Гипербола: ветви в четвертях, асимптоты, сдвиги и построение по точкам

Что такое обратная пропорциональность

Две величины обратно пропорциональны, если их произведение постоянно: $xy = k$. Во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз уменьшается другая.

Для $y = \frac{6}{x}$ это видно по таблице: $x = 1, 2, 3, 6$ дают $y = 6, 3, 2, 1$, и произведение всякий раз равно 6. Отсюда простой способ найти коэффициент по одной точке графика: $k = x \cdot y$. Если гипербола проходит через точку $(2; -4)$, то $k = -8$, и функция задаётся формулой $y = -\frac{8}{x}$. При $x = -4$ она даёт $y = 2$.

Область определения — все числа, кроме нуля: делить на ноль нельзя, поэтому при $x = 0$ функция не определена. Значение $y = 0$ тоже никогда не достигается, ведь дробь с ненулевым числителем не может равняться нулю. В учебнике Макарычева для 8 класса^[1] функция вводится именно через эти два ограничения, и они объясняют весь вид графика.

Миф: «если одна величина растёт, а другая убывает, они обратно пропорциональны». Это неверно: при $y = 10 - x$ одна величина тоже растёт, а другая убывает, но произведение не постоянно. Решает только условие $xy = \text{const}$.

Ветви гиперболы и четверти

Гипербола — это кривая из двух несвязанных ветвей, и знак $k$ определяет, в каких четвертях они лежат. Модуль $k$ отвечает за удалённость ветвей от начала координат.

При $k > 0$ знаки $x$ и $y$ совпадают, поэтому точки графика лежат там, где обе координаты одного знака, — в I и III четвертях. При $k < 0$ знаки разные, и ветви уходят во II и IV четверти. Чем больше $|k|$, тем дальше от начала координат «изгиб» ветви: у $y = \frac{4}{x}$ ближайшая к началу точка первой четверти — $(2; 2)$, у $y = \frac{1}{x}$ — $(1; 1)$.

У гиперболы $y = \frac{k}{x}$ есть центр симметрии — начало координат: вместе с точкой $(2; 3)$ графику $y = \frac{6}{x}$ принадлежит и точка $(-2; -3)$. Осей симметрии две — прямые $y = x$ и $y = -x$. Это следует из простой теоремы о симметрии: если точка $(a; b)$ лежит на графике, то $ab = k$, а значит, на нём лежит и точка $(b; a)$.

Школьный учебник обычно не требует доказывать эти свойства на экзамене, но знание симметрии экономит время: достаточно построить одну ветвь, а вторую получить отражением.

Асимптоты: к чему приближается график

Асимптота — это прямая, к которой ветвь графика неограниченно приближается, но не пересекает её. У гиперболы $y = \frac{k}{x}$ асимптот две: ось $Ox$ и ось $Oy$.

Вертикальная асимптота $x = 0$ появляется из-за запрета делить на ноль: при $x$, близком к нулю, дробь становится огромной по модулю. Для $y = \frac{6}{x}$ при $x = 0{,}01$ получаем 600, при $x = 0{,}001$ — уже 6000. Горизонтальная асимптота $y = 0$ объясняется наоборот: при больших $x$ дробь становится сколь угодно малой, но нулём не становится никогда.

Асимптоты — главный ориентир при построении. Их рисуют пунктиром до того, как отмечать точки, и ветви ведут вдоль них. Ошибка «ветвь касается оси» на экзамене стоит балла в задании с построением: график, который пересекает асимптоту, построен неверно. Критерии оценивания ФИПИ для задания 22 требуют верно построенного графика, а не эскиза «примерно похожего».

Как построить гиперболу по точкам

Чтобы построить гиперболу аккуратно, достаточно 4–6 точек на каждой ветви, взятых с делителями числа $k$, и пунктирных асимптот.

1. Шаг 1. По знаку $k$ определите четверти. Для $y = \frac{12}{x}$ — I и III.
2. Шаг 2. Выпишите делители $|k|$: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Получаются точки $(1; 12)$, $(2; 6)$, $(3; 4)$, $(4; 3)$, $(6; 2)$, $(12; 1)$.
3. Шаг 3. Отразите их симметрично относительно начала координат: $(-1; -12)$, $(-2; -6)$ и так далее.
4. Шаг 4. Соедините точки каждой ветви плавной линией, не доводя её до осей.

Если $k$ не делится на удобные числа, например $k = 5$, берите $x = 0{,}5; 1; 2; 5; 10$: дробные абсциссы около нуля помогают увидеть, как ветвь взмывает к асимптоте. Точку на ветви нельзя соединять с точкой на другой ветви — это две отдельные части графика.

Сдвинутая гипербола и её асимптоты

График $y = \frac{k}{x - m} + n$ — это та же гипербола, сдвинутая на $m$ по оси $Ox$ и на $n$ по оси $Oy$. Её асимптоты — прямые $x = m$ и $y = n$.

Постройте эскиз графика $y = \frac{2}{x - 1} + 3$ и найдите точки его пересечения с осями.

Асимптоты: $x = 1$ и $y = 3$. Ветви расположены относительно них так же, как у $y = \frac{2}{x}$ относительно осей: справа сверху и слева снизу. При $x = 0$ получаем $y = -2 + 3 = 1$ — точка $(0; 1)$. Нуль функции: $\frac{2}{x - 1} = -3$, откуда $x - 1 = -\frac23$ и $x = \frac13$.

