График квадратного корня и правила преобразования графиков функций

Область определения и значения корня

Арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Отсюда два ограничения: подкоренное выражение не может быть отрицательным, а значение корня не может быть меньше нуля.

Поэтому область определения функции — промежуток $[0; +\infty)$, а область значений — тоже $[0; +\infty)$. Выражение $\sqrt{-4}$ в школьном курсе не определено, и на графике левее оси $Oy$ нет ни одной точки. Равенство $\sqrt{x^2} = x$ верно только при $x \ge 0$; в общем случае $\sqrt{x^2} = |x|$. Свойства самого корня как числа — вынесение множителя, сравнение — разобраны на странице арифметический квадратный корень и его свойства.

Функция корня возрастает на всей области определения: большему $x$ соответствует больший корень. Это позволяет сравнивать корни без вычислений: так как $4 < 5 < 9$, то $2 < \sqrt5 < 3$. Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при $x = 0$, наибольшего нет. В учебнике Макарычева для 8 класса^[1] эти свойства выводятся прямо из определения корня.

График функции корня и опорные точки

Чтобы построить график $y = \sqrt{x}$, берут значения $x$, из которых корень извлекается нацело: 0, 1, 4, 9, 16. Получаются 5 опорных точек.

График начинается в точке $(0; 0)$ и уходит вправо вверх, постепенно становясь всё более пологим: чтобы $y$ вырос с 3 до 4, $x$ должен увеличиться с 9 до 16. У начала координат кривая, наоборот, почти вертикальна. Соединять точки ломаной нельзя — получится неверная форма.

Если отразить ветвь параболы $y = x^2$ при $x \ge 0$ относительно прямой $y = x$, получится в точности график функции корня. Так выглядят взаимно обратные функции: точка $(3; 9)$ на параболе соответствует точке $(9; 3)$ на графике корня. Поэтому кривую и описывают как «параболу на боку», но только её верхнюю половину.

Опорные точки помогают и в обратную сторону — оценивать корни. По графику функции корня видно, что при $x = 2$ кривая проходит примерно на высоте 1,4. Точнее: $1{,}4^2 = 1{,}96$ и $1{,}5^2 = 2{,}25$, значит, $1{,}4 < \sqrt2 < 1{,}5$. Так же оценивается корень из семи: $2{,}6^2 = 6{,}76$ и $2{,}7^2 = 7{,}29$, поэтому он лежит между 2,6 и 2,7. Подобные оценки нужны в задании 7 ОГЭ о числах на координатной прямой, а график даёт для них наглядную картинку: чем правее точка на оси, тем выше соответствующая точка кривой, и порядок чисел сохраняется.

Миф: «$\sqrt{9} = \pm 3$, значит, у графика корня есть нижняя ветвь». Это неверно: уравнение $x^2 = 9$ имеет два корня, но арифметический корень $\sqrt{9}$ по определению равен только 3. Нижней ветви у графика $y = \sqrt{x}$ не существует.

Сдвиги графика вдоль осей

Если к функции прибавить число $n$, график сдвигается на $n$ по вертикали; если заменить $x$ на $x - m$, он сдвигается на $m$ по горизонтали. Форма кривой при сдвигах не меняется.

Вертикальный сдвиг понятен интуитивно: $y = \sqrt{x} + 1$ — тот же график, поднятый на 1. С горизонтальным сдвигом нужна осторожность. График $y = \sqrt{x - 2}$ сдвинут вправо на 2, хотя в формуле стоит минус: подкоренное выражение обращается в ноль при $x = 2$, там и начинается кривая. Соответственно, $y = \sqrt{x + 4}$ начинается в точке $x = -4$, то есть сдвинут влево.

Комбинация двух сдвигов: $y = \sqrt{x - 2} + 1$ начинается в точке $(2; 1)$, а опорные точки получаются сдвигом исходных: $(3; 2)$, $(6; 3)$, $(11; 4)$. Область определения сдвигается вместе с графиком: теперь $x \ge 2$. Правило «смещай начальную точку, затем откладывай от неё шаги 1, 4, 9» работает для любой подобной функции. В задании 22 ОГЭ, которое по демоверсии ФИПИ оценивается 2 баллами, умение сдвигать известный график экономит много времени.

Растяжения, сжатия и отражения

Умножение функции на число $a$ растягивает график по вертикали в $|a|$ раз, а знак минус перед функцией отражает его относительно оси $Ox$. Замена $x$ на $-x$ отражает график относительно оси $Oy$.

У $y = 2\sqrt{x}$ все ординаты вдвое больше: точки $(1; 2)$, $(4; 4)$, $(9; 6)$. У $y = \frac12\sqrt{x}$ — вдвое меньше, график прижимается к оси $Ox$. Функция $y = -\sqrt{x}$ лежит под осью абсцисс, а $y = \sqrt{-x}$ определена при $x \le 0$ и уходит влево.

Сжатие по горизонтали задаётся заменой $x$ на $kx$. Для корня есть любопытное совпадение: $\sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$, то есть сжатие к оси $Oy$ в 4 раза даёт тот же график, что растяжение от оси $Ox$ в 2 раза. Это свойство конкретно корня, а не общее правило: у параболы и гиперболы такие преобразования выглядят иначе. Обоснование всех правил по сути одна небольшая теорема: точка $(x_0; y_0)$ лежит на новом графике тогда и только тогда, когда соответствующая ей точка лежит на исходном.

Порядок преобразований на примерах

Если в формуле несколько преобразований, удобно идти «изнутри наружу»: сначала всё, что происходит с $x$ в подкоренном выражении, потом множитель и знак перед радикалом, в конце — прибавление числа.

