Абсолютная величина числа: свойства и раскрытие модуля в задачах

Модуль числа: определение и геометрический смысл

Модуль (абсолютная величина) — это само число, если оно неотрицательно, и противоположное число, если оно отрицательно:

$$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a < 0. \end{cases}$$

Запись $-a$ при $a < 0$ пугает многих: кажется, что модуль даёт отрицательное число. Но если $a = -7$, то $-a = 7$ — минус перед отрицательным числом делает его положительным. Само понятие появляется ещё в 6 классе, а в учебнике алгебры Макарычева для 8 класса^[1] модуль возвращается вместе с квадратными корнями: там доказывается тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

Геометрический смысл удобнее для задач: $|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля, а $|a - b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$. Например, $|3 - 8| = 5$: между числами 3 и 8 ровно 5 единиц. Такой взгляд позволяет решать многие уравнения с модулем устно, без разбора случаев. Например, модуль числа $-2{,}5$ равен $2{,}5$, а модуль числа $0$ равен нулю: точка совпадает с началом отсчёта. Подробнее о работе с координатной прямой — в материале числа на координатной прямой и модуль как расстояние.

Свойства, которыми обладает модуль числа

Модуль числа подчиняется 5 основным свойствам, и каждое из них используется в преобразованиях на ОГЭ и ЕГЭ. Их стоит знать вместе с типичными ловушками. Все они доказываются из определения разбором двух случаев — так это сделано в любом школьном учебнике, и на экзамене ссылаться на свойства можно без доказательства.

Самое коварное свойство — корень из квадрата. Запись $\sqrt{a^2} = a$ верна только при $a \ge 0$; для отрицательных чисел она неверна. Ошибка опасна в задании 8 ОГЭ на значения выражений с корнями, если под корнем стоит квадрат разности. Связь корней и модуля подробно разобрана в теме арифметический квадратный корень.

Миф: «модуль суммы равен сумме модулей». Неверно: $|3 + (-5)| = 2$, а $|3| + |-5| = 8$. Верно лишь неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$, которое превращается в равенство, только если $a$ и $b$ одного знака или одно из них равно нулю.

Как раскрыть модуль в выражении

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения под ним: если оно неотрицательно, модуль просто убирают, если отрицательно — убирают и меняют знак у всего выражения.

Числовые примеры: $|-12| = 12$, $|5 - 9| = 4$. Сложнее, когда под модулем иррациональное число: $|\sqrt{5} - 3|$. Сравним $\sqrt{5}$ и 3: так как $5 < 9$, то $\sqrt{5} < 3$, выражение отрицательно, и $|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}$. Ответ «$\sqrt{5} - 3$» — отрицательное число, а модуль не может быть отрицательным, так что ошибку легко поймать.

С переменной знак зависит от значения $x$. Выражение $|x - 2|$ равно $x - 2$ при $x \ge 2$ и $2 - x$ при $x < 2$. Точку, где выражение под модулем обращается в ноль, называют критической: она делит прямую на участки, на каждом из которых модуль раскрывается одинаково. Этот приём — основа всех более сложных задач. Если критических точек две, их отмечают на прямой и раскрывают каждый модуль отдельно на трёх промежутках. Так сформулирован этот метод и в учебнике Мордковича^[3], где модуль числа и модуль выражения рассматриваются как одно и то же понятие.

Уравнения с модулем

Уравнение $|x| = a$ при $a > 0$ имеет 2 корня $\pm a$, при $a = 0$ — один корень, при $a < 0$ — ни одного. Остальные типы сводятся к этому или к разбору случаев. Кодификатор ФИПИ относит решение таких уравнений к умениям курса алгебры, поэтому они могут встретиться и во второй части ОГЭ.

Тип 1: модуль равен числу

$|x - 3| = 5$: выражение под модулем равно $5$ или $-5$, откуда $x = 8$ или $x = -2$. Геометрически это точки, удалённые от числа 3 на 5 единиц. Уравнение $|x - 2| = -1$ решений не имеет: модуль не может равняться отрицательному числу, и решать его дальше не нужно.

Тип 2: модуль равен выражению с переменной

Решите уравнение $|x - 1| = 2x - 5$.

Модуль неотрицателен, значит, правая часть тоже должна быть неотрицательной: $2x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 2{,}5$. Это условие записывают сразу. Далее два случая. Первый: $x - 1 = 2x - 5$, $x = 4$ — условию удовлетворяет. Второй: $x - 1 = -(2x - 5)$, $3x = 6$, $x = 2$ — не подходит, потому что $2 < 2{,}5$. Ответ: $4$. Если пропустить проверку условия, в ответ попадёт посторонний корень $2$: при нём слева $1$, а справа $-1$.

Тип 3: несколько модулей

В уравнении $|x - 1| + |x + 2| = 5$ критические точки $1$ и $-2$ делят прямую на 3 промежутка. При $x \ge 1$ оба модуля раскрываются с плюсом: $2x + 1 = 5$, $x = 2$. При $-2 \le x < 1$ получаем $(1 - x) + (x + 2) = 3$, и равенство $3 = 5$ неверно — здесь решений нет. При $x < -2$: $-2x - 1 = 5$, $x = -3$. Ответ: $-3$ и $2$. Каждый найденный корень обязательно сверяют с промежутком, на котором он получен.

