Числа на числовой прямой: сравнение, оценка корней и модуль

Что такое координатная прямая

Чтобы получилась координатная прямая, на обычной прямой задают 3 вещи: точку O с координатой 0, единичный отрезок и положительное направление, обычно вправо. Тогда каждая точка получает число — свою координату.

Координатная прямая — это одномерный вариант координатной плоскости: на плоскости у точки две координаты, на прямой — одна. Учебник алгебры вводит её ещё в 6 классе, а в 8 классе на ту же прямую добавляются иррациональные числа. Без единичного отрезка прямая не может считаться координатной: неизвестно, где лежит точка 1.

Запись $A(-3)$ означает: точка $A$ лежит на 3 единичных отрезка левее начала отсчёта. Точки с положительными координатами лежат правее нуля, с отрицательными — левее. Между любыми двумя точками помещается бесконечно много других: например, между 1 и 2 лежат 1,5, $\sqrt2$, $\frac{7}{5}$ и сколько угодно ещё.

Числовой прямой называют ту же самую прямую, когда речь идёт о множестве действительных чисел. Каждому действительному числу — рациональному и иррациональному — соответствует ровно одна точка, и каждой точке — ровно одно число. Поэтому иррациональные $\sqrt2$ или $\pi$ имеют на прямой вполне определённое место, хотя их десятичная запись бесконечна.

В ОГЭ этой теме посвящено задание 7 — числа на координатной прямой^[1]. Его формат с выбором верного утверждения разобран на странице задание 7 ОГЭ, а здесь собрана теория, на которой держатся все его варианты. В базовом ЕГЭ к той же прямой возвращается задание 18 — соответствие точек, чисел и промежутков.

Сравнение чисел: правее — значит больше

Из двух чисел больше то, которое на координатной прямой лежит правее. Это правило работает для всех чисел без исключений, в том числе для отрицательных: $-2 > -5$, потому что точка $-2$ правее точки $-5$.

Координатная прямая особенно полезна для отрицательных чисел, потому что именно с ними чаще всего ошибаются: кажется, что «пять больше двух, значит, $-5$ больше $-2$». Спецификация ФИПИ относит задание 7 к базовому уровню, и такая ошибка обходится особенно обидно. Прямая сразу убирает эту путаницу: чем левее, тем меньше, а у отрицательных чисел больший модуль означает положение дальше влево.

Дроби удобно сравнивать, переводя в десятичные или приводя к общему знаменателю. Расположим в порядке возрастания $0{,}3$, $\frac13$ и $0{,}33$: $\frac13 = 0{,}333\ldots$, поэтому $0{,}3 < 0{,}33 < \frac13$. Число $-\frac73 \approx -2{,}33$ лежит между $-3$ и $-2$, ближе к $-2$. Приёмы перевода дробей собраны в статье действия с дробями.

Оценка корней: между какими целыми

Чтобы найти место $\sqrt{n}$ на координатной прямой, ищут два соседних точных квадрата: если $k^2 < n < (k+1)^2$, то $k < \sqrt{n} < k + 1$. Это следует из теоремы о возрастании функции $y = \sqrt{x}$: большему подкоренному числу соответствует больший корень.

Между какими соседними целыми числами лежит $\sqrt{45}$? К какому из них оно ближе?

Решение. $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, и $36 < 45 < 49$, поэтому $6 < \sqrt{45} < 7$. Чтобы понять, к какому концу ближе, сравним с серединой: $6{,}5^2 = 42{,}25 < 45$, значит, $\sqrt{45} > 6{,}5$ и ближе к 7. Уточнение: $6{,}7^2 = 44{,}89$, то есть $\sqrt{45} \approx 6{,}7$.

Сравнение с серединой отрезка — надёжный приём. Оценка «45 ближе к 49, чем к 36, значит, корень ближе к 7» здесь даёт верный вывод, но в общем случае она не точна: квадраты растут неравномерно. Проверка через квадрат середины работает всегда.

Тренажёр вверху страницы предлагает именно такие задачи: «Какому из промежутков принадлежит число $\sqrt{n}$?» с четырьмя вариантами. Выберите номер верного промежутка и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» покажет соседние квадраты, «Следующая задача →» выдаст новое число. Квадраты чисел от 10 до 99 удобно держать перед глазами, см. таблицу квадратов, а свойства корней — в статье арифметический квадратный корень.

Миф: «корень из числа всегда меньше самого числа». Это неверно для чисел от 0 до 1: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$. Для $n > 1$ корень действительно меньше $n$, для $n = 0$ и $n = 1$ они равны, а для дробей между 0 и 1 корень больше.

Утверждения о числах a и b на прямой

Если на координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$, а спрашивают, какое утверждение верно, — сначала запишите промежутки для каждого числа, а потом оцените выражение по этим промежуткам.

Число $a$ лежит между $-2$ и $-1$, число $b$ — между 2 и 3. Какие утверждения верны: 1) $a + b > 0$; 2) $ab < 0$; 3) $\frac1a > \frac1b$; 4) $a^2 < b^2$?

Решение. 1) $a + b$ больше $-2 + 2 = 0$ — верно. 2) Числа разных знаков, произведение отрицательно — верно. 3) $\frac1a$ отрицательно, $\frac1b$ положительно, поэтому $\frac1a < \frac1b$ — неверно. 4) $a^2$ лежит между 1 и 4, $b^2$ — между 4 и 9 — верно. Верны 1, 2 и 4.

