задание 3 — это задача на знание формул объёма и площади поверхности пространственных тел и на умение увидеть в теле плоскую фигуру: прямоугольный треугольник, сечение, основание. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

По проекту спецификации ФИПИ 2027 года первая часть профильного варианта — 13 номеров с кратким ответом по 1 баллу. Стереометрия в ней одна, третья по счёту, и её позиция по сравнению с 2026 годом не изменилась. Значит, задачи из прошлых вариантов и сборников полностью соответствуют формату.

В отличие от стереометрии второй части, где требуется доказательство, здесь проверяют только число. Обычно задача решается в 2–3 действия, но формул много, а справочных материалов на профильном экзамене не выдают: всё, что есть в таблице ниже, нужно помнить самостоятельно.

Задачи третьего номера удобно разделить на три группы: прямой расчёт по формуле, расчёт через вспомогательный прямоугольный треугольник внутри тела и задачи на изменение размеров — во сколько раз вырастет объём, если ребро увеличить вдвое. Третья группа решается вообще без вычисления самих объёмов.

Формулы объёмов и поверхностей

Для третьего номера нужно 12 формул: объёмы и площади поверхностей параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Пирамида и конус отличаются от призмы и цилиндра множителем $\frac13$ .

Тело	Объём	Площадь поверхности
Прямоугольный параллелепипед	$V = abc$	$S = 2(ab + bc + ac)$
Призма	$V = S_{\text{осн}} \cdot h$	$S = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$
Пирамида	$V = \frac13 S_{\text{осн}} \cdot h$	$S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$
Цилиндр	$V = \pi r^2 h$	$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
Конус	$V = \frac13 \pi r^2 h$	$S = \pi r^2 + \pi r l$
Шар	$V = \frac43 \pi R^3$	$S = 4\pi R^2$

Отдельно запомните диагональ прямоугольного параллелепипеда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ и связь элементов конуса $l^2 = r^2 + h^2$ , где $l$ — образующая. Без них нельзя найти высоту конуса по образующей или диагональ коробки по рёбрам. Эти соотношения — та же теорема Пифагора, применённая в пространстве; в учебнике Атанасяна для 10–11 классов^[2] они выводятся в главах о многогранниках и телах вращения.

Подробнее о свойствах тел — на страницах про многогранники: призму, пирамиду и параллелепипед и про тела вращения: цилиндр, конус и шар. Там же есть рисунки сечений, которые помогают увидеть нужный прямоугольный треугольник.

Разбор типовых задач

Если задача кажется трёхмерной и запутанной, сведите её к плоской: найдите в теле прямоугольный треугольник или основание, где всё считается по формулам планиметрии. Ниже — четыре задачи разных групп.

Конус по образующей

Радиус основания конуса равен 6, образующая равна 10. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$ .

Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ . Объём: $V = \frac13 \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi$ . Делим на $\pi$ и получаем 96. Формулировка «делённый на $\pi$ » нужна именно потому, что число $\pi$ нельзя записать в бланк. Ответ: 96. Запись « $96\pi$ » в бланке не засчитывается, даже если число верное.

Диагональ и поверхность параллелепипеда

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3 и 6. Найдите его диагональ.

По формуле диагонали: $d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$ . Если бы спрашивали площадь поверхности, ответ был бы $2(2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 2 \cdot 6) = 72$ , а объём — $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ . Три разных вопроса к одному телу — частая ловушка: числа в условии те же, а формулы разные. Ответ: 7.

Правильная пирамида

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности.

Боковая поверхность — четыре равных треугольника, и для их площади нужна апофема (высота боковой грани). Она — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами «высота пирамиды» 4 и «половина стороны основания» 3: апофема равна $\sqrt{16 + 9} = 5$ . Площадь одной грани $\frac12 \cdot 6 \cdot 5 = 15$ , всех четырёх — 60. Объём этой пирамиды для сравнения: $\frac13 \cdot 36 \cdot 4 = 48$ . Ответ: 60.

Изменение размеров

Радиус шара увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился его объём?

Объём шара пропорционален кубу радиуса, поэтому вырастет в $3^3 = 27$ раз. Площадь поверхности вырастет в $3^2 = 9$ раз. Правило «линейные размеры в $k$ раз — площади в $k^2$ , объёмы в $k^3$ » работает для любых подобных тел. Ответ: 27. Правило работает только если тела подобны: если у цилиндра увеличили радиус, а высоту оставили прежней, объём вырастет лишь в $k^2$ раз.

Миф: «в стереометрии первой части без пространственного воображения не обойтись». Это не подтверждается практикой: почти каждая задача сводится к одному прямоугольному треугольнику или к отношению объёмов. Нужны формулы и аккуратный рисунок, а «видеть сквозь стены» не требуется.

Тренажёр: три вида задач

Тренажёр «№ 3 ЕГЭ профиль» вверху страницы — это бесконечные варианты трёх видов: перелив жидкости в цилиндр другого диаметра, объём прямоугольного параллелепипеда и изменение объёма цилиндра при увеличении радиуса.