Дробно-линейную функцию сначала приводят к такому виду выделением целой части. Например, $\frac{3x + 1}{x - 1} = 3 + \frac{4}{x - 1}$, потому что $3x + 1 = 3(x - 1) + 4$. Значит, асимптоты $x = 1$ и $y = 3$, а ветви в «первой и третьей четвертях» относительно новых осей. Общие правила сдвигов графиков собраны в материале преобразования графиков функций.

Монотонность и пересечения с прямыми

Если $k > 0$, функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ по отдельности, но не на всей области определения.

Проверка на числах для $y = \frac{6}{x}$: $-1 < 1$, но $f(-1) = -6 < f(1) = 6$. Значение выросло, хотя функция «убывающая», — потому что мы перескочили через разрыв. Поэтому в ответе промежутки монотонности пишут через «и», а не объединяют знаком $\cup$.

Общие точки гиперболы и прямой ищут, приравнивая правые части. Для $y = \frac{4}{x}$ и $y = -x + 5$ получаем $x^2 - 5x + 4 = 0$, корни 1 и 4, точки $(1; 4)$ и $(4; 1)$. С прямой $y = x$ пересечения $(2; 2)$ и $(-2; -2)$, а с прямой $y = -x$ их нет вовсе: уравнение $x^2 = -4$ решений не имеет. В задании 22 ОГЭ такие вопросы задают как поиск значений параметра, при которых прямая имеет с графиком одну общую точку^[2].

Обратная пропорциональность в жизни и на экзамене

Обратная пропорциональность встречается везде, где произведение двух величин фиксировано: путь при постоянной скорости и времени, объём работы, площадь прямоугольника.

Расстояние 120 км со скоростью 60 км/ч проезжают за 2 часа, со скоростью 40 км/ч — за 3 часа: $vt = 120$. Бригада из 6 рабочих выполняет заказ за 10 дней; 15 рабочих с той же производительностью справятся за $\frac{60}{15} = 4$ дня. Подобные сюжеты регулярно встречаются в сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко. Такие расчёты пригодятся в текстовых задачах — подробнее в разделе задачи на совместную работу.

На ОГЭ гипербола появляется в задании 11 на соответствие графиков и формул (по спецификации ФИПИ — 1 балл) и в задании 22 с построением. Тренировку на распознавание графиков по знакам коэффициентов ищите на странице задание 11 ОГЭ: графики и формулы.

Построитель графиков: ползунок k

«Построитель графиков» вверху страницы открыт на вкладке $y = k / x$ с одним ползунком: $k$ меняется от $-8$ до 8 с шагом 1.

Подсказка под рисунком сообщает, в каких четвертях лежат ветви. Проведите три опыта. Увеличивайте $k$ от 1 до 8 и смотрите, как изгиб уходит от начала координат. Переведите $k$ через ноль — ветви перепрыгнут в другие четверти. Поставьте $k = 0$: подсказка напишет, что это уже не гипербола, а на экране останется ось $Ox$ без точки $x = 0$. Сдвинутых вариантов в построителе нет, их удобно рисовать вручную по асимптотам.

Когда эта модель не подходит

Не всякая убывающая кривая и не всякая дробь задают обратную пропорциональность. Вот 4 типичных случая.

• Если знаменатель равен $x - 1$, а не $x$, вертикальная асимптота сдвигается в точку 1, и свойства «ветви в четвертях» читают относительно новых осей.
• Если в знаменателе стоит квадрат (степень 2), например $\frac{1}{x^2}$, обе ветви лежат выше оси $Ox$, и это уже не гипербола.
• Если величины связаны как «на 3 больше — на 3 меньше», зависимость линейная, а не обратная.
• Если дробь сокращается, например $\frac{2x}{x^2}$, график совпадает с $y = \frac{2}{x}$, но точка 0 исключена из области определения изначально.

Чего делать нельзя

Нельзя относиться к асимптотам как к части графика: это вспомогательные линии, на которых нет ни одной точки кривой.

• Нельзя соединять две ветви линией через начало координат.
• Нельзя писать, что функция убывает на всей области определения, — только на каждом промежутке отдельно.
• Не следует доводить ветвь до пересечения с осью: кривая к ней только приближается.
• Не следует путать сдвиг: у $y = \frac{2}{x + 3}$ асимптота $x = -3$, а не $x = 3$.
• Не стоит строить ветвь по двум точкам — нужно не менее 3–4 точек.
• Не стоит забывать, что $k = x \cdot y$ считается по точке с координатами из условия, а не по «примерному» рисунку.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Почему график называют гиперболой?

Так называется одна из кривых конического сечения. Кривая $y = \frac{k}{x}$ — частный случай такой кривой, у которого асимптоты перпендикулярны.

Может ли k быть дробным?

Да, например $y = \frac{0{,}5}{x}$. Ветви тогда прижаты к осям сильнее, чем у $y = \frac{1}{x}$. Нельзя только $k = 0$: тогда функция превращается в $y = 0$ с выколотой точкой.

Как найти k по рисунку?

Найдите на графике точку с целыми координатами и перемножьте их. Кодификатор ФИПИ^[3] относит чтение свойств функции по графику к базовым умениям, так что задача решается одной строкой.

Есть ли у гиперболы наибольшее значение?

На всей области определения — нет: около нуля значения неограниченно растут по модулю. На отрезке, не содержащем нуля, наибольшее значение есть и достигается на конце.

Что значит обратная пропорциональность в задачах?

Это сигнал, что произведение двух величин постоянно. Найдите это произведение по известным данным, затем делите его на новое значение одной величины, чтобы получить другую.

Чем отличается дробно-линейная функция?

Это функция вида $\frac{ax + b}{cx + d}$. После выделения целой части она превращается в сдвинутую гиперболу, и её асимптоты читаются из полученной записи.