Постройте график $y = \sqrt{x + 4} - 3$ и найдите точки его пересечения с осями.

Сдвигаем $y = \sqrt{x}$ на 4 влево и на 3 вниз: начальная точка $(-4; -3)$. Пересечение с осью $Oy$: $\sqrt{4} - 3 = -1$, точка $(0; -1)$. Нуль функции: $\sqrt{x + 4} = 3$, $x + 4 = 9$, $x = 5$. Проверка: точка $(5; 0)$ получается из опорной точки $(9; 3)$ тем же сдвигом.

Постройте график $y = 2 - \sqrt{1 - x}$.

Цепочка: $\sqrt{x} \to \sqrt{-x}$ (отражение относительно $Oy$) $\to \sqrt{-(x - 1)} = \sqrt{1 - x}$ (сдвиг вправо на 1) $\to -\sqrt{1 - x}$ (отражение относительно $Ox$) $\to 2 - \sqrt{1 - x}$ (подъём на 2). Начальная точка $(1; 2)$, дальше кривая идёт влево и вниз через $(0; 1)$, $(-3; 0)$, $(-8; -1)$. Область значений — все $y \le 2$. Учебник Мордковича для 10–11 классов^[2] описывает тот же порядок как общий алгоритм для любой функции.

Пересечения и посторонние корни

Не каждый корень, полученный возведением в квадрат, подходит: из-за условия $\sqrt{x} \ge 0$ появляются посторонние корни, и график помогает их увидеть.

Найдём общие точки $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x - 2$. Возведение в квадрат даёт $x = x^2 - 4x + 4$, то есть $x^2 - 5x + 4 = 0$, корни 1 и 4. Но при $x = 1$ левая часть равна 1, а правая $-1$: точка $(1; -1)$ на этом графике лежать не может, ведь он целиком выше оси $Ox$. Остаётся единственная общая точка $(4; 2)$. Решение таких уравнений с обязательной проверкой подробно разобрано в теме иррациональные уравнения и проверка решений.

Построитель графиков: один ползунок a

«Построитель графиков» вверху страницы открыт на вкладке $y = a\sqrt{x}$ с одним ползунком: $a$ меняется от $-3$ до 3 с шагом 0,5.

Этим ползунком видно растяжение и отражение: при $a = 2$ кривая проходит через $(4; 4)$, при $a = -1$ уходит под ось, при $a = 0$ превращается в луч на оси $Ox$. Подсказка под рисунком напоминает об области определения $x \ge 0$. Сдвигов в этой вкладке нет, но их хорошо видно на соседней вкладке $y = a|x - m| + n$: ползунки $m$ и $n$ двигают вершину «уголка» ровно по тем же правилам, что описаны выше. Свойства модуля разобраны в материале модуль числа и его график.

Когда правило сдвига не работает

Не всякую формулу с радикалом можно получить сдвигами и растяжениями $y = \sqrt{x}$. Вот 4 случая, где готовые правила дают сбой.

• Если подкоренное выражение — квадратный трёхчлен, например $\sqrt{x^2 - 4}$, график состоит из 2 отдельных частей и не получается из $\sqrt{x}$ сдвигом.
• Если коэффициент при $x$ в подкоренном выражении не вынесен, например $\sqrt{2x - 6}$, сдвиг равен 3, а не 6: сначала вынесите 2 за скобку.
• Если корень кубический, область определения — все числа, и график симметричен относительно начала координат (0; 0), а не лежит в одной полуплоскости.
• Если функция задана кусочно, правила применяют к каждому из 2–3 участков отдельно, следя за границами.

Чего делать нельзя

Нельзя путать направление горизонтального сдвига — это самая частая ошибка в теме.

• Нельзя сдвигать $y = \sqrt{x - 2}$ влево: минус в подкоренном выражении означает сдвиг вправо.
• Нельзя рисовать часть графика левее начальной точки — там функция не определена.
• Не следует соединять опорные точки ломаной: у начала кривая почти вертикальна.
• Не следует записывать ответ уравнения без проверки: посторонний корень после возведения в квадрат обнуляет решение.
• Не стоит выполнять отражение после сдвига, если в формуле порядок обратный: результат окажется в другом месте.
• Не стоит писать $\sqrt{x^2} = x$ без условия $x \ge 0$.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Почему график функции корня начинается в нуле?

Потому что из отрицательных чисел арифметический корень не извлекается. Наименьшее допустимое значение аргумента — 0, и ему соответствует точка $(0; 0)$.

Правила сдвигов работают для всех функций?

Да, правила из таблицы универсальны: они одинаково сдвигают параболу, гиперболу, модуль и синусоиду. Корень лишь удобен для тренировки, потому что у него заметная начальная точка.

Как быстро найти начальную точку?

Приравняйте подкоренное выражение к нулю и подставьте найденный $x$ в формулу. Для $y = \sqrt{x + 4} - 3$ это $x = -4$ и $y = -3$.

Встречается ли этот график на ОГЭ?

Кодификатор ФИПИ^[3] включает функцию $y = \sqrt{x}$ в перечень изучаемых функций основной школы. На экзамене она может появиться в задании 11 на соответствие графиков и в задании 22.

Чем растяжение отличается от сдвига?

Сдвиг переносит график целиком, не меняя форму. Растяжение меняет форму: точки удаляются от оси или приближаются к ней, а точка на самой оси остаётся на месте.

Можно ли проверить построение онлайн?

Да, на странице построитель графиков функций онлайн есть все вкладки сразу. Сначала постройте график на бумаге, затем сравните.