Уравнение $|x - 1| = |x + 3|$ проще решить геометрически: ищем точку, одинаково удалённую от $1$ и $-3$, — это середина отрезка, $x = -1$.

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем решают по 2 правилам: $|x| < a$ означает $-a < x < a$, а $|x| > a$ — что $x < -a$ или $x > a$. Первое даёт один отрезок, второе — два луча.

Геометрически $|x - 4| \le 3$ — это все точки, удалённые от 4 не более чем на 3, то есть отрезок $[1; 7]$. Алгебраически то же самое: $-3 \le x - 4 \le 3$, прибавляем 4 ко всем частям. А $|2x - 1| > 5$ распадается на совокупность: $2x - 1 > 5$ или $2x - 1 < -5$, то есть $x > 3$ или $x < -2$. Ответ: $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Если справа отрицательное число, ответ получается сразу: $|x + 1| < -2$ решений не имеет, а $|x + 1| > -2$ верно при любом $x$. Когда модулей несколько или справа стоит выражение с переменной, применяют тот же разбор по промежуткам, что и для уравнений, а внутри каждого промежутка решают обычное линейное неравенство. Если после этого получается дробь, на помощь приходит метод интервалов.

Графики с модулем

График $y = |x|$ — это «галочка»: две половины прямых $y = x$ и $y = -x$ с вершиной в начале координат. График $y = |x - a| + b$ получается сдвигом этой галочки на $a$ вправо и на $b$ вверх.

В задании 22 ОГЭ на построение графика функция иногда содержит вертикальные черты, и тогда её строят по частям: раскрывают их на каждом промежутке и получают кусочно-заданную функцию. Такие задачи разобраны в материале кусочные функции и функции с модулем. В профильном ЕГЭ абсолютная величина часто встречается в задачах с параметром, где графический взгляд экономит много времени.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 9 задач: значение выражения, 5 уравнений, 2 неравенства и вопрос о знаке иррационального выражения.

Решайте на бумаге, вводите ответ в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» покажет разбор, «Следующая задача →» переключит задачу, а весь набор идёт по кругу. Особое внимание — задаче с правой частью $2x - 5$: в ней проверяется, не забыто ли условие неотрицательности.

Когда этот разбор не поможет

Не все трудности в этой теме решаются правилами из этой статьи — иногда нужно сначала подтянуть соседнюю тему.

• Если в 2 из 3 задач ошибка возникает при решении линейного уравнения после раскрытия вертикальных черт, сначала закрепите линейные уравнения.
• Если под знаком абсолютной величины квадратный трёхчлен, критических точек может быть 2, и без уверенного решения квадратных уравнений не обойтись.
• Если в задаче есть параметр, разбор по промежуткам дополняется исследованием, и это уже уровень задания 19 профильного ЕГЭ (в 2026 году — задания 18).
• Если до экзамена меньше 3 недель, а цель — отметка «3» на ОГЭ, сложные уравнения с несколькими парами вертикальных черт можно отложить.

Чего делать нельзя

Нельзя обращаться с вертикальными чертами как со скобками — эти 6 ошибок дают большинство неверных ответов в теме.

• Нельзя «снимать» модуль, не определив знак выражения под ним.
• Нельзя записывать $\sqrt{a^2} = a$ для любого $a$: верно только $\sqrt{a^2} = |a|$.
• Не следует решать уравнение $|f(x)| = g(x)$ без условия неотрицательности правой части.
• Не следует заменять $|a + b|$ на $|a| + |b|$.
• Не стоит оставлять корень, найденный на одном промежутке, если он лежит вне этого промежутка.
• Не допускается записывать ответ неравенства $|x| > a$ как двойное неравенство: это совокупность двух лучей.

Миф: «модуль просто убирает минус перед числом». Это верно для чисел, но не подтверждается для выражений: $|x - 5|$ при $x = 2$ равен $3$, хотя «минуса перед» тут нет. Знак меняется у всего выражения, если оно отрицательно, а знаки внутри не стираются.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Может ли модуль быть равен отрицательному числу?

Нет. Это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным. Поэтому уравнение вида $|x| = -3$ решений не имеет.

Чему равен модуль нуля?

Нулю. Это единственное число с таким свойством.

Зачем нужен геометрический способ, если есть определение?

Он быстрее: уравнения вида $|x - a| = b$ и $|x - a| = |x - b|$ решаются устно. Для сложных случаев надёжнее определение и разбор промежутков.

Как записать ответ, если подходят два луча?

Через знак объединения: $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$. Запись «$-2 > x > 3$» неверна — такого числа не существует.

Нужна ли проверка корней после разбора случаев?

Если корень сверен с условием своего промежутка или с условием неотрицательности, отдельная подстановка не нужна. Но она полезна как быстрая самопроверка.

Где модуль числа встречается на экзаменах?

В выражениях с корнями из квадратов, в графиках второй части ОГЭ и в задачах с параметром профильного ЕГЭ. Кодификатор ФИПИ^[2] относит эту тему к элементам содержания курса алгебры основной школы.