Наибольшее значение функции на отрезке и экстремумы

Q: Может ли функция иметь несколько точек минимума?

Да. У многочлена четвёртой степени их может быть две, у y = \sin x — бесконечно много. Каждая из них — локальный минимум.

Экстремумы функции: что это такое

Точка экстремума — это точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием или наоборот. Если рост сменяется спадом, получается «вершина горки» — точка $x_{\max}$ ; если спад сменяется ростом — «дно ямы», точка минимума $x_{\min}$ .

Важно различать два понятия. Точка экстремума — значение аргумента $x$ , экстремум — значение функции $y$ в этой точке. В задании «найдите точку минимума» в ответ пишут $x$ , а в задании «найдите наименьшее значение» — $y$ . Путаница между ними — одна из самых частых причин потерянного балла.

Экстремум — понятие локальное: значение в точке $x_{\max}$ больше, чем в соседних точках, но не обязательно больше всех значений функции. У кубической параболы $y = x^3 - 12x$ в точке $x = -2$ локальная вершина со значением 16, но уже при $x = 5$ функция равна 65. Поэтому экстремум и наибольшее значение на отрезке — разные вещи, хотя иногда они совпадают.

Необходимое и достаточное условия экстремума

Если функция имеет в точке экстремум и производная там существует, то она равна нулю — это теорема Ферма, необходимое условие. Достаточное условие: производная в точке меняет знак.

Точки, где производная равна нулю или не существует, называют критическими. Только они могут быть точками экстремума, но не каждая критическая точка ею является. Классический пример — $y = x^3$ : производная $3x^2$ равна нулю в точке 0, но слева и справа она положительна, функция всё время растёт, и экстремума нет. Обратный пример — $y = |x|$ : в нуле производная не существует, а минимум есть.

Отсюда правило знаков. Если производная меняет знак с «+» на «−», точка — $x_{\max}$ . С «−» на «+» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет. Это достаточное условие доказывается в учебнике Колмогорова^[1] через теорему Лагранжа; на экзамене доказывать его не нужно, а пользоваться — обязательно. Сам смысл знака производной объясняет страница геометрический смысл производной и касательная.

Миф: «если производная равна нулю, в точке обязательно экстремум». Неверно: у $y = x^3$ в нуле производная равна нулю, но функция возрастает по обе стороны. Без смены знака экстремума не бывает.

Как найти экстремумы: алгоритм по шагам

Чтобы найти экстремумы функции, нужно 4 шага: область определения, производная, критические точки, знаки производной на промежутках между ними.

Найдите точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ .

Шаг 1. Область определения — все действительные числа: это многочлен.
Шаг 2. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$ .
Шаг 3. Критические точки: $x = -1$ и $x = 3$ .
Шаг 4. Знаки производной на промежутках — по таблице ниже.

Промежуток	$(-\infty; -1)$	$x = -1$	$(-1; 3)$	$x = 3$	$(3; +\infty)$
Знак $f'(x)$	+	0	−	0	+
Поведение $f(x)$	возрастает	$x_{\max}$ , $f = 9$	убывает	$x_{\min}$ , $f = -23$	возрастает

Знак на промежутке проверяют подстановкой одной удобной точки: $f'(0) = -9 \lt 0$ , $f'(4) = 48 - 24 - 9 = 15 \gt 0$ , $f'(-2) = 12 + 12 - 9 = 15 \gt 0$ . Значения функции: $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 4 = 9$ , $f(3) = 27 - 27 - 27 + 4 = -23$ . Ответ: $x = -1$ — точка $x_{\max}$ , $x = 3$ — точка минимума. Если вычисление производной даётся с трудом, начните со страницы таблица производных и правила.

Наибольшее значение функции на отрезке

Непрерывная на отрезке функция обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений — это теорема Вейерштрасса. Достигаются они либо в критических точках внутри отрезка, либо на его концах.

Отсюда алгоритм. Найдите критические точки, оставьте те, что лежат внутри отрезка, вычислите значения функции в них и на концах, выберите из этих чисел нужное. Знаки производной в этом алгоритме даже не обязательны: достаточно сравнить несколько чисел.

Возьмём ту же функцию $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ на отрезке $[-2; 4]$ . Обе критические точки внутри. Значения: $f(-2) = 2$ , $f(-1) = 9$ , $f(3) = -23$ , $f(4) = -16$ . Наибольшее значение равно 9, наименьшее $-23$ . На отрезке $[-2; 0]$ список был бы другим: точка 3 выпадает, и сравнивать пришлось бы $f(-2) = 2$ , $f(-1) = 9$ и $f(0) = 4$ .

Найдите наименьшее значение функции $y = (x - 8)e^{x - 7}$ на отрезке $[6; 8]$ .

Производная произведения: $y' = e^{x - 7} + (x - 8)e^{x - 7} = (x - 7)e^{x - 7}$ . Экспонента всегда положительна, поэтому критическая точка одна: $x = 7$ , и производная меняет знак с «−» на «+». Значения: $y(7) = -1 \cdot e^0 = -1$ , $y(6) = -2e^{-1} \approx -0{,}74$ , $y(8) = 0$ . Наименьшее значение $-1$ . Обратите внимание, как устроен ответ: число $e$ «исчезает» в критической точке, а на концах остаётся. Это верный признак, что точка выбрана правильно, — в бланк нельзя записать $-2e^{-1}$ .

