Как решать неравенство первой степени и записывать ответ промежутком

Линейные неравенства: что это такое

Линейное неравенство — это неравенство вида $ax + b > 0$ (или со знаками $<$, $\ge$, $\le$), где $a$ и $b$ — числа. Решить его — найти все значения $x$, при которых оно верно. Простейшие линейные неравенства выглядят как $x > 4$, а более сложные содержат скобки и дроби, но после упрощения все сводятся к этому виду.

В отличие от уравнения, у неравенства обычно бесконечно много решений, и все они образуют числовой промежуток — луч, интервал или отрезок. Иногда решений нет совсем, а иногда подходит любое число. По учебнику Макарычева^[1] тема изучается в 8 классе после числовых неравенств и их свойств, а в кодификаторе ФИПИ^[2] решение линейных неравенств и их систем входит в проверяемые умения.

На ОГЭ эта тема — основа задания 13: нужно решить неравенство или систему и выбрать верный промежуток из четырёх вариантов либо указать рисунок на координатной прямой. Во второй части такие неравенства встречаются внутри задания 20, а в ЕГЭ базового уровня — в задании 18 на соответствие неравенств и решений.

Два свойства, на которых держится решение

Решение опирается на 2 свойства числовых неравенств: к обеим частям можно прибавить любое число, а умножить или разделить обе части можно на любое число, кроме нуля, — но с оговоркой о знаке.

1. Перенос слагаемых. Слагаемое можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком — знак неравенства при этом не меняется. Из $3x - 7 < 5$ получаем $3x < 12$.
2. Деление на положительное число. Знак неравенства сохраняется: $3x < 12$ равносильно $x < 4$.
3. Деление на отрицательное число. Знак меняется на противоположный: $-2x \ge 6$ равносильно $x \le -3$.

Почему знак переворачивается, легко проверить на числах: $2 < 5$, но $-2 > -5$. Умножение на отрицательное число отражает точки координатной прямой относительно нуля, и порядок чисел становится обратным. Это свойство доказывается в учебнике как теорема о числовых неравенствах, а не принимается на веру. На тех же двух теоремах держатся и любые линейные неравенства с дробями, и системы из нескольких неравенств.

Миф: «знак неравенства меняется, когда переносишь слагаемое в другую часть». Неверно: при переносе меняется знак самого слагаемого, а знак неравенства остаётся прежним. Переворачивать знак неравенства нужно только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число — других случаев в линейных неравенствах не бывает.

Пошаговое решение и типовые примеры

Чтобы решить любое линейное неравенство, достаточно 4 шагов: раскрыть скобки и избавиться от дробей, собрать слагаемые с $x$ слева, а числа справа, привести подобные, разделить на коэффициент при $x$ с учётом его знака.

Решите неравенство $-2x + 5 \ge 11$.

Переносим 5 вправо: $-2x \ge 6$. Делим на $-2$, число отрицательное, поэтому знак меняется: $x \le -3$. Ответ: $(-\infty; -3]$. Проверка граничной точкой: при $x = -3$ получаем $6 + 5 = 11$, и нестрогое неравенство выполняется, значит, $-3$ входит в ответ. Проверка внутренней точкой: при $x = -5$ имеем $15 \ge 11$ — верно.

Решите неравенство $\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} > 1$.

Умножаем обе части на 6 — положительное число, знак сохраняется: $2(x - 1) - 3(x + 1) > 6$. Раскрываем скобки: $2x - 2 - 3x - 3 > 6$, то есть $-x - 5 > 6$ и $-x > 11$. Делим на $-1$ со сменой знака: $x < -11$. Ответ: $(-\infty; -11)$. Главная ловушка здесь — минус перед второй дробью: он относится ко всей скобке $3(x + 1)$, а не только к первому слагаемому.

Особые случаи: нет решений или любое число

Иногда переменная исчезает. Неравенство $5(x - 1) - 2x > 3x + 1$ после упрощения даёт $-5 > 1$ — неверно при любом $x$, решений нет. Неравенство $2(x + 3) \le 2x + 7$ превращается в $6 \le 7$ — верно всегда, решение $(-\infty; +\infty)$. Ответ «решений нет» записывают словами или знаком пустого множества $\varnothing$. Такие вырожденные линейные неравенства решаются по тем же теоремам о числовых неравенствах из учебника 8 класса — просто переменная сокращается раньше времени.

Числовые промежутки и их запись

Числовой промежуток — это множество всех чисел между двумя границами или по одну сторону от границы. Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — что входит; бесконечность всегда пишут с круглой скобкой.

Строгий знак ($<$, $>$) соответствует выколотой точке и круглой скобке, нестрогий ($\le$, $\ge$) — закрашенной точке и квадратной скобке. Между границами ставят точку с запятой: запись $(2; 5)$ вместо $(2, 5)$ избавляет от путаницы с десятичной запятой, например в промежутке $(2{,}5; 7)$. Подробнее о расположении чисел и сравнении на прямой — в материале числа на координатной прямой.

Системы линейных неравенств

Система неравенств требует, чтобы выполнялись все неравенства сразу, поэтому её решение — это пересечение решений каждого из них, то есть общая часть промежутков на прямой.

Решите систему неравенств $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ 7 - x \ge 2 \end{cases}$.

Первое неравенство: $2x > 4$, $x > 2$. Второе: $-x \ge -5$, после деления на $-1$ знак меняется, $x \le 5$. Отмечаем оба луча на одной прямой: штриховки перекрываются от 2 до 5, точка 2 выколота, точка 5 закрашена. Ответ: $(2; 5]$.

