Касательная к графику функции: угловой коэффициент и задачи

Касательная и угловой коэффициент

Касательная к графику в точке $x_0$ — это прямая, к которой стремятся секущие, проведённые через эту точку и соседнюю, когда соседняя точка неограниченно приближается. Угловой коэффициент такой прямой равен $f'(x_0)$.

Почему так? Секущая через точки $(x_0; f(x_0))$ и $(x_0 + \Delta x; f(x_0 + \Delta x))$ имеет угловой коэффициент $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Когда $\Delta x \to 0$, секущая поворачивается и превращается в касательную, а отношение стремится к производной. Получаем $k = f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Это определение в учебнике Колмогорова^[1] вводится одновременно с самой производной. В учебнике Мордковича^[4] тот же факт сформулирован как теорема о касательной, и именно его ждут в обосновании задач второй части.

Из равенства $k = \operatorname{tg}\alpha$ сразу следуют три наблюдения. Если касательная «поднимается» слева направо, угол острый и производная положительна. Если «опускается» — угол тупой, производная отрицательна. Если касательная горизонтальна, угол равен нулю и $f'(x_0) = 0$. Вертикальной касательной у функции с производной не бывает: тангенс $90^\circ$ не определён, поэтому в такой точке производная не существует.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$ — это $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Для него нужны 2 числа: значение функции и значение производной в одной точке.

Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 3x$ в точке $x_0 = 4$.

1. Шаг 1. Значение функции: $f(4) = 16 - 12 = 4$.
2. Шаг 2. Производная: $f'(x) = 2x - 3$, в точке $f'(4) = 5$.
3. Шаг 3. Подстановка: $y = 4 + 5(x - 4) = 5x - 16$.

Проверка занимает 10 секунд: при $x = 4$ прямая даёт $20 - 16 = 4$ — то же значение, что у функции, значит, точка касания лежит на прямой. Угловой коэффициент 5 совпадает с $f'(4)$. Без этих двух совпадений прямая касательной быть не может. Сами правила вычисления производной собраны на странице таблица производных и правила дифференцирования.

Обратите внимание: касательная может пересекать график в другой точке. У $y = x^3$ касательная в точке $x_0 = 1$ — прямая $y = 3x - 2$ — встречает кривую ещё раз при $x = -2$. Представление «касательная имеет с графиком ровно одну общую точку» верно для окружности, но для графиков функций не подходит.

Миф: «касательная — это прямая, которая касается графика и не пересекает его». Неверно: такое определение работает только для окружности, а у кубической параболы касательная может пересекать кривую. Требования «не пересекать» в определении касательной к графику не существует.

Как найти производную по рисунку касательной

Чтобы найти $f'(x_0)$ по рисунку, на касательной выбирают две точки в узлах сетки и делят приращение ординаты на приращение абсциссы. Знак берут по направлению: прямая идёт вверх — плюс, вниз — минус.

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Касательная проходит через точки $(-2; 1)$ и $(2; -5)$. Найдите значение производной функции в точке $x_0$.

Приращение по горизонтали: $2 - (-2) = 4$. Приращение по вертикали: $-5 - 1 = -6$. Угловой коэффициент: $\frac{-6}{4} = -1{,}5$. Прямая идёт вниз — знак минус согласуется с рисунком. Ответ: $-1{,}5$.

Типичная ловушка — неодинаковый масштаб осей или точки не в узлах сетки. Выбирайте точки, где прямая проходит точно через пересечение линий клетки, и считайте клетки, а не сантиметры. Если точки взяты далеко друг от друга, ошибка в одну клетку почти не влияет на ответ; если рядом — сильно искажает. Полезно помнить: ответ в таких задачах — обычно целое число или конечная десятичная дробь вроде $0{,}25$, $-1{,}5$, $0{,}75$. Если получилось $0{,}333\ldots$, скорее всего, точки выбраны неудачно.

Знак производной и поведение графика

Если на промежутке функция возрастает, касательные к её графику наклонены вверх и производная положительна; если убывает — производная отрицательна. В точках, где касательная горизонтальна, $f'(x) = 0$.

Горизонтальная касательная ещё не означает экстремум. У $y = x^3$ в нуле $f'(0) = 0$, но функция возрастает и слева, и справа, поэтому экстремума там нет. Экстремум гарантирован, если производная меняет знак: это достаточное условие из теоремы, которую доказывают в учебнике 11 класса. Подробно это разобрано на странице экстремумы и наибольшее значение функции.

Главное различие задач по графику: дан график самой функции или график производной. На графике функции смотрят на наклон касательных; на графике производной — на то, выше или ниже оси абсцисс лежит линия. Перепутать эти два случая — самая дорогая ошибка в теме.

