Задание 1 ЕГЭ профиль: планиметрия, углы и площади фигур

Что проверяет задание 1 и сколько оно стоит

Задание 1 — это первая задача первой части варианта: одна плоская фигура, один вопрос и ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

По проекту спецификации ФИПИ 2027 года вариант профильного уровня содержит 20 заданий, из них первая часть — номера с 1-го по 13-й, каждый по 1 баллу; наибольший результат за всю работу — 33 первичных балла. Нумерация первых пяти номеров не изменилась: планиметрия была задачей № 1 и в 2026 году, поэтому все задачи прошлых лет и сборники типовых вариантов подходят для тренировки без поправок.

Решение не проверяет эксперт: оценивается только число в бланке. Значит, ошибка в одном знаке или в выборе формулы стоит целого балла, а аккуратный черновик ничего не добавляет к оценке, но сильно снижает риск промаха. На такую задачу разумно отводить 3–6 минут.

Содержание номера опирается на школьный курс геометрии 7–9 классов: признаки и свойства треугольников, теорема Пифагора, тригонометрия острого угла, свойства параллелограмма, ромба и трапеции, вписанные и центральные углы, касательная. Из курса 10–11 классов почти ничего не требуется, поэтому подготовка к первому номеру — это в основном повторение базовой геометрии на более быстром темпе.

Какие фигуры и теоремы встречаются

В первом номере встречаются 3 семейства фигур: треугольники (включая прямоугольные и равнобедренные), четырёхугольники и окружности с вписанными углами. Набор теорем ограничен — около десяти фактов покрывают почти все формулировки.

Фигура	Ключевой факт	Типичный вопрос
Прямоугольный треугольник	$a^2 + b^2 = c^2$ , $\sin A = \frac{a}{c}$ , $\cos A = \frac{b}{c}$	найти катет по гипотенузе и синусу
Произвольный треугольник	сумма углов $180^\circ$ , теорема синусов, теорема косинусов	найти угол или сторону, радиус описанной окружности
Равнобедренный треугольник	углы при основании равны, высота к основанию — медиана и биссектриса	угол при основании по углу при вершине
Параллелограмм, ромб, трапеция	сумма соседних углов $180^\circ$ , $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ для трапеции	угол, высота, площадь, средняя линия
Окружность	вписанный угол равен половине центрального, касательная перпендикулярна радиусу	угол, опирающийся на дугу или диаметр
Вписанный четырёхугольник	сумма противоположных углов $180^\circ$	найти угол $C$ по углу $A$

Учебник Атанасяна для 7–9 классов^[2] содержит все эти теоремы с доказательствами, и именно в его формулировках их удобно повторять. Если теорема Пифагора и признаки подобия даются неуверенно, начните с отдельной страницы про теорему Пифагора и пифагоровы тройки, а для окружности — с материала о центральных и вписанных углах.

Площади фигур в первом номере встречаются реже, чем углы и стороны, но формулы нужно помнить без справочника: на профильном ЕГЭ справочные материалы с формулами площадей не выдаются. Полный список — в статье о формулах площадей треугольника и четырёхугольников.

Разбор трёх типовых задач по шагам

Чтобы решить любую задачу этого номера, хватает схемы из 4 шагов: нарисовать фигуру, подписать данные, выбрать одну теорему, которая связывает известное с искомым, и проверить ответ на правдоподобие.

Задача 1. Вписанный угол

Точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$ . Угол $AOB$ равен $124^\circ$ , точка $C$ лежит на большей дуге $AB$ . Найдите угол $ACB$ . Ответ дайте в градусах.

Центральный угол $AOB$ и вписанный угол $ACB$ опираются на одну и ту же меньшую дугу $AB$ . По теореме о вписанном угле он равен половине центрального: $124^\circ : 2 = 62^\circ$ . Важная оговорка про положение точки $C$ : если бы она лежала на меньшей дуге, вписанный угол опирался бы на большую дугу в $360^\circ - 124^\circ = 236^\circ$ и был бы равен $118^\circ$ . Поэтому условие о положении точки нельзя пропускать. Ответ: 62.

