Квадраты двузначных чисел: как считать быстро и извлекать корень

Таблица квадратов чисел от 10 до 99

В строке таблицы — число десятков, в столбце — число единиц, на пересечении — квадрат. Например, квадрат числа 73 стоит в строке 7 и столбце 3: это 5329.

Квадраты от 11 до 20 полезно знать мгновенно, как таблицу умножения: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Они встречаются чаще всего — в пифагоровых тройках, в формулах сокращённого умножения, в простых квадратных уравнениях. Остальные квадраты из таблицы не обязательно заучивать: их легко получить приёмами, описанными ниже.

Миф: «таблицу квадратов выдают на экзамене, учить её не нужно». Это не подтверждается: на ОГЭ выдают справочные материалы с основными формулами, но рассчитывать на готовые квадраты двузначных чисел не стоит, а на профильном ЕГЭ справочного листа нет вовсе.

Как читать квадраты по строкам и столбцам

Если присмотреться к таблице, видны 3 закономерности, которые помогают запомнить квадраты без зубрёжки: последние цифры повторяются, соседние квадраты различаются на нечётное число, а в каждой строке есть «опорный» квадрат круглого числа.

Первая закономерность — последняя цифра. Квадрат натурального числа может оканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Числа, оканчивающиеся на 2, 3, 7 или 8, квадратами не бывают. Это быстрая проверка: если в задаче «корень из 2738» должен быть целым, значит, где-то ошибка.

Вторая — шаг между соседними квадратами. Из формулы $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$ следует, что следующий квадрат больше предыдущего на $2n + 1$. Так, $31^2 = 900 + 60 + 1 = 961$, а $32^2 = 961 + 63 = 1024$. Этим удобно двигаться от круглого числа на 1–2 шага вперёд.

Третья — симметрия относительно 50. Числа $50 - k$ и $50 + k$ имеют квадраты с одинаковыми двумя последними цифрами: $48^2 = 2304$ и $52^2 = 2704$, $46^2 = 2116$ и $54^2 = 2916$. Две последние цифры совпадают с $k^2$, если $k < 10$.

Приём для чисел, оканчивающихся на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, умножьте число десятков на следующее за ним число и припишите справа 25. Это работает для любого числа вида $10a + 5$.

Объяснение — одна строка алгебры: $(10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$. Значит, первые цифры квадрата — это произведение $a(a + 1)$, а последние две — всегда 25.

• 35. $3 \cdot 4 = 12$, квадрат равен 1225.
• 65. $6 \cdot 7 = 42$, квадрат равен 4225.
• 85. $8 \cdot 9 = 72$, квадрат равен 7225.
• 95. $9 \cdot 10 = 90$, квадрат равен 9025.

Приём годится и для десятичных дробей: $6{,}5^2 = 42{,}25$, $0{,}35^2 = 0{,}1225$. Нужно только аккуратно поставить запятую: знаков после запятой в квадрате вдвое больше, чем в исходном числе.

Квадрат через круглое число: около 50 и около 100

Если число близко к круглому, его квадрат быстрее всего найти по формуле квадрата суммы или разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, где $a$ — круглое число.

Около 50 формула особенно удобна, потому что $50^2 = 2500$, а $2 \cdot 50 \cdot k = 100k$. Получаем правило $(50 + k)^2 = 2500 + 100k + k^2$. Например, $53^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809$, $48^2 = 2500 - 200 + 4 = 2304$. Считается в уме за несколько секунд.

Около 100 аналогично: $(100 - k)^2 = 10\,000 - 200k + k^2$. Например, $97^2 = 10\,000 - 600 + 9 = 9409$, $96^2 = 10\,000 - 800 + 16 = 9216$. Для чисел вроде 72 или 38 опорным станет ближайший десяток: $72^2 = 4900 + 280 + 4 = 5184$, $38^2 = 1600 - 160 + 4 = 1444$.

Формулы сокращённого умножения подробно разобраны в учебнике Макарычева для 8 класса^[1], а здесь важна привычка: видеть в двузначном числе «круглое плюс немного». Если хотите потренировать сами формулы, загляните в материал про формулы сокращённого умножения.

