Вписанный угол и центральный: теорема, дуги, хорды

Q: В каких заданиях ОГЭ встречается эта тема?

По кодификатору ОГЭ [2] углы в окружности относятся к геометрическому блоку: чаще всего это задание 16, а также высказывания в задании 19 и задачи второй части. В ЕГЭ эта же теорема нужна в планиметрии первой и второй части.

Q: Может ли вписанный в окружность угол быть тупым?

Да, если он опирается на дугу больше 180^\circ. Например, при дуге 260^\circ угол равен 130^\circ.

Q: Как найти угол, если известно отношение дуг?

Разделите 360^\circ на сумму частей, найдите каждую дугу, затем возьмите половину нужной. Сумма углов треугольника 180^\circ сразу проверит расчёт.

Q: Где взять задачи сложнее экзаменационных?

В сборнике Прасолова [4] есть целый раздел об углах, связанных с окружностью. Он подойдёт тем, кто уже уверенно решает задание 16 и готовится к задачам 23–25.

Центральный угол и градусная мера дуги

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, его стороны — два радиуса. Градусная мера дуги по определению равна центральному углу, который на неё опирается: угол $AOB = 140^\circ$ означает, что меньшая дуга $AB$ тоже $140^\circ$ .

Две точки делят окружность на две дуги, и их сумма всегда $360^\circ$ . Ни одна дуга не может быть больше $360^\circ$ , а центральный угол в треугольнике $AOB$ не может превышать $180^\circ$ . Поэтому при записи важно уточнять, о какой дуге речь: при меньшей дуге $140^\circ$ большая равна $220^\circ$ . В задачах дугу часто обозначают тремя буквами, например $\smile ACB$ , чтобы показать, через какую точку она проходит.

Центральный угол связан с длиной хорды. Треугольник $AOB$ равнобедренный, его боковые стороны — радиусы, поэтому углы при основании равны $\frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$ . При центральном угле $100^\circ$ каждый из них равен $40^\circ$ . Если хорда равна радиусу, треугольник равносторонний, и центральный угол равен $60^\circ$ . Длину самой дуги через центральный угол находят по формуле из статьи про длину дуги и площадь сектора.

Вписанный угол: теорема и её доказательство

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Теорема: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Она применима только при условии, что вершина лежит именно на окружности, а не рядом с ней.

$\angle ACB = \frac12 \smile AB = \frac12 \angle AOB.$

В учебнике Атанасяна^[1] теорему доказывают в три шага. Сначала разбирают случай, когда одна сторона угла проходит через центр. Пусть $BC$ — диаметр, $O$ — центр. Треугольник $AOC$ равнобедренный, $OA = OC$ , значит, его углы при основании равны. Центральный угол $AOB$ — внешний угол этого треугольника и равен сумме двух равных углов, то есть вдвое больше вписанного угла $ACB$ . Ограничиться одним этим случаем в доказательстве нельзя. Остальные случаи — центр внутри угла и центр вне угла — сводятся к первому: проводят диаметр через вершину и складывают или вычитают два угла.

Пример: точки $A$ , $B$ , $C$ лежат на окружности, дуга $AB$ , не содержащая $C$ , равна $140^\circ$ . Тогда вписанный угол $ACB = 70^\circ$ , а центральный угол $AOB = 140^\circ$ . Обратная задача тоже типична: если вписанный угол $BAC = 40^\circ$ , то центральный угол $BOC = 80^\circ$ , а угол $OBC$ в равнобедренном треугольнике $BOC$ равен $\frac{180 - 80}{2} = 50^\circ$ .

Миф: «вписанный угол равен центральному, если они опираются на одну хорду». Это неверно: при общей дуге вписанный угол всегда вдвое меньше центрального. Равенства не бывает ни при каком положении точек на окружности.

Три следствия, которые решают половину задач

Из теоремы о вписанном угле вытекают 3 следствия, и именно они чаще всего нужны в задании 16 ОГЭ: равенство углов на одну дугу, прямой угол на диаметр и сумма $180^\circ$ для углов по разные стороны хорды.

