Свойства касательной: радиус, равные отрезки и угол с хордой

Что такое касательная к окружности

Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью единственную общую точку, называемую точкой касания. Узнать её можно по расстоянию: если расстояние от центра до прямой равно радиусу, прямая касается окружности.

Прямая и окружность могут располагаться тремя способами, и все три определяются сравнением расстояния $d$ от центра до прямой с радиусом $r$. Касательная — пограничный случай между секущей и прямой, которая окружность не задевает. Касательная к окружности не может иметь с ней вторую общую точку: как только прямая чуть сдвигается к центру, она становится секущей.

Касательная к окружности, таким образом, — единственный из трёх случаев, где расстояние до центра в точности равно радиусу. Через точку, лежащую на окружности, проходит ровно одна касательная. Через точку вне окружности — ровно две, через точку внутри — ни одной. Это сразу отвечает на частый вопрос из задания 19 ОГЭ: утверждение «через любую точку можно провести касательную к окружности» неверно, если точка лежит внутри круга.

Касательная перпендикулярна радиусу

Главное свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Если $OA$ — радиус, а прямая $a$ касается окружности в точке $A$, то $OA \perp a$.

В учебнике Атанасяна^[1] эту теорему доказывают от противного. Допустим, радиус $OA$ не перпендикулярен прямой. Тогда перпендикуляр $OH$ из центра на прямую короче наклонной $OA$, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Но при $d < r$ прямая — секущая и имеет две общие точки с окружностью, что противоречит условию. Значит, $OA \perp a$.

Верна и обратная теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, она касательная. Так касательную и строят циркулем и линейкой — проводят перпендикуляр к радиусу в его конце.

Перпендикулярность превращает задачу о касательной в задачу о прямоугольном треугольнике: если в условии есть касательная к окружности, радиус в точку касания нужно провести первым делом. Без этого прямого угла решение не получится почти никогда. Если точка $P$ удалена от центра на $d$, а радиус равен $r$, длина отрезка касательной из $P$ равна

$$PA = \sqrt{d^2 - r^2}.$$

При $d = 10$ и $r = 6$ получаем $PA = \sqrt{100 - 36} = 8$. Это обычная теорема Пифагора, где радиус — катет, а отрезок $OP$ — гипотенуза.

Миф: «касательная — это прямая, которая просто не пересекает окружность насквозь». Это неверно: касательная обязательно имеет общую точку с окружностью. Прямая, проходящая мимо окружности без общих точек, касательной не является, как бы близко она ни подходила.

Отрезки касательных из одной точки

Если из точки $P$ провести 2 касательные $PA$ и $PB$ к одной окружности, их отрезки до точек касания равны: $PA = PB$. Центр окружности при этом лежит на биссектрисе угла $APB$. Это верно только для касательных к одной и той же окружности.

Доказательство занимает две строки. Прямоугольные треугольники $OAP$ и $OBP$ имеют общую гипотенузу $OP$ и равные катеты $OA = OB = r$, значит, они равны. Отсюда $PA = PB$ и $\angle APO = \angle BPO$.

В четырёхугольнике $OAPB$ два угла прямые, поэтому угол между касательными и центральный угол $AOB$ в сумме дают $180^\circ$. Если центральный угол равен $140^\circ$, угол между касательными — $40^\circ$. Треугольник $APB$ равнобедренный, и это свойство часто даёт недостающий угол.

Равенство отрезков касательных лежит в основе всей темы вписанных окружностей. Например, у четырёхугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны, а в треугольнике отрезок касательной из вершины равен полупериметру минус противолежащая сторона. Подробно эти формулы разобраны в статье про вписанную окружность треугольника.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла. Это тот же закон, что и для вписанного угла: касательная к окружности ведёт себя как предельное положение секущей, у которой обе точки пересечения слились.

Пусть касательная проходит через точку $A$, а хорда $AB$ отсекает дугу $110^\circ$, лежащую внутри угла. Тогда угол между хордой и касательной равен $55^\circ$. Доказать это можно через радиус: в равнобедренном треугольнике $AOB$ угол $OAB$ равен $\frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$, а угол между касательной и хордой дополняет его до $90^\circ$, то есть равен $\frac12 \angle AOB$.

Отсюда следствие: угол между касательной и хордой равен любому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Если угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен $40^\circ$, то вписанный угол $ACB$ с вершиной на другой дуге тоже $40^\circ$. Подробнее о том, как работают дуги, — в материале про вписанные и центральные углы.

Касательная и секущая из одной точки

Если из точки $P$ проведены касательная $PT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Теорема следует из подобия треугольников $PTA$ и $PBT$: у них общий угол $P$, а угол $PTA$ между касательной и хордой равен вписанному углу $PBT$. При $PA = 2$ и $PB = 8$ отрезок касательной $PT = \sqrt{16} = 4$. Важно, что $PB$ — вся секущая от точки $P$ до дальней точки, а не её внутренняя часть $AB$. Сам приём с подобием разобран в статье про подобие треугольников.

