Задание 12 ЕГЭ профиль: графики функций и коэффициенты

Что проверяет задание 12 и сколько баллов даёт

Задание 12 — это проверка умения связать график и формулу: по точкам в узлах сетки, асимптотам или вершине восстановить уравнение функции и выполнить с ним одно вычисление. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

В действующей структуре 2026 года этот номер был одиннадцатым. Проект 2027 года добавил в первую часть новое задание 6 о случайной величине, и графики функций переместились на двенадцатое место. Первая часть теперь состоит из заданий 1–13, весь вариант — из 20 заданий на 33 первичных балла^[2].

Рисунок в условии всегда содержит координатную сетку, и ключевые точки графика лежат в её узлах. Отсюда главный принцип решения: координаты берутся только из узлов, а не на глаз между клетками. Формат задачи удобно посмотреть в проекте демонстрационного варианта ФИПИ^[3].

Какие функции встречаются на графиках

Если сгруппировать задачи сборников, получится 6 семейств функций: линейная, квадратичная, обратная пропорциональность, показательная, логарифмическая и тригонометрическая. Для каждого семейства есть свой набор «опорных» точек.

Функция	Формула	Что читать на графике
Линейная	$f(x) = kx + b$	две точки в узлах: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , $b = f(0)$
Квадратичная	$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$	вершина $(x_0; y_0)$ и ещё одна точка
Гипербола	$f(x) = \frac{k}{x - x_0} + y_0$	асимптоты $x = x_0$ , $y = y_0$ и одна точка
Показательная	$f(x) = a^{x} + b$	горизонтальная асимптота $y = b$ , точка при $x = 0$ и ещё одна
Логарифмическая	$f(x) = \log_a (x + b)$	вертикальная асимптота $x = -b$ и точки с целыми значениями
Тригонометрическая	$f(x) = a\cos x + b$	наибольшее и наименьшее значения: $a$ — полуразмах, $b$ — середина

Свойства каждого семейства подробно разобраны в справках о линейной функции и угловом коэффициенте, квадратичной функции и параболе и обратной пропорциональности и гиперболе.

Опорные точки: что искать на графике в первую очередь

Опорные точки — это 3–4 места на графике, по которым формула восстанавливается однозначно: пересечение с осью ординат, вершина параболы, асимптоты гиперболы и точки в узлах сетки.

Начинайте с пересечения графика с осью ординат: значение функции при $x = 0$ сразу даёт свободный член прямой, свободный член параболы $c$ или сумму $1 + b$ у показательной функции $a^x + b$ . Затем ищите то, что задаёт сдвиг графика: вершину параболы или асимптоты гиперболы. Последней берите точку в узле подальше от уже использованных — она уточнит коэффициент растяжения: $a$ у параболы, $k$ у гиперболы, основание у показательной функции. Если на графике видно больше опорных точек, чем неизвестных коэффициентов, лишняя пригодится для проверки. Направление ветвей параболы и четверти, в которых лежат ветви гиперболы, сразу сообщают знак старшего коэффициента — это проверка ещё до вычислений. По аксиоме планиметрии через две точки проходит единственная прямая, поэтому для линейной функции двух узлов достаточно без вариантов.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы решить любую из этих задач, нужно 3 шага: определить семейство функции по форме графика, выписать опорные точки из узлов сетки, составить уравнения на коэффициенты. Ниже — 4 задачи на разные семейства.

Задача 1. Пересечение двух прямых

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Прямая $f$ проходит через точки $(-1; -4)$ и $(2; 5)$ , прямая $g$ — через точки $(-3; 4)$ и $(1; 0)$ . Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Для прямой $f$ : $k = \frac{5 - (-4)}{2 - (-1)} = 3$ , затем из $-4 = 3 \cdot (-1) + b$ получаем $b = -1$ , то есть $f(x) = 3x - 1$ . Для $g$ : $k = \frac{0 - 4}{1 - (-3)} = -1$ , $b = 1$ , $g(x) = -x + 1$ . Приравниваем: $3x - 1 = -x + 1$ , $x = 0{,}5$ . Ответ: 0,5. Точка пересечения не попадает в узел сетки — это нормально: именно поэтому её нельзя прочитать с рисунка, а нужно вычислить.

Задача 2. Парабола по вершине

График функции

f(x) = ax^2 + bx + c

: вершина

(2; -3)

, точки

(0; 1)

(4; 1)

лежат в узлах сетки.

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Найдите $f(7)$ .

Вершина параболы в узле $(2; -3)$ , поэтому удобно записать $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ . График проходит через $(0; 1)$ : $4a - 3 = 1$ , $a = 1$ . Значит, $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ и $f(7) = 25 - 3 = 22$ . Ответ: 22. Проверка второй точкой: $f(4) = 4 - 3 = 1$ — совпадает с рисунком. Точка $x = 7$ за пределами рисунка, поэтому без формулы ответ не найти.

Задача 3. Гипербола с асимптотой

На рисунке изображён график функции $f(x) = \frac{k}{x} + a$ . Горизонтальная асимптота графика — прямая $y = 2$ , график проходит через точку $(1; 5)$ . Найдите значение $x$ , при котором $f(x) = -1$ .

Горизонтальная асимптота сразу даёт $a = 2$ . Из точки $(1; 5)$ : $k + 2 = 5$ , $k = 3$ . Решаем $\frac{3}{x} + 2 = -1$ : $\frac{3}{x} = -3$ , $x = -1$ . Ответ: −1. Проверка: $\frac{3}{-1} + 2 = -1$ . Ветви гиперболы при $k = 3 > 0$ лежат в первой и третьей четвертях относительно асимптот — это должно совпадать с рисунком.

