Таблица производных и правила дифференцирования

Q: Как проверить, что производная найдена верно?

Подставьте в исходную функцию две близкие точки, например x = 2 и x = 2{,}01, и разделите разность значений на 0,01. Результат должен почти совпасть с вашим ответом для точки 2.

Что такое производная в двух словах

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это число, показывающее скорость изменения функции в этой точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Формально: $f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ . Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой в точке. На практике по определению никто не считает: один раз выводят производные простейших функций, сводят их в таблицу, а дальше пользуются правилами. Так построен раздел в учебнике Колмогорова^[1] и так же — в учебнике Мордковича^[2].

У производной два наглядных смысла. Геометрический — угловой коэффициент касательной к графику, физический — мгновенная скорость движения. Им посвящены отдельные страницы: геометрический смысл производной и касательная и скорость и ускорение как производные. Здесь же — техника вычисления, без которой ни один из смыслов не применить.

Производная существует не всегда. У функции $y = |x|$ в точке $0$ график имеет излом, и предел отношения слева равен $-1$ , а справа $1$ — единого числа нет, значит, производная в этой точке не определена. У $y = \sqrt{x}$ производная не существует в точке $0$ , хотя сама функция там определена.

Таблица производных элементарных функций

Таблица производных — это 11 готовых формул для основных функций, из которых правилами собирается производная любого школьного выражения. Её стоит знать так же уверенно, как таблицу умножения.

Функция	Производная	Ограничение
$C$ (число)	$0$	—
$x^n$	$n x^{n-1}$	для дробных $n$ — при $x \gt 0$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x \gt 0$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$x \ne 0$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\cos x \ne 0$
$e^x$	$e^x$	—
$a^x$	$a^x \ln a$	$a \gt 0$ , $a \ne 1$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x \gt 0$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$x \gt 0$

Строки про $\sqrt{x}$ и $\frac{1}{x}$ — частные случаи степенной формулы: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , откуда $\frac12 x^{-1/2}$ , и $\frac1x = x^{-1}$ , откуда $-x^{-2}$ . Поэтому из таблицы производных достаточно запомнить 8 строк, а остальные выводить. Знак минус у косинуса — главная ловушка таблицы: $(\cos x)' = -\sin x$ , а $(\sin x)' = \cos x$ без минуса.

Как учить таблицу производных быстрее всего? Не переписывать её десять раз, а закрывать правый столбец и восстанавливать по памяти, проверяя себя. Хватает 3–4 таких подходов с перерывом в день-два. Обратите внимание и на столбец ограничений: производная логарифма существует только при $x \gt 0$ , производная тангенса — только там, где $\cos x \ne 0$ . Если точка выходит за эти пределы, значение производной в ней не определено, даже если формула формально что-то выдаёт.

Миф: «таблицу производных можно не учить — на экзамене она найдётся». Это неверно: по спецификации профильного уровня из вспомогательных средств разрешена только линейка, и на странице формулы для профиля, которые нужно помнить таблица стоит в списке обязательных.

Правила дифференцирования

Правил дифференцирования 5: производная суммы, производная функции с постоянным множителем, производная произведения, производная частного и производная сложной функции. Первые четыре разберём здесь, последнее — в следующем разделе.

Каждое правило доказывается через определение производной, но на экзамене доказательства не нужны — нужно безошибочное применение. Таблица производных отвечает на вопрос «чему равна производная кирпичика», а правило — на вопрос «как соединить кирпичики». Если правило выбрано неверно, не поможет даже идеальное знание таблицы.

Сумма. $(u + v)' = u' + v'$ — дифференцируем каждое слагаемое отдельно.
Множитель. $(C u)' = C u'$ — число выносится за знак производной.
Произведение. $(uv)' = u'v + uv'$ .
Частное. $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , где $v \ne 0$ .

Первые два правила вместе с таблицей дают производную любого многочлена. Для $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ получаем $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ , и, например, $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ . Константа $1$ исчезает, потому что её производная равна нулю.

Правило произведения: $(x e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (x + 1)e^x$ , в точке $0$ производная равна $1$ . Правило частного: для $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ имеем $f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ , и $f'(2) = \frac34 = 0{,}75$ . Здесь проще было бы сначала разделить почленно: $f(x) = x + \frac1x$ , $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ — ответ тот же, а ошибиться труднее.

Произведение нельзя дифференцировать «по множителям»: $(x^2 \sin x)'$ не равно $2x \cos x$ . Правильно: $2x\sin x + x^2\cos x$ . Это самая частая ошибка у тех, кто только начал работать с правилами.

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция от функции, например $\sin(2x)$ или $(3x - 5)^4$ . Её производная равна произведению производной внешней функции (по внутреннему аргументу) на производную внутренней: $\left(f(g(x))\right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ .

Удобно действовать в два шага: сначала дифференцируем «внешнюю оболочку», оставляя внутренность без изменений, затем умножаем на производную внутренности. Примеры:

Степень. $\left((3x - 5)^4\right)' = 4(3x - 5)^3 \cdot 3 = 12(3x - 5)^3$ .
Тригонометрия. $(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$ .
Экспонента. $\left(e^{-x^2}\right)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$ .
Корень. $\left(\sqrt{x^2 + 9}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; при $x = 4$ это $\frac45 = 0{,}8$ .
Логарифм. $(\ln 5x)' = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac1x$ — множитель 5 сократился.