Задача 2. Катет через синус

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, гипотенуза $AB = 25$ , $\sin A = 0{,}28$ . Найдите катет $AC$ .

Синус угла $A$ — отношение противолежащего катета к гипотенузе, поэтому сначала находим $BC = AB \cdot \sin A = 25 \cdot 0{,}28 = 7$ . Искомый катет $AC$ прилежит к углу $A$ , и проще всего получить его по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$ . Проверка: тройка 7, 24, 25 — известная пифагорова, а больший катет лежит против большего угла, что согласуется с малым синусом угла $A$ . Ответ: 24.

Задача 3. Площадь трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 16, боковая сторона равна 13. Найдите площадь трапеции.

Опустим из концов меньшего основания две высоты. Они отрезают от большего основания два равных отрезка длиной $(16 - 6) : 2 = 5$ . В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 13 и катетом 5 второй катет — высота трапеции: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ . Площадь: $S = \frac{6 + 16}{2} \cdot 12 = 132$ . Ответ: 132.

Миф: «в первом номере профиля задачи сложнее, чем в ОГЭ, и без формул синусов и косинусов кратных углов не обойтись». Это неверно: формулы двойного угла в планиметрии первой части почти не нужны, а большинство задач решается одной теоремой из таблицы выше. Сложность — в скорости и внимательности, а не в новых формулах.

Тренажёр с проверкой ответа

Тренажёр «№ 1 ЕГЭ профиль» вверху страницы выдаёт бесконечные варианты трёх видов: угол вписанного четырёхугольника, катет прямоугольного треугольника через косинус и угол при основании равнобедренного треугольника.

Введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» раскрывает разбор, «Следующая задача →» меняет числа, а полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» показывают точность за подход. Рабочая норма — 12 задач подряд не более чем с одной ошибкой: на таком темпе задание 1 перестаёт отнимать время у остальных номеров.

Генератор охватывает только часть тем номера: в нём нет трапеций, касательных и теоремы синусов. Поэтому после него стоит прорешать подборку из сборника типовых вариантов под редакцией Ященко^[3] — 20–30 задач разных формулировок дают уверенность, что незнакомая картинка на экзамене не собьёт.

Типичные ошибки и ловушки

Если ответ в задании 1 не совпал, причина почти всегда одна из пяти: перепутан катет, не та дуга, не та высота, лишний множитель или неверно прочитанный вопрос.

Противолежащий и прилежащий. Синус и косинус меняются местами, если не подписать на рисунке, какой катет лежит против угла. Проверка: синус острого угла растёт вместе с углом, косинус — убывает.
Не та дуга. Вписанный угол может опираться на большую дугу, тогда он тупой. Если по рисунку угол явно тупой, а ответ меньше $90^\circ$ , ошибка найдена.
Боковая сторона вместо высоты. В параллелограмме и трапеции площадь считают через высоту, а не через наклонную сторону; иначе ответ получается завышенным.
Половина или целое. Площадь треугольника содержит множитель $\frac12$ , площадь параллелограмма — нет. Пропуск множителя даёт ответ ровно вдвое больше верного.
Вопрос не о том. Часто находят промежуточную величину — например, катет $BC$ вместо $AC$ — и сразу переносят её в бланк. Перечитайте последнее предложение условия.

Не путать: краткий ответ первого номера и развёрнутое решение второй части. Планиметрия с доказательством на 3 балла — это отдельный номер, о нём рассказано на странице про задание 18 с доказательством.

Как проверить ответ и записать его в бланк

Ответ — это одно число без единиц измерения: градусы, сантиметры и знак « $^\circ$ » в бланк не пишут. Десятичную дробь записывают через запятую, каждый символ — в отдельную клеточку.