Задача 4. Показательная функция

На рисунке изображён график функции $f(x) = a^x + b$ , проходящий через точки $(0; -2)$ и $(2; 6)$ . Найдите $f(3)$ .

При $x = 0$ имеем $a^0 = 1$ , поэтому $1 + b = -2$ и $b = -3$ . Из второй точки: $a^2 - 3 = 6$ , $a^2 = 9$ , $a = 3$ , так как основание показательной функции положительно. Тогда $f(3) = 27 - 3 = 24$ . Ответ: 24. Корень $a = -3$ отбрасывается сразу: отрицательное основание у показательной функции не определено.

Миф: «координаты точек можно оценить по рисунку примерно, ответ всё равно округлят». Это неверно: ответ проверяется точно, и не существует допуска на «примерно 0,5». Опорные точки всегда лежат в узлах сетки — если точка выглядит «между клетками», выберите другую.

Тренажёр к заданию 12

Генератор «№ 12 · бесконечные варианты» вверху страницы даёт задачи на линейную функцию: прямая $f(x) = kx + b$ проходит через две точки, и нужно найти её значение в третьей, удалённой точке.

Найдите $k$ и $b$ , вычислите значение и нажмите «Проверить». «Решение» покажет вычисление коэффициентов, «Следующая задача →» сменит точки. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогут держать норму: 10 верных подряд, каждый не дольше 2 минут.

Парабол, гипербол и показательных функций в генераторе нет. Их тренируют по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко^[4] и в построителе графиков онлайн, где ползунками меняются коэффициенты и сразу видно, как двигается кривая.

Типичные ошибки и ловушки

Ошибки в этом номере сводятся к 5 повторяющимся ситуациям, и большая часть связана с неточным чтением рисунка.

Точка не в узле. Координаты, прочитанные «на глаз», дают дробные коэффициенты и неверный ответ.
Знак сдвига. В формуле $a(x - 2)^2$ вершина при $x = 2$ , а не при $x = -2$ .
Перепутаны асимптоты. У гиперболы $\frac{k}{x - x_0} + y_0$ вертикальная асимптота $x = x_0$ , горизонтальная $y = y_0$ .
Знак углового коэффициента. Убывающая прямая имеет $k < 0$ ; если вышло положительное $k$ , перепутан порядок вычитания.
Не тот вопрос. Спрашивали абсциссу точки пересечения, а записали ординату.

Миф: «в задании 12 бывают только прямые и параболы». Не подтверждается: в сборниках встречаются гиперболы, графики показательной, логарифмической и тригонометрической функций, поэтому нужны опорные точки всех 6 семейств из таблицы выше.

Как проверить ответ

Если формула найдена, подставьте в неё третью точку с рисунка — это 20 секунд, которые подтверждают коэффициенты лучше любого пересчёта.

Третья точка. В задаче 2 точка $(4; 1)$ не участвовала в вычислении и подтвердила формулу.
Знаки коэффициентов. Ветви параболы вверх — $a > 0$ ; прямая возрастает — $k > 0$ .
Асимптоты. Значение гиперболы не может равняться ординате горизонтальной асимптоты.
Формат. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Учебник Мордковича для 10–11 классов^[5] строит изучение функций именно так: сначала опорные точки и асимптоты, потом формула. Этот же порядок экономит время на экзамене.

Когда этот разбор не поможет

Не всякую трудность с этим номером снимает тренировка: иногда нужно вернуться к функциям 8–9 классов.

Если не получается найти угловой коэффициент прямой за 1 минуту, начните с линейной функции из курса 7–8 классов.
Если в 3 задачах из 10 путаете знак сдвига, постройте вручную 5–6 парабол вида $y = (x - m)^2 + n$ .
Если до экзамена меньше 2 недель, достаточно прямых и парабол: остальные семейства требуют больше времени.
Если трудность — в решении системы из 2 уравнений, сначала повторите способ подстановки.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять глазомеру: чертёж в варианте точен только в узлах сетки.

Нельзя брать для расчёта точки, которые не лежат в узлах сетки.
Нельзя принимать отрицательное основание показательной функции.
Не следует читать ответ с рисунка, если искомая точка не в узле, — её нужно вычислить.
Не следует путать абсциссу и ординату в вопросе.
Не стоит находить коэффициенты по трём точкам, если есть вершина или асимптота: это вдвое дольше.

Как записать ответ в бланк

Ответ записывается в бланк ответов № 1 одним числом: «0,5», «22», «−1». Минус и запятая занимают отдельные клеточки, единицы измерения не пишут.

Если получилась обыкновенная дробь, переведите её в десятичную; бесконечная дробь означает ошибку в коэффициентах. Связь графика функции с производной — тема соседнего номера, задания 9 о производной и первообразной.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[5] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Задание 12 — это бывшее задание 11?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года номер сдвинулся на единицу из-за нового задания 6, формат прежний. Все задачи прошлых лет под номером 11 подходят для тренировки.

Сколько точек нужно для восстановления формулы?

Столько, сколько неизвестных коэффициентов: две для прямой, три для параболы общего вида. Вершина или асимптота заменяют одну-две точки.

Нужно ли рисовать что-то на черновике?

Достаточно выписать координаты 2–3 узлов и составить уравнения. Перерисовывать весь чертёж не нужно, это лишь отнимает время.

Можно ли решать без формулы, продлив график?

Только для прямой и только если искомая точка близко к рисунку. Для параболы и гиперболы продление «от руки» почти всегда даёт неточный ответ.

Сколько времени тратить на номер?

Ориентир — 3–5 минут. Прямые решаются за 2 минуты, остальные семейства — чуть дольше.

Связан ли этот номер с ОГЭ?

Да, задание 11 ОГЭ учит узнавать семейства функций по рисунку. Здесь добавляется следующий шаг — вычисление коэффициентов и значения функции.