Забытый множитель $g'(x)$ — самая дорогая ошибка во всей теме: ответ получается правдоподобным, но неверным. Полезная привычка — после дифференцирования спросить себя: «Я умножил на производную того, что внутри?» Если внутри стоит просто $x$ , множитель равен 1, и правило сложной функции ничего не меняет.

Миф: «на ЕГЭ сложные функции не встречаются». Не подтверждается: в задачах на наибольшее значение и в задании 9 профиля регулярно попадаются $e^{x - 3}$ , $\ln(x + 5)$ , $\sqrt{4 - x}$ , и без правила сложной функции их не продифференцировать.

Где таблица производных нужна на ЕГЭ

На профильном ЕГЭ производная — это прежде всего задание 9 (в 2026 году — 8): производная и первообразная по графику и по формуле. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года^[3] это задание с кратким ответом, 1 балл.

Экзамен и задание	Что нужно уметь
Профиль, № 9 (в 2026 — 8)	читать график производной, находить точки экстремума, значение производной
База, № 7	соотносить промежутки графика со знаком производной
Профиль, вторая часть	исследовать функцию при решении задач с параметром и моделирования

Отдельное задание на наибольшее и наименьшее значение функции (№ 12 в 2026 году) по «Планируемым изменениям в КИМ ЕГЭ 2027 года»^[4] убрано. Но сам навык дифференцирования из экзамена не исчез: он нужен в задании 9 и во второй части. Подробно алгоритм исследования функции разобран на странице экстремумы и наибольшее значение функции, а сам номер — в разборе задание 9 профильного ЕГЭ.

Как работать с генератором задач

Генератор вверху страницы — «Тренажёр · № 9 ЕГЭ профиль · бесконечные варианты» — выдаёт задачи на вычисление производной многочлена третьей степени в точке и на поиск точки минимума кубической функции.

Генератор не подставляет готовую таблицу производных: всё, что нужно, — степенная формула и правило суммы. Решите задачу на бумаге, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет производную и ход вычисления, а «Следующая задача →» создаст новый вариант с другими коэффициентами. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» показывают, насколько стабильно получается.

Разумная норма — 10 задач подряд без ошибок. Если ошибки повторяются, сравните свой результат с решением: чаще всего теряется коэффициент при $x^2$ (забыли умножить на показатель) или знак при подстановке отрицательной точки. Решение задач без подсказки закрепляет навык надёжнее, чем перечитывание таблицы: это подтверждает исследование Roediger и Karpicke о пользе проверочного воспроизведения^[5].

Когда техника дифференцирования не поможет

Не каждая задача про производную решается дифференцированием: таблица и правила не помогут, если вопрос задан по графику или проблема в алгебре.

Если в задании 9 дан только график, формулы не нужны вовсе — работает чтение знаков по клеткам.
Если после дифференцирования не решается квадратное уравнение $3x^2 - 12x + 9 = 0$ , сначала повторите дискриминант (тема 8 класса).
Если до экзамена меньше 2 недель, учить производные $\log_a x$ и $a^x$ нет смысла — сосредоточьтесь на многочленах, корне и экспоненте.
Если функция задана с модулем, в точке излома производной нет: у $y = |x - 3|$ это точка 3, и таблица ответа не даст.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на механических ошибках: в теме их 6 типичных, и все легко ловятся самопроверкой.

Нельзя дифференцировать произведение как произведение производных.
Нельзя забывать множитель от внутренней функции в сложной функции.
Не следует путать знаки: $(\cos x)' = -\sin x$ , а $\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}$ .
Не следует подставлять точку раньше времени: сначала общая формула, потом значение.
Не стоит применять правило частного, если дробь проще разделить почленно.
Не допускается считать производную числа равной самому числу: $(7)' = 0$ .

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[5] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Сколько строк таблицы производных нужно знать наизусть?

Около восьми: константа, степень, синус, косинус, тангенс, экспонента, натуральный логарифм и показательная функция. Корень и $\frac1x$ выводятся из степенной формулы, а логарифм по любому основанию — через переход к натуральному.

Чем производная отличается от дифференциала?

В школьном курсе дифференциал почти не используется. Для ЕГЭ его знать не нужно: в заданиях встречается только сама скорость изменения функции.

Как проверить, что производная найдена верно?

Подставьте в исходную функцию две близкие точки, например $x = 2$ и $x = 2{,}01$ , и разделите разность значений на 0,01. Результат должен почти совпасть с вашим ответом для точки 2.

Почему производная константы равна нулю?

Константа не меняется, значит, скорость её изменения равна нулю. Графически это горизонтальная прямая, у которой угловой коэффициент 0.

Встречается ли производная на ОГЭ?

Нет, эта тема изучается в 10–11 классах и в ОГЭ не входит. В 9 классе функции исследуют по графику, без вычислений такого рода.

Что важнее для экзамена — правила или таблица?

Одно без другого не работает: таблица даёт производные «кирпичиков», правила — способ их соединить. Учите их вместе на коротких примерах.