Задание 10 ЕГЭ профиль: прикладные задачи с формулами

Что проверяет задание 10 и сколько оно стоит

Задание 10 — это проверка умения работать с готовой формулой: понять, какие величины известны, какая неизвестна, свести условие к уравнению или неравенству и выбрать ответ, имеющий физический смысл. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

В действующей структуре 2026 года этот номер был девятым. Проект 2027 года добавил в первую часть задание 6 о случайной величине, поэтому прикладная задача сдвинулась на десятое место. Первая часть теперь содержит 13 заданий с кратким ответом, весь вариант — 20 заданий на 33 первичных балла^[2].

Знать физику для этого номера не нужно: формула всегда дана в условии вместе с пояснением, что означает каждая буква. Проверяется математика — квадратные и показательные уравнения, неравенства, действия со степенями — и внимательность к единицам измерения. Образец условия задания 10 приведён в проекте демонстрационного варианта ФИПИ^[5].

Какие формулы встречаются чаще всего

Если сгруппировать задачи сборников по виду формулы, выделяются 4 типа: квадратичная зависимость, показательная или логарифмическая, дробно-рациональная и иррациональная. От вида формулы зависит, какой приём решения понадобится.

Вид формулы	Пример сюжета	Что решать
Квадратичная	высота брошенного мяча, нагрев прибора, тормозной путь	квадратное уравнение или неравенство
Показательная	радиоактивный распад, остывание, рост колонии бактерий	показательное уравнение, сравнение степеней
Дробно-рациональная	линза, сопротивление при параллельном соединении, эффект Доплера	дробное уравнение, проверка знаменателя
Иррациональная	скорость разгона $v = \sqrt{2la}$ , период маятника	возведение в квадрат при неотрицательных частях

Чаще всего в формулировке стоят слова «не менее», «не более», «наименьшее», «наибольшее» — это значит, что за формулой прячется неравенство, а не уравнение. Для квадратичных сюжетов пригодится справка о квадратных неравенствах через параболу, для распада и остывания — материал о показательной функции и её монотонности.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы решить любую из этих задач, действуйте по одной схеме из 4 шагов: выписать известные величины, подставить их в формулу, решить уравнение или неравенство, выбрать ответ по смыслу. Ниже — 4 задачи на разные виды формул.

Задача 1. Мяч над землёй

Высота мяча над землёй, подброшенного вверх, меняется по закону $h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах от момента броска. Сколько секунд мяч находился на высоте не менее 4,6 м?

Слова «не менее» означают неравенство: $1{,}6 + 8t - 5t^2 \ge 4{,}6$ , то есть $5t^2 - 8t + 3 \le 0$ . Корни квадратного трёхчлена: $t = \frac{8 \pm 2}{10}$ , то есть $0{,}6$ и $1$ . Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $t \in [0{,}6; 1]$ . Спрашивают длительность, а не момент: $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ . Ответ: 0,4. Ошибка «записать 0,6 или 1» встречается постоянно — это моменты, когда мяч пересекал высоту 4,6 м.

Задача 2. Нагревательный элемент

Температура нагревательного элемента меняется по закону $T(t) = T_0 + bt + at^2$ , где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $b = 200$ К/мин, $a = -10$ К/мин². Прибор автоматически отключается, когда температура достигает 1760 К. Через сколько минут после включения прибор отключится?

Подставляем: $1400 + 200t - 10t^2 = 1760$ , откуда $t^2 - 20t + 36 = 0$ и $t = 2$ или $t = 18$ . По смыслу прибор отключится при первом достижении 1760 К, значит, через 2 минуты; корень 18 описывает момент, до которого прибор уже не доработает. Ответ: 2. Здесь важен выбор корня: оба корня положительны, и отсеять лишний помогает только понимание процесса.

Задача 3. Радиоактивный распад

Масса радиоактивного вещества меняется по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T}$ , где $m_0 = 160$ мг — начальная масса, $T = 10$ мин — период полураспада, $t$ — время в минутах. Через сколько минут масса вещества станет равна 5 мг?

Уравнение $160 \cdot 2^{-t/10} = 5$ сводится к $2^{-t/10} = \frac{1}{32} = 2^{-5}$ . Основания равны, поэтому равны и показатели: $\frac{t}{10} = 5$ , $t = 50$ . Ответ: 50. Проверка рассуждением: за каждые 10 минут масса уменьшается вдвое — 160, 80, 40, 20, 10, 5, то есть ровно 5 периодов.

Задача 4. Разгон автомобиля

Автомобиль разгоняется с места с постоянным ускорением $a$ км/ч². Скорость в конце пути $l$ км вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$ . Какое наименьшее ускорение нужно, чтобы на пути 0,4 км разогнаться до скорости не менее 100 км/ч? Ответ дайте в км/ч².

Обе части неравенства $\sqrt{0{,}8a} \ge 100$ неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: $0{,}8a \ge 10\,000$ , $a \ge 12\,500$ . Ответ: 12500. Число кажется огромным, но единицы — километры в час за час, и в привычных метрах в секунду за секунду это меньше 1. Пересчитывать единицы не нужно: ответ требуют ровно в тех единицах, что заданы в условии.

Миф: «в задании 10 нужно знать формулы физики наизусть». Это неверно: каждая формула приводится в условии вместе с расшифровкой обозначений. Не бывает и задач, где нужно переводить величины в систему СИ без прямого указания, — ответ записывается в единицах, названных в вопросе.

