Задание 9 ЕГЭ по профильной математике: производная

Q: Задание 9 — это то, что раньше было восьмым?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года номер сдвинулся на единицу из-за нового задания 6. Сюжеты с графиками, касательной и первообразной сохранились, поэтому материалы прошлых лет подходят полностью.

Q: Нужно ли знать производную экспоненты и логарифма?

Да: (e^x)' = e^x, (\ln x)' = \frac1x, а также правила для произведения и сложной функции. Без них не решить задачи вроде задачи 3.

Q: Как найти угловой коэффициент касательной по клеткам?

Выберите на касательной две точки в узлах сетки, постройте прямоугольный треугольник и разделите вертикальный катет на горизонтальный. Если касательная убывает, поставьте минус.

Q: Чем точка экстремума отличается от критической точки?

Критическая точка — там, где производная равна нулю или не существует. Экстремум — только та критическая точка, в которой производная меняет знак.

Q: Сколько времени тратить на этот номер?

Обычно 3–5 минут. Задачи по графику быстрее, по формуле — чуть дольше из-за вычисления производной.

Q: Можно ли решать задачи по графику без формул?

Да, большинство из них решается только чтением рисунка и знанием связи знака производной с поведением функции. Формулы нужны для задач по аналитически заданной функции.

Что проверяет задание 9 и сколько баллов даёт

Задание 9 — это задача первой части с кратким ответом на геометрический и физический смысл производной, связь знака производной с монотонностью и связь функции с её первообразной. Верный ответ приносит 1 первичный балл^[1].

В структуре 2026 года этот сюжет имел номер 8. Проект 2027 года добавил новое задание 6 по теории вероятностей, и все следующие номера первой части сдвинулись на единицу. Вариант теперь включает 20 заданий и 33 первичных балла, первая часть — задания 1–13^[2]. Формат условия задания 9 удобно сверять с проектом демонстрационного варианта ФИПИ, который публикуется вместе со спецификацией. Полная таблица соответствия номеров собрана в материале об изменениях профильного ЕГЭ в 2027 году.

По тому же проекту отдельного задания на наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке больше нет. Навык исследовать функцию с помощью производной при этом не исчезает из экзамена: он нужен во второй части и остаётся частью курса алгебры и начал анализа по ФОП среднего общего образования.

Какие сюжеты встречаются в номере

Если сгруппировать задачи сборников, получится 5 сюжетов: график функции, график производной, касательная, закон движения и первообразная. В каждом из них работает одно-два свойства, и главное — не перепутать, какой график перед вами. Теоретическая основа задания 9 — теорема Ферма: в точке экстремума дифференцируемой функции производная равна нулю, а достаточный признак экстремума — смена знака производной при переходе через эту точку.

Что дано	Что спрашивают	Что использовать
График функции $y = f(x)$	знак производной, число точек с $f'(x) = 0$	возрастает — $f' > 0$ , убывает — $f' < 0$ , вершины — $f' = 0$
График производной $y = f'(x)$	точки экстремума, промежутки монотонности	смена знака $f'$ : с «+» на «−» — $x_{\max}$ , с «−» на «+» — $x_{\min}$
График функции и касательная	значение $f'(x_0)$	$f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha$ , отношение катетов по клеткам
Закон движения $x(t)$	скорость или момент времени	$v(t) = x'(t)$ , $a(t) = v'(t)$
Первообразная $F(x)$	$F(b) - F(a)$ , площадь, число нулей $f$	$F'(x) = f(x)$ , формула Ньютона — Лейбница

Правила дифференцирования для формул собраны в справке «производная: таблица и правила», а работа с касательной по клеткам подробно разобрана в материале о геометрическом смысле производной.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не ошибиться, перед решением любой задачи этого номера ответьте на 2 вопроса: что изображено — функция или производная, и что спрашивают — точку, значение или количество. Дальше всё решается в 2–3 действия.

Задача 1. Точки экстремума по графику производной

График производной

y = f'(x)

на интервале

(-5; 4)

; производная обращается в ноль в точках

-4

-1

3

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-5; 4)$ . Найдите сумму точек экстремума функции $f(x)$ .

Перед нами график производной, поэтому смотрим не на «горки», а на знак: выше оси — плюс, ниже — минус. Производная равна нулю в точках $-4$ , $-1$ и $3$ . В точке $-1$ знак меняется с «+» на «−»: функция сначала возрастала, потом начала убывать, это точка $x_{\max}$ . В точках $-4$ и $3$ знак меняется с «−» на «+», там минимумы. Все три точки — экстремумы, их сумма $-4 - 1 + 3 = -2$ . Ответ: −2. Типичная ловушка — указать абсциссу вершины «горки» графика производной между $-4$ и $-1$ (около $-2{,}7$ ): там производная наибольшая, но к экстремуму функции это отношения не имеет.

Задача 2. Касательная, параллельная прямой

Прямая $y = 4x + 11$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 6x - 2$ . Найдите абсциссу точки касания.

Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, а угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Находим $y' = 2x + 6$ и решаем $2x + 6 = 4$ : $x = -1$ . Ответ: −1. Свободный член 11 в решении не участвует — он лишь сдвигает прямую и нужен, чтобы касательная и данная прямая не совпали.

Задача 3. Точка минимума по формуле

Найдите точку минимума функции $y = (x - 8)e^{x - 7}$ .