Перед переносом сделайте три быстрые проверки. Первая — правдоподобие: угол треугольника меньше $180^\circ$ , катет короче гипотенузы, площадь положительна. Вторая — второй способ: если сторону нашли через синус, проверьте её теоремой Пифагора; если угол — через вписанный, сложите все углы треугольника. Третья — соответствие вопросу: найдено то, что спрашивают, и в тех единицах, которые указаны.

Ответ в виде $\sqrt{3}$ или $\pi$ в бланк записать невозможно, поэтому такой результат почти наверняка означает ошибку, если условие не просит, например, найти $\frac{S}{\sqrt3}$ . Дробь вида $\frac{1}{3}$ , которая не переводится в конечную десятичную, тоже не может быть ответом. Подробные правила оформления с примерами есть в статье как записывать ответы в бланк.

Когда старт с геометрии не работает

Не всегда разумно начинать вариант с геометрии — порядок решения зависит от того, какие номера даются быстрее.

Если на одну задачу по планиметрии уходит больше 8 минут, выгоднее сначала решить вычислительные номера и вернуться к фигурам в конце первой части.
Если в пробниках номер решается верно реже, чем в 2 случаях из 3, не стоит начинать с него: неуверенный старт съедает время и настроение.
Если до экзамена меньше 3 недель, а геометрия 7–9 классов не повторялась вовсе, разумнее закрепить 4–5 самых частых фактов, а не все теоремы курса.
Если цель — только аттестат и 27 тестовых баллов, хватит 5 любых верных заданий первой части, и планиметрия — лишь одна из возможностей.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на задаче, которую вы умеете решать, — большинство потерь здесь связано не с незнанием, а с привычками.

Нельзя решать без чертежа: даже грубый рисунок от руки показывает, какой катет противолежащий и на какую дугу опирается угол.
Нельзя измерять углы и отрезки линейкой по рисунку в КИМ: чертёж не обязан быть в масштабе.
Не следует подставлять в ответ промежуточный результат, не перечитав вопрос задачи.
Не следует писать в бланк единицы измерения, знак градуса или слово «см» — такой ответ не засчитывается.
Не стоит учить формулы без условий применимости: теорема Пифагора верна только для прямоугольного треугольника.
Не стоит тратить на первый номер больше 10 минут: лучше пометить его и вернуться после остальных заданий первой части.

Миф: «если на рисунке угол выглядит прямым, его можно считать прямым». Не бывает такого правила: прямой угол должен следовать из условия или из теоремы — например, вписанный угол, опирающийся на диаметр. Рисунок в варианте лишь иллюстрирует условие.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Задание 1 в 2026 году было таким же?

Да. По «Планируемым изменениям в КИМ ЕГЭ 2027 года» новые номера появились дальше по варианту (№ 6, № 13 и № 17), а планиметрия с кратким ответом осталась первой и стоит 1 балл. Обзор всех перестановок — на странице изменения ЕГЭ профиль по проекту 2027.

Можно ли пользоваться калькулятором или транспортиром?

Нет. На профильном ЕГЭ разрешена только линейка, калькулятор запрещён. Числа в задачах подобраны так, чтобы всё считалось вручную.

Нужно ли знать теорему синусов?

Да, она встречается в задачах про радиус описанной окружности: $\frac{a}{\sin A} = 2R$ . Теорема косинусов нужна реже, но знать её тоже стоит.

Что делать, если ответ получился с корнем?

Перечитать условие: часто спрашивают не саму величину, а, например, её квадрат или отношение к $\sqrt3$ . Если вопрос простой, а в ответе корень, ищите ошибку в вычислениях.

Сколько времени тратить на первый номер?

Ориентир — до 5 минут вместе с проверкой. Если задача не идёт дольше 10 минут, лучше перейти к следующим номерам и вернуться к ней в конце первой части.

Хватит ли школьного учебника для подготовки?

Для теории — да: учебник геометрии 7–9 классов содержит все нужные факты. Для скорости добавьте тренажёр и сборник типовых вариантов: навык решать за 3–5 минут появляется только на десятках однотипных задач.