Касательная, параллельная заданной прямой

Если касательная параллельна прямой $y = kx + b$, их угловые коэффициенты равны, и задача сводится к уравнению $f'(x) = k$. Его корни — абсциссы точек касания.

Пример: найдём точки, в которых касательная к графику $y = x^3 - 3x$ параллельна прямой $y = 9x + 1$. Производная $y' = 3x^2 - 3$, уравнение $3x^2 - 3 = 9$ даёт $x^2 = 4$, то есть $x = 2$ или $x = -2$. Таких точек две. Параллельность оси абсцисс — частный случай с $k = 0$: тогда ищут нули производной.

Если же сказано, что прямая является касательной (а не параллельна ей), одного равенства коэффициентов мало: нужно ещё, чтобы значения функции и прямой в найденной точке совпали. Критерии оценивания ФИПИ к заданиям второй части требуют обосновывать такие шаги, а в первой части без этой проверки в ответ может попасть посторонний корень — точка, где наклон тот же, но прямая проходит выше или ниже графика.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 собственных задач на геометрический смысл производной: угловой коэффициент по точкам, угол наклона, уравнение касательной, параллельность и точка касания.

Введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» открывает разбор, «Следующая задача →» переходит дальше, задачи идут по кругу. Десятичную дробь пишите через запятую, как в бланке. Счётчик «решено X из Y» помогает понять, какие типы ещё не закреплены: если ошибка повторяется на одном и том же сюжете, вернитесь к соответствующему разделу выше.

Где это встречается на ЕГЭ

По проекту спецификации профильного уровня ФИПИ 2027 года^[2] задачи на производную по графику — это задание 9 (в 2026 году — 8), 1 балл. На базовом уровне близкий сюжет — задание 7: соотнести промежутки графика с характеристиками функции и производной.

В профильном задании 9 геометрический смысл встречается в трёх формах: найти $f'(x_0)$ по касательной, найти число точек, где касательная параллельна данной прямой, и найти точку касания по уравнению прямой. Формат знаком по прошлым вариантам: рисунок на клетчатом поле и ответ одним числом, а образец задания 9 есть в демоверсии ФИПИ^[3]. Разбор номера целиком — в статье задание 9 профильного ЕГЭ, базового — в материале задание 7 базы: графики и производная.

Когда геометрический смысл не поможет

Не во всякой задаче про производную нужна касательная: иногда быстрее посчитать по формуле или прочитать знак.

• Если функция задана формулой и нужно значение производной в точке 2, рисунок не нужен — достаточно продифференцировать и подставить.
• Если дан график производной, наклон этой линии ничего не даёт: важны её знаки и нули, которые читают по клеткам с шагом 1.
• Если точки касательной не попадают в узлы сетки хотя бы в 2 местах, точный ответ по рисунку получить не выйдет — ищите другие узлы.
• Если в задаче про движение спрашивают скорость в момент 3 с, удобнее думать о физическом смысле, а не о графике.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на знаке или на перепутанном графике: эти ошибки встречаются чаще вычислительных.

• Нельзя путать график функции с графиком её производной — сначала прочитайте подпись в условии.
• Нельзя считать угловой коэффициент как «вертикальное на горизонтальное» без знака: убывающая прямая даёт минус.
• Не следует брать точки касательной между узлами сетки — так появляется дробь с ошибкой.
• Не следует считать, что $f'(x_0) = 0$ всегда означает экстремум.
• Не стоит пропускать проверку значения функции, когда в условии сказано «является», а не «параллельна».
• Не стоит путать угол с осью абсцисс и угол с осью ординат.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

В чём геометрический смысл производной простыми словами?

Производная в точке показывает, насколько круто идёт график в этом месте. Чем больше число, тем круче подъём; отрицательное число — спуск.

Может ли производная быть равна тангенсу тупого угла?

Да. Если касательная наклонена влево (функция убывает), угол с осью абсцисс тупой, тангенс отрицателен, и производная тоже отрицательна.

Сколько касательных можно провести к графику в одной точке?

Если производная в точке существует, такая прямая единственна. В точке излома, как у $y = |x|$ в нуле, её нет вовсе.

Как понять по рисунку, что производная равна нулю?

Ищите вершины «горок» и «ям» на графике функции, а также места, где кривая на мгновение становится горизонтальной.

Что делать, если масштаб осей разный?

Считайте не клетки, а значения по подписям осей. Угловой коэффициент — отношение изменений величин, а не длин на бумаге.

Связан ли геометрический смысл с физическим?

Да: если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат координата, наклон графика — это мгновенная скорость. Это одна идея в двух интерпретациях.