Тренажёр к заданию 10

Генератор «№ 10 · бесконечные варианты» вверху страницы выдаёт 3 сюжета: сколько секунд брошенный вверх мяч находится выше заданной высоты, через сколько секунд падающий камень достигнет земли и при каком наименьшем напряжении мощность на резисторе не меньше заданной.

Решите задачу на черновике, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». «Решение» покажет неравенство и его решение, «Следующая задача →» сменит числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогут следить за стабильностью: норма — 9 верных из 10 подряд.

Показательных и дробно-рациональных формул генератор не даёт, поэтому задачи 3 и 4 этой статьи стоит дополнить подборкой из сборника типовых вариантов под редакцией Ященко^[3]: 10–15 задач на распад, линзу и сопротивление закрывают эти типы.

Типичные ошибки и ловушки

Ошибки в этом номере распадаются на 5 повторяющихся групп, и почти все они связаны с последним шагом — интерпретацией найденного числа.

Момент вместо промежутка. На вопрос «сколько секунд» отвечают разностью корней, а не одним из них.
Не тот корень. Оба корня бывают положительными; выбирать нужно по смыслу процесса, как в задаче 2.
Знак неравенства. При делении на отрицательное число, например на $-5$ , знак меняется на противоположный.
Посторонний корень. После возведения в квадрат иррационального уравнения отрицательная скорость или время не подходят.
Единицы. Если время дано в минутах, а ответ просят в секундах, перевод обязателен; если просят в тех же единицах — не нужен.

Миф: «если в ответе вышло отрицательное время, нужно просто убрать минус». Не подтверждается: отрицательный корень в задаче о движении — посторонний, его отбрасывают, а не исправляют. Если оба корня отрицательны, в вычислениях ошибка.

Как проверить ответ

Если ответ найден, подставьте его обратно в исходную формулу — это 20–30 секунд, которые надёжно ловят ошибку в знаке или в выборе корня.

Подстановка. В задаче 2: $1400 + 200 \cdot 2 - 10 \cdot 4 = 1760$ — равенство верно.
Здравый смысл. Мяч, брошенный рукой, не летит минуту; тормозной путь автомобиля не измеряется миллиметрами.
Граница неравенства. При ответе «наименьшее» значение-границу подставляют в формулу, и должно получиться ровно пограничное число.
Формат. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь; если получилось $\sqrt{7}$ , проверьте расчёты.

Учебник Колмогорова^[4] советует при решении неравенств с параметрами процесса рисовать эскиз графика — для квадратичных сюжетов это половина минуты, но сразу видно, между корнями искать ответ или вне их.

Когда этот разбор не поможет

Не всякая трудность с этим номером лечится тренировкой: иногда не хватает базовых навыков из 8–9 классов. Квадратные уравнения и неравенства изучают по учебнику алгебры Макарычева, и именно этот материал служит фундаментом номера.

Если квадратное уравнение решается дольше 2 минут или с ошибками в дискриминанте, начните с отработки квадратных уравнений.
Если в 3 задачах из 10 вы путаетесь с «не менее» и «не более», повторите числовые промежутки и запись неравенств.
Если до экзамена меньше 2 недель, достаточно квадратичных сюжетов: они встречаются чаще остальных.
Если трудность в переводе единиц, полезнее 20 минут с таблицей из материала о единицах измерения и их переводе.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на последнем шаге, когда уравнение уже решено: большинство потерь в этом номере происходят именно там.

Нельзя записывать в ответ оба корня или их сумму, если по смыслу подходит один.
Нельзя возводить неравенство в квадрат, не убедившись, что обе части неотрицательны.
Не следует подставлять величины с другими единицами, чем указаны в пояснении к формуле.
Не следует округлять промежуточные результаты: округляют только окончательный ответ и только по требованию условия.
Не стоит решать в уме уравнения с десятичными коэффициентами — умножьте обе части на 10 и решайте с целыми числами.

Как записать ответ в бланк

Ответ записывается в бланк ответов № 1 одним числом, без единиц измерения: «0,4», «2», «12500». Каждая цифра, запятая и минус занимают отдельную клеточку.

Большие числа пишут без пробелов и точек между разрядами. Если в условии сказано «округлите до целых», округление выполняют только в конце. Счёт с многозначными числами без калькулятора тренируют приёмы из материала об устном счёте на экзамене. Следующий номер варианта — задание 11, где модель тоже составляют, но уже без готовой формулы, по тексту условия.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[5] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[6] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Задание 10 в 2027 году — это бывшее девятое?

Да. По проекту ФИПИ номер сдвинулся на единицу из-за нового задания 6. Содержание прежнее, поэтому все задачи прошлых лет под номером 9 подходят для подготовки.

Нужно ли знать физику?

Нет. Формула и смысл обозначений даны в условии. Физика помогает только в проверке ответа на правдоподобие: например, понять, что время падения камня не может быть отрицательным.

Что делать, если оба корня положительные?

Перечитать вопрос. Обычно спрашивают «первый момент», «через сколько отключится» или «сколько времени находился выше» — каждый вариант подсказывает, нужен меньший корень, больший или их разность.

Можно ли решать подбором?

Для проверки — да, для поиска — рискованно. Подбор хорошо работает в показательных сюжетах вроде распада, но в квадратичных можно найти один корень и пропустить второй.

Какие темы повторить перед этим номером?

Квадратные уравнения и неравенства, свойства степеней, простейшие показательные и иррациональные уравнения. Этого набора хватает для большинства сюжетов.

Сколько минут отводить на номер?

Ориентир — 4–6 минут. Длинное условие читается дольше, чем решается, поэтому сначала подчеркните числа и вопрос.