Полезный приём — подставить конкретные «удобные» значения из промежутков, например $a = -1{,}5$, $b = 2{,}5$, и проверить каждое утверждение. Подстановка не доказывает «верно», но быстро опровергает «неверно» — это обычный контрпример: чтобы опровергнуть общее утверждение, как и ложную теорему, хватает одного случая. Если утверждение не выполняется хотя бы для одной пары значений, оно не может быть верным для всех, и его сразу вычёркивают.

Модуль как расстояние между точками

Модуль числа $|a|$ — это расстояние от точки $a$ до нуля, а $|a - b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому и модуль всегда неотрицателен — это следует прямо из определения в учебнике.

Расстояние между точками $A(-7)$ и $B(4)$ равно $|4 - (-7)| = 11$. Середина отрезка между $-4$ и $10$ имеет координату $\frac{-4 + 10}{2} = 3$: до каждого конца по 7. Геометрический смысл особенно удобен для уравнений: $|x - 3| = 5$ означает «точка $x$ удалена от 3 на 5», откуда $x = -2$ или $x = 8$ без раскрытия модуля по случаям.

Точно так же $|x + 1| < 2$ читается как «расстояние от $x$ до $-1$ меньше 2», то есть $-3 < x < 1$. Запись $|x + 1|$ — это $|x - (-1)|$, поэтому центр в точке $-1$, а не 1. Уравнения и неравенства с модулем подробнее разобраны в статье модуль числа.

Числовые промежутки: скобки и точки

Числовой промежуток — это часть оси между двумя точками или луч от точки. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток (на рисунке закрашенная точка), круглая — что не входит (пустая точка).

• Отрезок $[2; 5]$ — все $x$, для которых $2 \le x \le 5$.
• Интервал $(2; 5)$ — $2 < x < 5$, концы не входят.
• Полуинтервал $[2; 5)$ — 2 входит, 5 не входит.
• Луч $[2; +\infty)$ — все $x \ge 2$; у бесконечности скобка всегда круглая.

Решения линейных и квадратных неравенств изображают именно так, и ошибка в скобке — это ошибка в ответе. Разбор с примерами — в статье линейные неравенства и промежутки.

Когда рисунок не подходит для ответа

Рисунок помогает думать, но не заменяет вычисления: иногда положение точки «на глаз» обманывает.

• Если два числа отличаются меньше чем на 0,1, например $\sqrt{10}$ и $\pi$, на рисунке их не различить — сравнивайте квадраты.
• Если на рисунке не отмечены 2 опорные точки с подписями, масштаб неизвестен, и координату точки определить нельзя.
• Если в выражении больше 2 переменных или есть деление на разность, прикидки по рисунку не хватит: проверяйте знаки по шагам.
• Если корень нужно найти с точностью до 0,01, оценка между соседними целыми — лишь первый шаг.

Чего делать нельзя

Нельзя сравнивать отрицательные числа по модулю: из $-5$ и $-2$ больше то, что ближе к нулю.

• Нельзя считать $-5$ больше $-2$ только потому, что 5 больше 2.
• Нельзя возводить в квадрат обе части сравнения, если числа разных знаков: $-3 < 2$, но $9 > 4$.
• Не следует оценивать близость корня к концам по близости подкоренного числа без проверки серединой.
• Не следует путать $|x + 1|$ с расстоянием до точки 1: центр в точке $-1$.
• Не стоит ставить квадратную скобку у бесконечности.
• Не стоит выбирать утверждение, проверенное лишь на одном примере: одна подстановка опровергает, но не доказывает.

Как отработать тему

Чтобы такие задачи решались за 1–2 минуты, достаточно 4 коротких занятий: сравнение, оценка корней, утверждения о $a$ и $b$, модуль.

На каждом занятии сначала нарисуйте ось от руки и отметьте 8–10 чисел разных видов: целые, дроби, корни. Потом решите 10 задач тренажёра. Учебник алгебры Макарычева для 8 класса^[2] вводит действительные числа и их изображение точками в главе о квадратных корнях — там много упражнений на сравнение. Для проверки себя в формате экзамена подойдут сборники типовых вариантов ОГЭ под редакцией Ященко^[3]; демоверсия ФИПИ показывает, как выглядит задание 7 в варианте. Не решайте все задачи подряд за один вечер: распределённые занятия закрепляют навык лучше.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[3] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Чем координатная прямая отличается от числовой оси?

Ничем: это разные названия одного объекта. «Координатная прямая» подчёркивает, что у точек есть координаты, «числовая ось» — что на ней изображены числа.

Как быстро понять, между какими целыми лежит корень?

Вспомните квадраты: для $\sqrt{70}$ это $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$, значит, корень между 8 и 9. Таблица квадратов до 20 должна быть в памяти, дальше — по таблице или умножением.

Где лежит отрицательная дробь вроде −3/4?

Между $-1$ и $0$, на расстоянии трёх четвертей единицы от нуля, то есть ближе к $-1$. Число $-0{,}75$ — та же самая точка.

Почему модуль не бывает отрицательным?

Потому что это расстояние до нуля, а расстояние — неотрицательная величина. Отрицательным может быть число под знаком модуля, но не результат: $|-6| = 6$.

Можно ли решать задание 7 ОГЭ подстановкой?

Подстановка удобных значений хорошо отсекает неверные утверждения. Но значения нужно брать строго из промежутков на рисунке и для надёжности проверить две разные пары.

Сколько точек между 0 и 1?

Бесконечно много. Между любыми двумя различными числами всегда есть третье, например их среднее арифметическое, а значит, точек на любом отрезке бесконечно много.