Впишите ответ в поле «Ответ», нажмите «Проверить», при ошибке откройте «Решение». Кнопка «Следующая задача →» меняет числа, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают, насколько устойчиво решается задание 3. Норма для перехода дальше — 10 верных из 10; меньшая точность означает, что формулы пока не закрепились и на экзамене задание 3 может стоить балла.

Генератор не содержит конусов, пирамид и шаров. Их стоит отработать по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко^[3]: по 8–10 задач на каждое тело, с обязательным рисунком и выписанной формулой.

Ловушки и типичные ошибки в задании 3

Если ответ не сходится, проверьте 5 мест, где ошибаются чаще всего: множитель $\frac13$ , радиус вместо диаметра, образующая вместо высоты, полная поверхность вместо боковой и степень при изменении размеров.

Забытая треть. Объём пирамиды и конуса — треть от объёма призмы и цилиндра с тем же основанием и высотой. Без множителя ответ втрое больше.
Диаметр и радиус. Если в условии дан диаметр, в формулу подставляют его половину. Ошибка даёт ответ вчетверо больше для площади основания.
Образующая и высота. У конуса это разные отрезки: высота перпендикулярна основанию, образующая идёт по поверхности. Их связывает теорема Пифагора.
Боковая или полная. Полная поверхность включает основания, боковая — нет. Перечитайте, какую площадь спрашивают.
Перелив жидкости. Объём жидкости не меняется. Если диаметр сосуда вырос в 2 раза, площадь дна выросла в 4 раза, и уровень упадёт в 4 раза, а не в 2.

Не путать: стереометрия с кратким ответом и задача с доказательством на 3 балла во второй части. Углы и расстояния в многогранниках, сечения и обоснования разобраны на странице про стереометрию второй части.

Проверка ответа и запись в бланк

Ответ записывают одним числом без единиц измерения и без $\pi$ : если условие просит «объём, делённый на $\pi$ », в бланк идёт только коэффициент. Десятичная дробь пишется через запятую.

Проверить себя можно оценкой. Объём пирамиды меньше объёма описанного вокруг неё параллелепипеда; объём шара радиуса 3 — около $\frac43 \cdot 3 \cdot 27 \approx 108$ , то есть порядка сотни, а не тысячи. Если результат на порядок больше ожидаемого, скорее всего, радиус перепутан с диаметром или пропущен множитель $\frac13$ .

Для задач на изменение размеров есть ещё один способ проверки: подставить конкретные числа. Возьмите куб с ребром 1 и куб с ребром 2: объёмы 1 и 8, отношение 8 — правило кубов подтверждено за 10 секунд.

Когда начинать со стереометрии не нужно

Не каждому выпускнику выгодно начинать подготовку со стереометрии — она требует опоры на планиметрию.

Если теорема Пифагора и площади плоских фигур даются с ошибками, сначала нужны 1–2 недели на первый номер, иначе ошибки перенесутся в пространство.
Если до экзамена меньше 3 недель, а формулы тел вращения не знакомы, разумнее выучить 6 формул объёма и отказаться от редких формулировок.
Если номер уже решается верно в 9 случаях из 10, дальнейшая отработка почти не добавит баллов — переключайтесь на вероятность.
Если цель — 27 тестовых баллов для аттестата, третий номер можно оставить на потом: для порога достаточно 5 любых верных заданий первой части.

Чего делать нельзя

Нельзя решать стереометрию «в уме» без рисунка — именно так теряется треть в формуле или путается высота с образующей.

Нельзя записывать в бланк ответ с числом $\pi$ или со словом «пи».
Нельзя подставлять диаметр в формулу, рассчитанную на радиус.
Не следует путать боковую и полную поверхность: ответ будет отличаться на площадь оснований.
Не следует считать, что уровень жидкости меняется пропорционально диаметру сосуда, — он меняется пропорционально площади дна.
Не стоит учить формулы без рисунка: формула, к которой не привязан образ тела, забывается за неделю.
Не стоит измерять отрезки на рисунке в КИМ — изображение тела не масштабное.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Задание 3 в 2026 году было тем же самым?

Да. По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года^[4] стереометрия с кратким ответом осталась третьим номером и стоит 1 балл. Перестановки начались с нового шестого номера.

Какие формулы дают на экзамене?

На профильном ЕГЭ справочных материалов с формулами нет. Список формул, которые нужно помнить, собран на странице формулы для ЕГЭ профильного уровня.

Встречаются ли комбинации тел?

Да: шар, вписанный в цилиндр, конус, вписанный в пирамиду, куб с вырезанной частью. Решение всё равно сводится к общей величине — радиусу или высоте, через которую выражаются оба тела.

Как запомнить объём шара?

Полезная опора: объём шара равен двум третям объёма описанного цилиндра, у которого высота равна $2R$ . Отсюда $\frac23 \cdot \pi R^2 \cdot 2R = \frac43 \pi R^3$ .

Что делать, если в ответе получился корень?

Перепроверить, что именно спрашивают: иногда нужен квадрат длины или величина, делённая на $\sqrt3$ . Если вопрос простой, а ответ иррациональный, ищите арифметическую ошибку.

Сколько времени отводить на стереометрию первой части?

Ориентир — 4–6 минут. Если формула не вспоминается, отметьте номер и вернитесь к нему после остальных задач первой части.