По правилу производной произведения: $y' = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}$ . Множитель $e^{x - 7}$ всегда положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $x - 7$ : минус при $x < 7$ , плюс при $x > 7$ . Смена знака с «−» на «+» означает минимум. Ответ: 7. Спрашивают точку, а не значение функции: вычислять $y(7) = -1$ не нужно, и записывать в бланк его нельзя.

Задача 4. Приращение первообразной

Функция $F(x)$ — первообразная функции $f(x) = 3x^2 - 2x$ . Найдите $F(3) - F(1)$ .

Одна из первообразных — $F(x) = x^3 - x^2 + C$ . Константа $C$ при вычитании сокращается: $F(3) - F(1) = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ . Ответ: 18. Тот же результат даёт площадь под графиком $f$ на отрезке $[1; 3]$ , потому что $f(x) \ge 0$ на этом отрезке, — так задача выглядит в «графической» версии. Подробнее о связи площади и первообразной — в теме «первообразная и площадь криволинейной трапеции».

Миф: «экстремум функции — это самая высокая или самая низкая точка на рисунке». Это неверно, если на рисунке график производной: самая высокая точка графика $f'$ показывает, где функция растёт быстрее всего, а экстремумы функции находятся там, где производная меняет знак.

Тренажёр к заданию 9

Генератор «№ 9 · бесконечные варианты» вверху страницы чередует 2 вида задач: значение производной кубического многочлена в заданной точке и точку минимума кубической функции, производная которой раскладывается на множители.

Решайте на черновике, вводите число и нажимайте «Проверить»; «Решение» покажет производную и её корни, «Следующая задача →» сменит коэффициенты. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» позволяют держать норму: 10 задач подряд не менее чем с 8 верными.

Графиков в генераторе нет, поэтому задачи по рисунку тренируйте отдельно — по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко^[3], где в каждом варианте есть такой номер. Хорошая пропорция — 2 задачи по графику на 1 задачу по формуле.

Типичные ошибки и ловушки

Если разобрать ошибки в этом номере, 5 из них встречаются постоянно, и почти все связаны с невнимательным чтением условия, а не с незнанием формул.

Перепутан график. Подпись $y = f'(x)$ означает, что нули графика — это критические точки функции, а не её корни.
Знак углового коэффициента. Если касательная идёт вниз слева направо, $f'(x_0) < 0$ . Ответ 0,75 вместо −0,75 — частая потеря балла.
Точка вместо значения. «Точка минимума» — это абсцисса $x$ , «наименьшее значение» — это $y$ .
Касание без смены знака. Если график производной касается оси и не переходит на другую сторону, экстремума в этой точке нет.
Концы интервала. На открытом интервале граничные точки не входят в область определения, и экстремумами они быть не могут.

Миф: «первообразную в этом номере не дают, её проходят только в вузе». Не подтверждается: первообразная и формула Ньютона — Лейбница входят в школьную программу 11 класса, и задачи на $F(b) - F(a)$ по графику встречаются в сборниках к этому номеру.

Как проверить ответ

Если ответ найден, на проверку стоит потратить ещё 30 секунд: в задачах по графику ошибка видна при повторном взгляде на рисунок.

Перечитать вопрос. Точка или значение, какой именно экстремум, количество точек или их сумма.
Сверить знак. Касательная, идущая вверх, даёт положительный угловой коэффициент, вниз — отрицательный.
Подставить соседние точки. Для формулы проверьте знак производной чуть левее и чуть правее найденной точки — как в задаче 3.
Оценить по клеткам. Угловой коэффициент по рисунку должен быть отношением целых чисел клеток: 0,75, −2, 1,5.

Для задач про скорость полезна отдельная проверка единиц: производная координаты по времени — это скорость, и её размерность — метры в секунду. Разбор таких сюжетов есть в теме о физическом смысле производной.

Когда этот разбор не поможет

Не всякая трудность с этим номером решается тренировкой: иногда сначала нужна теория.

Если не получается найти производную многочлена третьей степени за 1 минуту, начните с таблицы производных и правил.
Если в 3 задачах из 10 путаете функцию и производную на рисунке, помогут 15–20 задач только на чтение графика, без вычислений.
Если до экзамена меньше 3 недель, а первообразная не изучалась, сосредоточьтесь на сюжетах с графиком производной и касательной.
Если ошибки связаны с вычислением тангенса угла по клеткам, повторите тригонометрию прямоугольного треугольника из 8–9 классов.

Чего делать нельзя

Нельзя решать этот номер «на глаз»: каждая точка и каждое число на рисунке должны быть определены по клеткам.

Нельзя принимать вершины графика производной за точки экстремума функции.
Нельзя считать экстремумом точку, где производная равна нулю, но не меняет знак.
Не следует мерить угол касательной транспортиром: тангенс считают как отношение катетов по клеткам.
Не следует записывать в бланк значение функции, если спрашивают точку экстремума.
Не стоит включать концы интервала в ответ, когда считаете количество точек экстремума.

Как записать ответ в бланк

Ответ — одно число в бланке ответов № 1: целое или десятичная дробь через запятую, отрицательное — со знаком минус в первой клеточке. Например, «−1», «0,75», «18».

Ответ «−0,75» записывается в 5 клеточек: минус, ноль, запятая, семь, пять. Обыкновенные дроби, слова и единицы измерения не допускаются. Учебник Мордковича для 10–11 классов^[4] приводит ответы к тем же задачам в виде обыкновенных дробей — на экзамене их нужно переводить в десятичные.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[5] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

Вопросы и ответы

Задание 9 — это то, что раньше было восьмым?