Физический смысл производной: скорость и ускорение

Q: Почему отрицательный корень времени отбрасывают?

В условии время отсчитывается от начала движения, поэтому t \ge 0. Отрицательное значение не соответствует ни одному моменту наблюдения.

Средняя и мгновенная скорость

Средняя скорость — это отношение перемещения ко времени: $v_{\text{ср}} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ . Мгновенная скорость получается, когда промежуток времени сжимается в точку, и равна пределу этого отношения.

Пусть точка движется по закону $x(t) = t^2$ (метры, секунды). За промежуток от 2 до 3 с она проходит $9 - 4 = 5$ м, в среднем 5 м/с. На промежутке от 2 до 2,1 с отношение уже $\frac{4{,}41 - 4}{0{,}1} = 4{,}1$ м/с, от 2 до 2,01 с — $4{,}01$ м/с. Числа приближаются к 4: это и есть значение в момент $t = 2$ , и она совпадает с $x'(2) = 2 \cdot 2 = 4$ .

Такой предельный переход Ньютон и положил в основу понятия производной, а позднее он был строго обоснован теоремами математического анализа: скорость в данный момент нельзя измерить «за ноль секунд», но можно найти как предел средних скоростей. В учебнике Колмогорова^[1] мгновенная скорость служит одним из двух вводных примеров, наряду с касательной к графику, о которой рассказано на странице геометрический смысл производной.

Разница между двумя скоростями важна на экзамене. Если спрашивают скорость «в момент» — нужна производная. Если «на промежутке» или «за первые 4 секунды» — средняя скорость, и производная не нужна вовсе. Перепутать формулировки — значит получить неверный ответ при безупречных вычислениях.

Скорость и ускорение как производные

Скорость — первая производная координаты по времени, ускорение — первая производная скорости, то есть вторая производная координаты. Единицы измерения следуют из этого: м/с и м/с².

Удобно представлять две точки на одной прямой с разными законами движения: у какой из них производная координаты больше в данный момент, та и движется быстрее. Если точки встретились, их координаты равны, но скорости при этом могут различаться — это разные вопросы. Именно так строится классическая задача о встрече из учебника Колмогорова: сначала приравнивают координаты, затем сравнивают производные.

Величина	Как получить	Единицы, если x в метрах, t в секундах
Координата	$x(t)$ — дана в условии	м
Скорость	$v(t) = x'(t)$	м/с
Ускорение	$a(t) = v'(t) = x''(t)$	м/с²
Сила тока	$I(t) = q'(t)$ , где $q$ — заряд	А (Кл/с)

Пример. Точка движется по закону $x(t) = t^3 - 6t^2 + 5t$ . Первая производная: $v(t) = 3t^2 - 12t + 5$ . Ускорение: $a(t) = 6t - 12$ . В момент $t = 4$ с получаем $v(4) = 48 - 48 + 5 = 5$ м/с, ускорение $a(4) = 24 - 12 = 12$ м/с². Обе величины — числа, их и записывают в ответ.

Для вычислений хватает степенной формулы и правила суммы; если они забылись, повторите страницу таблица производных и правила. Свободный член закона движения на скорость не влияет: его производная равна нулю. Это логично — начальная координата говорит, где точка стояла, а не как быстро она движется.

Миф: «скорость не может быть отрицательной». Неверно для задач с законом движения: здесь скорость — проекция на ось, и минус означает движение в сторону уменьшения координаты. Неотрицательна только величина скорости, то есть её модуль.

Задачи на закон движения: алгоритм

Чтобы решить задачу на закон движения, достаточно 3 шагов: найти производную нужного порядка, приравнять её к данному значению или подставить момент времени, отбросить корни, которые не имеют физического смысла.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \frac13 t^3 - 3t^2 + 5t + 2$ , где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах от начала движения. В какой момент времени её скорость была равна 12 м/с?

Шаг 1. Дифференцируем: $v(t) = t^2 - 6t + 5$ .
Шаг 2. Уравнение: $t^2 - 6t + 5 = 12$ , то есть $t^2 - 6t - 7 = 0$ , корни $t = 7$ и $t = -1$ .
Шаг 3. Время отсчитывается от начала движения, поэтому $t = -1$ не подходит. Ответ: 7.

Второй типичный вопрос — скорость в заданный момент. Для закона $x(t) = 6t^2 - 48t + 17$ находим $v(t) = 12t - 48$ и в момент $t = 9$ с получаем $v(9) = 108 - 48 = 60$ м/с. Третий вопрос — когда точка остановилась: остановка означает $v(t) = 0$ . Для $x(t) = t^2 - 8t + 3$ производная $2t - 8$ обращается в нуль при $t = 4$ с.

Обратите внимание на формулировку единиц: если координата задана в метрах, а время в секундах, ответ получается в м/с, и переводить ничего не нужно. Но если в условии время в минутах, а скорость спрашивают в м/с, без перевода ответ будет в 60 раз неверным. Это не столько математическая, сколько «бланковая» ошибка — она стоит того же балла.

Знак скорости и ускорения: разгон и торможение

Если скорость положительна, точка движется в сторону роста координаты; если отрицательна — в обратную. Разгоняется точка тогда, когда скорость и ускорение одного знака, а тормозит — когда знаки разные.