Общие касательные двух окружностей

У двух окружностей может быть от 0 до 4 общих прямых, касающихся обеих, — всё зависит от расстояния $d$ между центрами и радиусов $R$ и $r$.

Если окружности лежат одна вне другой, таких прямых четыре: две внешние и две внутренние. Длину внешнего общего отрезка между точками касания находят по формуле $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$, внутреннего — по формуле $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$. При $R = 4$, $r = 2$, $d = 10$ внутренний общий отрезок равен $\sqrt{100 - 36} = 8$. Обе формулы получаются из прямоугольной трапеции или прямоугольного треугольника, если сдвинуть эту прямую параллельно до центра меньшей окружности.

Разбор задач

Чтобы решить задачу с касательной, первым делом проведите радиус в точку касания — он даёт прямой угол. Ниже 3 задачи разной сложности.

Задача 1. Из точки $P$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $PA$ и $PB$, угол $APB$ равен $50^\circ$. Найдите угол $OAB$.

Треугольник $APB$ равнобедренный, потому что $PA = PB$, его углы при основании равны $\frac{180 - 50}{2} = 65^\circ$. Угол $OAP$ прямой, поэтому $\angle OAB = 90 - 65 = 25^\circ$. Ответ: 25.

Задача 2. Касательные $PA$ и $PB$ к окружности равны 12. Третья касательная касается окружности в точке $M$ меньшей дуги $AB$ и пересекает отрезки $PA$ и $PB$ в точках $K$ и $L$. Найдите периметр треугольника $PKL$.

Из точки $K$ проведены две касательные, значит, $KM = KA$. Аналогично $LM = LB$. Периметр $PK + KL + LP = PK + KA + LB + PL = PA + PB = 24$. Положение точки $M$ на ответ не влияет. Ответ: 24.

Задача 3. Прямая, касающаяся окружности в точке $A$, образует с хордой $AB$ угол $40^\circ$. Найдите центральный угол $AOB$.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги $AB$, значит, дуга равна $80^\circ$, и центральный угол $AOB = 80^\circ$. Ответ: 80.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — это 10 задач по теме: длина отрезка, радиус, углы с хордами, теорема о секущей и общие касательные. Задачи идут по кругу.

Введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет разбор, кнопка «Следующая задача →» откроет новую. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают, сколько задач уже получается. Если ошибок больше 3 из 10, вернитесь к разделам про перпендикулярность радиусу и отрезки из одной точки. Такие задачи по кодификатору ОГЭ^[2] входят в тему «Окружность», а в варианте — в задание 16 ОГЭ и геометрию второй части.

Когда свойство касательной не подходит

Не каждая прямая на чертеже с окружностью касается её, и не каждая формула из этой статьи применима к любой задаче.

• Если прямая имеет с окружностью 2 общие точки, это секущая: перпендикулярности к радиусу нет.
• Если точка лежит внутри окружности, из неё нельзя провести ни 1 касательной, и формула $\sqrt{d^2 - r^2}$ теряет смысл.
• Если хорда не проходит через точку касания, угол между ней и прямой не равен половине дуги — правило работает только при 1 общей точке хорды и прямой.
• Если окружности пересекаются в 2 точках, внутренних общих касательных у них нет, и формула $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ не определена.

Чего делать нельзя

Нельзя считать прямую касательной только потому, что так выглядит рисунок: в задаче это должно быть сказано или доказано.

• Нельзя забывать про прямой угол между радиусом и прямой в точке касания — без него задача не решается.
• Нельзя подставлять в теорему о секущей внутреннюю часть $AB$ вместо всего отрезка $PB$.
• Не следует путать угол между отрезками $PA$, $PB$ и центральный угол: они дополняют друг друга до $180^\circ$, а не равны.
• Не следует брать для угла с хордой дугу, лежащую вне угла.
• Не стоит во второй части писать «касается, значит, перпендикулярно» без ссылки на свойство: эксперт ждёт формулировку.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Чем касательная к окружности отличается от касательной к графику?

Для окружности определение геометрическое: одна общая точка и перпендикулярность радиусу. Для графика функции прямую задают через производную, и такая прямая может пересекать график в других точках. Об этом — в статье про касательную к графику функции.

Сколько прямых, касающихся окружности, проходит через внешнюю точку?

Ровно две, и их отрезки до точек касания равны. Из точки на окружности — одну, из внутренней точки — ни одной.

Как найти радиус по длине отрезка до точки касания?

Нужно ещё расстояние от точки до центра. Тогда $r = \sqrt{d^2 - t^2}$, где $t$ — длина этого отрезка: при $d = 17$ и $t = 15$ радиус равен 8.

Нужно ли доказывать перпендикулярность радиусу на экзамене?

Нет, это теорема школьного курса. Во второй части достаточно написать: «радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной».

Где найти задачи сложнее экзаменационных?

В сборнике Прасолова^[3] есть раздел о касающихся окружностях и прямых. Задачи в формате ОГЭ собраны в типовых вариантах под редакцией Ященко^[4].

Сколько общих касательных у двух касающихся окружностей?

При внешнем касании — три: две внешние и одна общая в точке касания. При внутреннем касании — одна.