Углы на одну дугу. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Если $\angle ACB = 35^\circ$ , то и $\angle ADB = 35^\circ$ для любой точки $D$ той же дуги.
Угол на диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой: полуокружность равна $180^\circ$ , половина — $90^\circ$ .
Углы по разные стороны хорды. Два вписанных угла, опирающихся на одну хорду с разных сторон, в сумме дают $180^\circ$ : их дуги вместе составляют всю окружность.

Второе следствие работает и в обратную сторону: если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, — диаметр. Поэтому центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы. Это свойство подробно разобрано в статье про описанную окружность треугольника.

Третье следствие даёт хорду, равную радиусу, два ответа: вписанный угол на неё равен $30^\circ$ , если вершина на большей дуге, и $150^\circ$ , если на меньшей. В задачах без рисунка такая двойственность — частая ловушка: записывать один ответ, не проверив положение вершины, не следует.

Вписанный четырёхугольник

Если все 4 вершины четырёхугольника лежат на окружности, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ . Это прямое применение третьего следствия: противоположные углы опираются на одну диагональ с разных сторон.

Например, в четырёхугольнике $ABCD$ , вписанном в окружность, $\angle A = 75^\circ$ , значит, $\angle C = 105^\circ$ . Верно и обратное утверждение: если сумма противоположных углов $180^\circ$ , около четырёхугольника можно описать окружность. Поэтому из параллелограммов вписать в окружность можно только прямоугольник, а из трапеций — только равнобедренную. Ромб с углом $60^\circ$ вписать в окружность не получится: $60 + 60 \ne 180$ .

Угол между хордами и угол между секущими

Если вершина угла лежит не на окружности, а внутри или снаружи, работают 2 другие формулы: внутри — полусумма дуг, снаружи — полуразность. Обе выводятся из теоремы о вписанном угле через внешний угол треугольника.

Пусть хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ . Угол $AMB$ — внешний для треугольника $BMC$ , поэтому он равен сумме вписанных углов $MBC$ и $MCB$ , то есть половине дуги $CD$ плюс половине дуги $AB$ :

$\angle AMB = \frac{\smile AB + \smile CD}{2}.$

При дугах $100^\circ$ и $60^\circ$ угол между хордами равен $80^\circ$ . Если же две секущие выходят из точки $P$ вне окружности и высекают дуги $130^\circ$ (дальнюю) и $50^\circ$ (ближнюю), угол между ними равен $\frac{130 - 50}{2} = 40^\circ$ . Угол между касательной и хордой подчиняется тому же закону «половина дуги»; он разобран в материале про угол между касательной и хордой.

Где вершина угла	Как называется	Формула	Пример
В центре окружности	центральный	равен дуге	дуга $140^\circ$ → угол $140^\circ$
На окружности	вписанный	половина дуги	дуга $140^\circ$ → угол $70^\circ$
Внутри круга	угол между хордами	полусумма дуг	$100^\circ$ и $60^\circ$ → $80^\circ$
Вне круга	угол между секущими	полуразность дуг	$130^\circ$ и $50^\circ$ → $40^\circ$

По таблице видно общее правило: чем дальше вершина от центра, тем меньше угол при тех же дугах. Это полезно для прикидки ответа — центральный угол всегда больше вписанного, а вписанный больше угла между секущими.

Разбор задач

Чтобы решить задачу на углы в окружности, сначала найдите дугу, на которую опирается искомый угол, и определите, где лежит его вершина. Дальше остаётся одна формула из таблицы.

Задача 1. Точки $A$ , $B$ , $C$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 5$ . Найдите больший угол треугольника $ABC$ .

Вся окружность $360^\circ$ , на одну часть приходится $360 : 12 = 30^\circ$ . Дуги равны $90^\circ$ , $120^\circ$ и $150^\circ$ . Каждый угол треугольника — вписанный и равен половине противолежащей дуги: $45^\circ$ , $60^\circ$ , $75^\circ$ . Сумма $180^\circ$ — проверка сошлась. Ответ: 75.