Если штриховки не перекрываются, система не имеет решений. Например, из системы $x + 4 < 1$, $2x > 0$ получаем $x < -3$ и $x > 0$ — общих точек нет. Не путайте систему с совокупностью: совокупность, которую обозначают квадратной скобкой, требует выполнения хотя бы одного неравенства, и её ответ — объединение промежутков.

Двойное неравенство и целые решения

Запись $-3 < 2x + 1 \le 7$ — это та же система, только короче. Действия выполняют сразу со всеми тремя частями: вычитаем 1, получаем $-4 < 2x \le 6$, делим на 2: $-2 < x \le 3$. Если спрашивают число целых решений, перечисляем их: $-1, 0, 1, 2, 3$ — всего 5. Граница $-2$ не входит, потому что неравенство строгое.

Похожий вопрос — наименьшее целое решение. Для $4x + 9 > x - 3$ имеем $3x > -12$, $x > -4$; число $-4$ не подходит, поэтому наименьшее целое решение равно $-3$.

Линейные неравенства в тренажёре задания 13

Тренажёр вверху страницы — «Тренажёр · № 13 ОГЭ · бесконечные варианты»: в каждой задаче дано неравенство вида $ax + b < c$ с любым из 4 знаков, и нужно выбрать верный промежуток из четырёх вариантов.

Генератор специально подбирает и положительные, и отрицательные коэффициенты, поэтому примерно в трети задач знак придётся перевернуть. Отметьте вариант, нажмите «Проверить», а при ошибке — «Решение»: там видно, на какое число делили и менялся ли знак. Кнопка «Следующая задача →» выдаёт новое неравенство, а счётчик «решено X из Y» показывает точность. Хороший ориентир перед экзаменом — 15 задач подряд без единой ошибки. Формат вариантов ответа повторяет демоверсию ФИПИ: четыре промежутка, которые отличаются направлением и скобкой.

Генератор не содержит систем и дробей, поэтому после него решите 8–10 систем вручную и обязательно изобразите их на прямой. Полный разбор экзаменационного формата с рисунками есть в статье про задание 13 ОГЭ.

Когда этот способ не подходит

Не каждое неравенство из экзаменационного варианта линейное — если правила этой статьи не работают, нужен другой метод.

• Если в неравенстве есть $x^2$, то есть степень 2, перенос и деление не помогут — решайте через параболу, как в теме квадратные неравенства.
• Если переменная стоит в знаменателе, умножать на него нельзя: знак знаменателя неизвестен, и нужен метод интервалов с 2 этапами — нули числителя и знаменателя.
• Если коэффициент при $x$ содержит параметр, придётся рассмотреть 3 случая: он положителен, отрицателен или равен нулю.
• Если неравенство содержит модуль, его сначала раскрывают по определению, и ответ может состоять из 2 промежутков.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл в простом номере — эти 6 ошибок дают большинство неверных ответов в неравенствах первой степени.

• Нельзя делить на отрицательное число, не меняя знак неравенства.
• Нельзя ставить квадратную скобку у бесконечности: запись $[-\infty; 4)$ неверна.
• Не следует умножать неравенство на выражение с переменной, если его знак неизвестен.
• Не следует путать пересечение и объединение: система — это общая часть, а не всё, что заштриховано.
• Не стоит выбирать вариант ответа без проверки граничной точки — она решает, круглая скобка или квадратная.
• Не допускается записывать границы в обратном порядке: $(5; 2)$ не является промежутком.

Миф: «если в ответе получилось $x > 2$, то число 2 тоже подходит, ведь оно граница». Не подтверждается: при строгом знаке граница в ответ не входит. Входит она только при нестрогом знаке, и это видно подстановкой: при $x = 2$ строгое неравенство превращается в неверное числовое неравенство вида $1 > 1$.

Как проверить ответ за минуту

Если решение уже записано, его проверяют 2 подстановками: граничной точкой и любой точкой внутри промежутка. Первая отвечает на вопрос о скобке, вторая — о направлении.

Граница — это корень соответствующего уравнения: в ней обе части равны. Если знак нестрогий, граница входит. Затем возьмите удобное число из ответа, например 0 или 10, и подставьте в исходное неравенство: оно должно выполняться. Если не выполняется, скорее всего, при делении на отрицательное число знак не был изменён. Для систем то же самое делают для каждого неравенства отдельно. Так проверяются любые линейные неравенства, и этот приём рекомендуют все школьные учебники алгебры.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

Вопросы и ответы

Почему при делении на минус знак меняется, а при умножении на плюс — нет?

Умножение на положительное число растягивает или сжимает прямую, сохраняя порядок точек. Умножение на отрицательное число дополнительно отражает её относительно нуля, и большее число становится меньшим.

Как записать ответ, если подходят все числа?

Пишут $(-\infty; +\infty)$ или «$x$ — любое число». Оба варианта засчитываются во второй части, если решение обосновано.

Где на экзаменах встречаются линейные неравенства?

В ОГЭ — в задании 13 и внутри задания 20, в ЕГЭ базового уровня — в задании 18. В профильном ЕГЭ они почти всегда возникают на последнем шаге более сложного решения, например после логарифмического или показательного неравенства.

Нужно ли рисовать координатную прямую?

Для одного неравенства — по желанию. Для системы рисунок почти обязателен: без него легко перепутать пересечение с объединением.

Чем выколотая точка отличается от закрашенной?

Выколотая (пустой кружок) не входит в решение и соответствует строгому знаку. Закрашенная входит и соответствует нестрогому знаку.

Сколько баллов даёт задание 13 ОГЭ?

По спецификации ФИПИ^[3] каждое задание первой части, включая задание 13, оценивается в 1 балл.

Можно ли решать неравенство «как уравнение», а знак поставить в конце?

Можно найти границу как корень уравнения, но направление ответа всё равно придётся определить подстановкой точки. Без этого шага ошибка в знаке остаётся незамеченной.