Задание 4 ЕГЭ профиль: вероятность через подсчёт исходов

Что проверяет задание 4 и как оценивается

Задание 4 — это проверка умения применять классическое определение вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$ , где $n$ — число всех равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятных. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

По проекту спецификации ФИПИ 2027 года первая часть профильного варианта включает 13 номеров с кратким ответом, и теории вероятностей в ней отведено уже три позиции: классическая вероятность (четвёртый номер), теоремы о вероятностях (пятый) и новая задача про случайную величину (шестой). Для четвёртого номера ничего не изменилось — ни место, ни балл, ни формат.

Задачи этого номера опираются на школьный курс «Вероятность и статистика», который по федеральной образовательной программе изучается отдельно с 7 класса^[2]. Сюжеты знакомые: жеребьёвка, билеты на экзамене, бракованные изделия, монеты и игральные кости. Главная трудность — не формула, а аккуратный подсчёт исходов: каждый исход нужно учесть ровно один раз, и ни один исход не должен оказаться «важнее» другого.

Разделение между четвёртым и пятым номерами устроено так: в четвёртом достаточно одной дроби $\frac{m}{n}$ и, иногда, перебора исходов; в пятом нужно комбинировать вероятности разных событий — складывать, перемножать, переходить к противоположному событию.

Классическое определение и виды задач

Классическое определение работает только при одном условии — все исходы опыта равновозможны. Если это так, достаточно двух чисел, и задача решается за 1–2 минуты.

Сюжет	Что считать за $n$	Что считать за $m$
Жеребьёвка, порядок выступлений	число всех участников	участники нужной группы
Билеты, вопросы, задачи в сборнике	число всех билетов	билеты с нужной темой
Брак и исправные изделия	все изделия в партии	исправные (или бракованные) изделия
Монета, брошенная $k$ раз	$2^k$ последовательностей	последовательности с нужным числом орлов
Две игральные кости	$6 \cdot 6 = 36$ пар	пары с нужной суммой или условием

Для монет и кубиков полезно выписать все исходы в таблицу или списком: при трёх бросках монеты их 8, при двух бросках кубика — 36. Выписанный список исключает две самые частые ошибки: пропуск исхода и двойной счёт. В учебнике Высоцкого и Ященко^[3] этот приём называется перебором и разбирается на десятках примеров.

Если нужна теория с самого начала, откройте статью про классическое определение вероятности. Когда исходов становится слишком много для перебора, помогают формулы из темы комбинаторика: перестановки и сочетания.

Разбор типовых задач

Чтобы решить задачу на классическую вероятность, ответьте на 3 вопроса: в чём опыт, сколько у него равновозможных исходов, сколько из них благоприятны. Ниже — четыре задачи с разными сюжетами.

Билеты на экзамене

В сборнике 40 билетов, в 6 из них есть вопрос о логарифмах. Ученик берёт один билет наугад. Найдите вероятность того, что в билете не будет вопроса о логарифмах.

Всего исходов 40, благоприятных — билетов без логарифмов — $40 - 6 = 34$ . Вероятность: $\frac{34}{40} = 0{,}85$ . Тот же ответ даёт противоположное событие: $1 - \frac{6}{40} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Совпадение двух способов — хорошая проверка. Ответ: 0,85.

Сумма очков на двух кубиках

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до сотых.

Исходов 36: каждая упорядоченная пара очков. Сумма 8 получается в 5 случаях: $(2;6)$ , $(3;5)$ , $(4;4)$ , $(5;3)$ , $(6;2)$ . Вероятность: $\frac{5}{36} = 0{,}1388\ldots$ , после округления до сотых — 0,14. Пары $(2;6)$ и $(6;2)$ — разные исходы: первый кубик и второй различимы, даже если выглядят одинаково. Ответ: 0,14.

Монета три раза

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Всех последовательностей $2^3 = 8$ . Ровно два орла: ООР, ОРО, РОО — три исхода. Вероятность: $\frac38 = 0{,}375$ . Эта дробь конечная, поэтому в бланк записывается без округления. Ответ: 0,375. Заметьте: исход ООР и исход РОО различаются порядком, и именно поэтому их три, а не один.

Исправные изделия

В среднем из 500 садовых насосов 4 подтекают. Найдите вероятность того, что выбранный наугад насос не подтекает.

Не подтекают $500 - 4 = 496$ насосов, вероятность $\frac{496}{500} = 0{,}992$ . Ошибка, которую здесь допускают постоянно, — дать ответ $\frac{4}{500} = 0{,}008$ , то есть вероятность противоположного события. Перечитайте, о каком событии вопрос. Ответ: 0,992.

Миф: «если монета пять раз подряд упала орлом, в шестой раз решка вероятнее». Это неверно: броски независимы, и вероятность решки на каждом броске остаётся $\frac12$ . «Памяти» у монеты не существует, а ощущение «должна выпасть решка» — известная ошибка игрока.

Тренажёр по классической вероятности

Тренажёр «№ 4 ЕГЭ профиль» вверху страницы выдаёт бесконечные варианты задачи о жеребьёвке: докладчики из нескольких стран, и нужно найти вероятность, что последним выступит участник из заданной страны.

Числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →». Впишите десятичную дробь в поле «Ответ», нажмите «Проверить», при ошибке откройте «Решение». Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают точность. Цель — 10 верных ответов подряд, включая аккуратный перевод дроби в десятичную запись: тогда задание 4 на экзамене займёт не больше двух минут.

Генератор тренирует один сюжет, поэтому задачи про монеты и кубики стоит решать дополнительно. Посмотреть, как частота приближается к вероятности, можно в симуляторе монет и кубиков: тысяча бросков за секунду наглядно показывает, почему $\frac{5}{36}$ — это не «сумма 8 выпадает часто».

Ошибки и ловушки в задании 4

Если ответ не совпал, почти всегда виноват неверный подсчёт $n$ или $m$ — формула $\frac{m}{n}$ сама по себе ошибок не даёт.

Неравновозможные исходы. Сумма очков на двух кубиках принимает 11 значений, но они не равновозможны. Считать $n = 11$ нельзя — нужно 36 пар.
Противоположное событие. «Не подтекает» и «подтекает» — разные вопросы, их вероятности в сумме дают 1. Подчеркните в условии частицу «не».
Неточное $n$ . В задаче «2 из России, 11 из Казахстана, остальные из Беларуси, всего 40» число белорусов равно $40 - 13 = 27$ , а не 40.
Округление. Если дробь не переводится в конечную десятичную, условие обязательно просит округлить. Округлять промежуточные значения не следует — только итог.
Порядок не важен. Вероятность «выступить последним» равна вероятности «выступить первым» или «десятым»: при жеребьёвке все позиции равноправны.

Не путать: одна дробь $\frac{m}{n}$ в четвёртом номере и комбинации событий в пятом. Задачи «хотя бы один попадёт» и «оба исправны» разобраны на странице про теоремы сложения и умножения.

Проверка ответа и запись в бланк

Ответ в задании 4 — вероятность, то есть число от 0 до 1, поэтому ответ больше единицы или отрицательный не может быть верным. В бланк пишут десятичную дробь через запятую: «0,85», а не «85%» и не «17/20».

Самопроверка: найдите вероятность противоположного события другим способом и сложите — должна получиться единица. Для задач с монетами и кубиками полезно проверить, что сумма вероятностей всех вариантов (0, 1, 2, 3 орла) равна 1: $\frac18 + \frac38 + \frac38 + \frac18 = 1$ .

Округление делается по обычным правилам: $0{,}1388\ldots$ до сотых — 0,14, до тысячных — 0,139. Ноль перед запятой обязателен, лишние нули в конце можно не писать.

Когда этот номер не поможет набрать баллы

Не всегда вероятность — лучший старт, хотя номер считается одним из самых доступных в первой части.

Если дроби и перевод в десятичную запись вызывают затруднения, начать стоит с 2–3 занятий на арифметику, иначе ошибки будут в каждом ответе.
Если номер уже решается верно в 10 случаях из 10, переходите к пятому и шестому номерам: там баллы добываются с большим запасом роста.
Если до экзамена меньше 2 недель, хватит отработать 4 основных сюжета из таблицы, а редкие формулировки оставить.
Если вы решаете задачу дольше 5 минут, проблема не в вероятности, а в переборе — нужна тренировка на выписывание исходов.

Чего делать нельзя

Нельзя решать вероятность «по ощущениям» — интуиция здесь подводит чаще, чем в любом другом номере.

Нельзя записывать ответ в процентах или обыкновенной дробью — только десятичная дробь.
Нельзя считать исходы неравновозможными и всё равно применять формулу $\frac{m}{n}$ .
Не следует округлять, если условие этого не просит: $\frac38$ записывается точно как 0,375.
Не следует путать вопрос «бракованный» и «исправный» — ответы в сумме дают 1, но засчитывается только один.
Не стоит перебирать исходы в уме при числе вариантов больше 6 — выпишите их на черновике.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[3] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Задание 4 в 2026 году было таким же?

Да. Номер, место в варианте и 1 балл сохранились; изменения 2027 года, описанные ФИПИ^[4], коснулись шестого, тринадцатого и семнадцатого номеров.

Нужно ли знать формулы сочетаний?

Желательно. Большинство задач решается перебором, но если исходов десятки, формула $C_n^k$ экономит время и снижает риск пропустить вариант.

Может ли ответ быть равен 0 или 1?

Теоретически да — для невозможного и достоверного события. На практике такой ответ в экзаменационной задаче встречается редко, поэтому стоит перепроверить условие.

Чем частота отличается от вероятности?

Частота — доля случаев в проведённой серии опытов, вероятность — теоретическое число. При большом числе опытов частота приближается к вероятности, но не обязана совпадать с ней.

Что делать, если дробь не сокращается до десятичной?

Значит, в условии должна быть просьба округлить. Если её нет, а дробь вида $\frac13$ , почти наверняка ошибка в подсчёте исходов.

Сколько задач решить для уверенности?

Около 40–50 задач разных сюжетов, разбитых на несколько подходов. Решение без подсказок с последующей проверкой запоминается лучше, чем перечитывание готовых разборов.