Задача 2. Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ . Дуга $AB$ равна $84^\circ$ , дуга $CD$ равна $116^\circ$ . Найдите угол $AMB$ .

Вершина внутри круга, значит, угол равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями: $\frac{84 + 116}{2} = 100^\circ$ . Ответ: 100.

Задача 3. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $C$ — точка окружности, $\angle ABC = 28^\circ$ . Найдите угол $BAC$ .

Угол $ACB$ опирается на диаметр, поэтому он прямой. В треугольнике $ABC$ : $\angle BAC = 90 - 28 = 62^\circ$ . Ответ: 62.

Связь вписанного угла с длиной хорды даёт теорема синусов: хорда $AB = 2R\sin\angle ACB$ . Её разбор — в статье теорема синусов и косинусов.

Тренажёр задания 16 ОГЭ

В начале страницы стоит «Тренажёр · № 16 ОГЭ · бесконечные варианты» — генератор задач на центральный и вписанный угол, угол на диаметр и хорду через центр, с новыми числами при каждом нажатии «Следующая задача →».

Записывайте ответ в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». Если ошиблись, кнопка «Решение» покажет нужное правило. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают увидеть прогресс; разумная цель — 10 верных подряд. Решать по памяти, не подглядывая в решение, полезнее, чем перечитывать теорию: это подтверждает исследование Roediger и Karpicke^[3]. Полный разбор номера с другими сюжетами — на странице задание 16 ОГЭ.

Когда правило половины дуги не поможет

Не во всех задачах про окружность ответ даёт теорема о вписанном угле — иногда нужна другая идея.

Если вершина угла не лежит ни на окружности, ни в центре, формула «половина дуги» неверна: нужна полусумма или полуразность 2 дуг.
Если в задаче требуется длина хорды, а дан только 1 угол, без радиуса ответа не будет — нужна теорема синусов.
Если угол образован касательной и хордой, сторона угла не пересекает окружность во 2-й точке, и это отдельная теорема.
Если в условии нет рисунка, а хорда не диаметр, возможны 2 ответа — проверьте, на какой дуге лежит вершина.

Чего делать нельзя

Нельзя путать дугу, на которую опирается угол, с дугой, на которой лежит его вершина: ошибка сразу удваивает или меняет ответ.

Нельзя делить пополам центральный угол, чтобы получить другой центральный: пополам делится только при переходе к вписанному.
Нельзя считать угол прямым, если хорда не диаметр, даже если на рисунке он «выглядит» прямым.
Не следует брать меньшую дугу по умолчанию: вписанный угол опирается на ту дугу, которая лежит внутри него.
Не следует складывать дуги для угла с вершиной вне круга — там нужна разность.
Не стоит записывать ответ со знаком градуса: в бланк идёт только число.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

Вопросы и ответы

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Вершиной: у центрального она в центре окружности, у вписанного — на самой окружности. При общей дуге вписанный вдвое меньше центрального.

В каких заданиях ОГЭ встречается эта тема?

По кодификатору ОГЭ^[2] углы в окружности относятся к геометрическому блоку: чаще всего это задание 16, а также высказывания в задании 19 и задачи второй части. В ЕГЭ эта же теорема нужна в планиметрии первой и второй части.

Может ли вписанный в окружность угол быть тупым?

Да, если он опирается на дугу больше $180^\circ$ . Например, при дуге $260^\circ$ угол равен $130^\circ$ .

Как найти угол, если известно отношение дуг?

Разделите $360^\circ$ на сумму частей, найдите каждую дугу, затем возьмите половину нужной. Сумма углов треугольника $180^\circ$ сразу проверит расчёт.

Нужно ли доказывать теорему на экзамене?

Не нужно: это теорема школьного курса, на неё достаточно сослаться. Доказательство полезно знать для задачи 24, где похожие рассуждения встречаются внутри решения.

Где взять задачи сложнее экзаменационных?

В сборнике Прасолова^[4] есть целый раздел об углах, связанных с окружностью. Он подойдёт тем, кто уже уверенно решает задание 16 и готовится к задачам 23–25.