Вернёмся к закону $x(t) = t^3 - 6t^2 + 5t$ . В момент $t = 1$ с имеем $v(1) = 3 - 12 + 5 = -4$ м/с, ускорение $a(1) = 6 - 12 = -6$ м/с². Знаки совпадают — точка движется назад и при этом разгоняется: модуль скорости растёт. Интуиция «отрицательное ускорение — значит тормозит» здесь не подходит, она верна только при положительной скорости.

Если ускорение равно нулю, $v(t)$ в этот момент не меняется — достигает наибольшего или наименьшего значения либо проходит «площадку». Если скорость равна нулю, точка на мгновение останавливается и, как правило, меняет направление движения. Эти два события путают чаще всего: ноль ускорения — не остановка.

Миф: «если ускорение равно нулю, тело стоит на месте». Не подтверждается: нулевое ускорение означает лишь, что $v(t)$ в этот момент постоянна. Тело может при этом двигаться с любой скоростью — например, автомобиль на трассе при постоянных 90 км/ч.

Физический смысл производной за пределами механики

Физический смысл производной шире движения: производная любой величины по времени — это темп её изменения. Сила тока — производная заряда, мощность — производная работы, скорость химической реакции — производная концентрации.

Пример с электричеством: заряд, прошедший через проводник, меняется по закону $q(t) = 3t^2 + 2t$ (кулоны, секунды). Сила тока $I(t) = q'(t) = 6t + 2$ , в момент $t = 2$ с она равна 14 А. Схема та же, что для движения: продифференцировать и подставить. По спецификации ФИПИ задание 9 — с кратким ответом, проверяется только число, поэтому особенно важно не перепутать момент времени.

Учебник Мордковича^[2] называет это общим правилом: если величина $y$ зависит от $t$ , то $y'(t)$ показывает, на сколько единиц $y$ изменилась бы за единицу времени, если бы темп изменения оставался такой же, как в момент $t$ . Отсюда же экономический смысл — предельные издержки как производная издержек по объёму выпуска.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы содержит 8 собственных задач в формате ЕГЭ: $v$ и $a$ в момент времени, момент остановки, средняя скорость, сила тока, тело, брошенное вверх.

Решайте на бумаге, вводите число в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» показывает разбор, «Следующая задача →» листает задачи по кругу. Отрицательный ответ пишите с минусом, десятичную дробь — через запятую. Если задача на среднюю скорость решилась производной, это сигнал перечитать первый раздел.

Где это встречается на ЕГЭ

По проекту спецификации профильного уровня ФИПИ 2027 года^[3] задачи на производную — это задание 9 (в 2026 году — 8), 1 балл; сюжет с законом движения — одна из его классических форм наряду с задачами по графику.

Физические формулы встречаются и в задании 10 (в 2026 году — 9) — задаче с прикладным содержанием, но там чаще нужна не производная, а подстановка в формулу и решение неравенства. Сам номер разобран в статье задание 9 профильного ЕГЭ, прикладная задача — в материале задание 10: задача с прикладным содержанием. На базовом уровне и в ОГЭ закон движения через производную не встречается.

Когда физический смысл не поможет

Не каждая задача про движение решается производной: иногда хватает арифметики, а иногда нужна обратная операция.

Если скорость постоянна, например 15 м/с, путь находят умножением на время — дифференцировать нечего.
Если спрашивают среднюю скорость за 4 секунды, нужна разность координат, делённая на время, а не производная.
Если дана скорость, а нужна координата, требуется первообразная — обратная операция, а не 1-я производная.
Если закон движения задан графиком без формулы, скорость в момент 2 с находят по наклону касательной, а не вычислением.

Чего делать нельзя

Не стоит терять балл на том, что в задаче не прочитано слово «средняя» или не отброшен отрицательный момент времени.

Нельзя подставлять момент времени в сам закон движения, когда спрашивают $v$ : сначала производная.
Нельзя оставлять в ответе отрицательное время, если оно отсчитывается от начала движения.
Не следует путать момент остановки ( $v = 0$ ) с моментом нулевого ускорения ( $a = 0$ ).
Не следует находить среднюю скорость как среднее арифметическое начальной и конечной скоростей при неравномерном движении.
Не стоит забывать перевод единиц, если время дано в минутах, а скорость нужна в м/с.
Не стоит отбрасывать минус у скорости: он показывает направление и входит в ответ.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

В чём физический смысл производной простыми словами?

Производная показывает, как быстро меняется величина в данный момент. Для координаты это скорость, для скорости — ускорение.

Что такое вторая производная?

Это производная от производной. Для закона движения вторая производная — ускорение: $a(t) = x''(t)$ .

Почему отрицательный корень времени отбрасывают?

В условии время отсчитывается от начала движения, поэтому $t \ge 0$ . Отрицательное значение не соответствует ни одному моменту наблюдения.

Нужно ли писать единицы в бланк ответа?

Нет, в бланк записывают только число. Единицы измерения указаны в условии, и ответ должен быть именно в них.

Как найти момент, когда скорость наименьшая?

Приравняйте к нулю ускорение — производную скорости — и проверьте смену знака. Для квадратичной скорости это вершина параболы.

Нужна ли физика, чтобы решать эти задачи?

Нет. Всё, что требуется, — умение дифференцировать многочлен и решать квадратное уравнение; физические термины лишь называют величины.