Третий пример — функция с дробью: $y = x + \frac{36}{x}$ на $[1; 9]$ . Производная $1 - \frac{36}{x^2}$ обращается в нуль при $x = 6$ (корень $-6$ не входит в отрезок). Значения: $y(1) = 37$ , $y(6) = 12$ , $y(9) = 13$ . Наименьшее — 12, наибольшее значение — 37, на левом конце.

Монотонная функция: когда решают концы отрезка

Если производная не меняет знак на всём отрезке, функция монотонна, и наибольшее значение достигается на одном конце, а наименьшее — на другом. Критических точек внутри при этом может не быть совсем.

Пример: $y = x^3 + 3x$ на $[-1; 2]$ . Производная $3x^2 + 3 \gt 0$ при любом $x$ , функция возрастает. Значит, наибольшее значение — на правом конце: $y(2) = 8 + 6 = 14$ , наименьшее — на левом: $y(-1) = -1 - 3 = -4$ . Искать нули производной бессмысленно: их нет.

Этот приём экономит время и в обратную сторону: если функция возрастает на $[a; b]$ , то значение в левом конце не может быть наибольшим. Монотонность часто видна без производной — например, у $y = e^x$ , $y = \ln x$ , $y = \sqrt{x}$ или у суммы возрастающих функций. Свойства показательной и логарифмической функций собраны на странице показательная и логарифмическая функции.

Миф: «наибольшее значение функции всегда в точке экстремума». Не подтверждается: у монотонной функции экстремумов нет, а наибольшее значение на отрезке есть — на конце. Сравнивать концы нужно в любой задаче на отрезке.

Тренажёр: наибольшее значение кубической функции

Генератор вверху страницы — «Тренажёр · бесконечные варианты» — каждый раз выдаёт новую кубическую функцию и отрезок; нужно найти наибольшее значение функции на этом отрезке и ввести число в поле «Ответ».

После «Проверить» кнопка «Решение» показывает разложение производной на множители и наибольшее из сравниваемых значений, а «Следующая задача →» создаёт новый вариант. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают увидеть, стабилен ли навык. Ориентир — 8 верных ответов подряд; если ошибки повторяются, проверьте, не забыт ли один из концов отрезка.

Короткие серии через день полезнее одного длинного занятия: распределённое повторение с интервалами работает лучше, чем решение подряд, — это показал метаанализ Cepeda и соавторов^[4].

Где это нужно на ЕГЭ

В профильном ЕГЭ 2026 года наибольшее и наименьшее значение функции было отдельным заданием 12. По «Планируемым изменениям в КИМ ЕГЭ 2027 года» ФИПИ^[2] это отдельное задание убрано.

Но исследование функции из экзамена не уходит. Точки экстремума по графику производной — часть задания 9 (в 2026 году — 8) по проекту спецификации профильного уровня^[3]. На базовом уровне задание 7 проверяет связь промежутков возрастания и знака производной. А во второй части исследование функции помогает в задачах с параметром, где нужно понять, сколько раз график пересекает прямую. Разбор задания 9 — на странице задание 9 профильного ЕГЭ.

Когда производная не нужна

Не каждая задача на наибольшее значение требует производной: иногда быстрее выделить полный квадрат или воспользоваться монотонностью.

Если функция квадратичная, вершина параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$ за 1 строку, без дифференцирования.
Если функция заведомо монотонна (например, $y = 2^x$ на отрезке), достаточно 2 значений на концах.
Если дан только график производной и спрашивают число точек экстремума, нужно считать смены знака (их может быть 2, 3 или больше), а не вычислять.
Если до экзамена меньше 3 недель и цель — первая часть, задачи на отрезке по проекту 2027 года отдельно не встречаются, и время лучше отдать заданию 9.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл из-за того, что верная производная привела к неверному ответу: 6 ошибок ниже встречаются чаще всего.

Нельзя забывать значения на концах отрезка — наибольшее значение часто именно там.
Нельзя включать в сравнение критические точки, которые не принадлежат отрезку.
Не следует путать точку экстремума ( $x$ ) и значение функции в ней ( $y$ ).
Не следует объявлять экстремумом любой нуль производной без проверки смены знака.
Не стоит записывать в бланк иррациональное значение вроде $-2e^{-1}$ : если оно получилось ответом, ищите ошибку.
Не стоит пропускать область определения для функций с логарифмом, корнем или дробью.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[5] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Чем экстремум отличается от наибольшего значения?

Экстремум сравнивает значение только с соседними точками, наибольшее значение — со всеми точками отрезка. На отрезке это может быть и экстремум, и значение на конце.

Будет ли на ЕГЭ 2027 задание на наибольшее значение функции?

По проекту ФИПИ отдельного задания, как № 12 в 2026 году, не будет. Но умение исследовать функцию нужно в задании 9 и во второй части.

Обязательно ли строить таблицу знаков?

Для поиска значения на отрезке — нет, достаточно сравнить числа. Для поиска точки минимума или $x_{\max}$ — да, потому что нужно доказать смену знака.

Что делать, если критических точек на отрезке нет?

Тогда функция на нём монотонна, и ответ — значение на одном из концов. Сравните два числа и выберите нужное.

Может ли функция иметь несколько точек минимума?

Да. У многочлена четвёртой степени их может быть две, у $y = \sin x$ — бесконечно много. Каждая из них — локальный минимум.

Почему в ответе часто получается целое число?

Задачи с кратким ответом составляют так, чтобы число можно было вписать в бланк. Поэтому в критической точке «неудобные» множители вроде $e^0$ или $\ln 1$ обычно обращаются в простые числа.