Разность квадратов: умножение и упрощение

Формула $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ — это способ не возводить большие числа в квадрат вовсе: разность квадратов почти всегда считается быстрее через произведение.

Типичное выражение из задания 8 ОГЭ: $85^2 - 15^2$. Возводить оба числа в квадрат долго, а по формуле — $70 \cdot 100 = 7000$. То же с корнями: $\sqrt{65^2 - 16^2} = \sqrt{49 \cdot 81} = 7 \cdot 9 = 63$. Здесь знание квадратов 7 и 9 важнее, чем знание квадрата 65.

Работает и обратное направление. Произведение чисел, симметричных относительно круглого, превращается в разность квадратов: $47 \cdot 53 = 50^2 - 3^2 = 2491$, $38 \cdot 42 = 1600 - 4 = 1596$. Такой приём экономит время в текстовых задачах, где нужно перемножить двузначные числа.

Как извлечь корень из четырёхзначного числа

Чтобы извлечь корень из четырёхзначного точного квадрата без таблицы, хватит 3 шагов: оценить десятки, выбрать последнюю цифру по последней цифре числа и проверить одного кандидата.

1. Шаг 1. Найдите десятки по первым двум цифрам. Для 5329: $70^2 = 4900 < 5329 < 6400 = 80^2$, значит, корень между 70 и 80.
2. Шаг 2. Последняя цифра числа 9, а на 9 оканчиваются квадраты чисел, кончающихся на 3 или 7. Кандидаты: 73 и 77.
3. Шаг 3. Сравните с серединой: $75^2 = 5625 > 5329$, значит, корень меньше 75. Ответ 73.

Соответствие последних цифр стоит запомнить: квадрат оканчивается на 1 — корень на 1 или 9; на 4 — на 2 или 8; на 9 — на 3 или 7; на 6 — на 4 или 6; на 5 — на 5; на 0 — на 0. Ещё пример: для 1849 десятки дают отрезок от 40 до 50, кандидаты 43 и 47, а так как $45^2 = 2025 > 1849$, корень равен 43.

Для десятичных дробей переносите запятую парами: $\sqrt{0{,}0529} = 0{,}23$, потому что $\sqrt{529} = 23$, а четыре знака после запятой под корнем дают два знака в ответе. Свойства корней и вынесение множителя подробно разобраны на странице про арифметический квадратный корень.

Где таблица квадратов нужна на экзамене

На ОГЭ таблица квадратов работает минимум в 5 номерах: 8 (корни и степени), 9 и 20 (дискриминант), 15 и 18 (теорема Пифагора). На ЕГЭ — в планиметрии, стереометрии и задачах с параметром.

Спецификация ФИПИ^[2] прямо запрещает калькулятор на ОГЭ, поэтому квадрат вида $29^2$ в дискриминанте приходится считать вручную. Например, в уравнении $x^2 - 7x - 144 = 0$ дискриминант $49 + 576 = 625 = 25^2$, и корни 16 и −9 находятся мгновенно, если вы узнаёте 625 как квадрат.

В геометрии таблица помогает распознавать пифагоровы тройки: 20, 21, 29 или 16, 63, 65. Теорема Пифагора из учебника Атанасяна^[3] даёт $c^2 = 400 + 441 = 841$, а 841 — это $29^2$, что видно по таблице в строке 2. Список троек и обратная теорема — в материале про теорему Пифагора и тройки.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 8 упражнений на вычисления с корнями в формате первой части. Решайте в уме или на черновике, вводите ответ и нажимайте «Проверить».

Кнопка «Решение» показывает короткий разбор с приёмом, который здесь удобнее всего, а «Следующая задача →» переводит к новому упражнению; задачи идут по кругу. Старайтесь укладываться в 30 секунд на упражнение: на экзамене такие вычисления — промежуточный шаг, а не вся задача.

Когда таблица не поможет

Не каждую вычислительную ошибку исправляет знание таблицы — иногда причина в другом навыке.

• Если число под корнем не является точным квадратом, например 50, таблица даст лишь оценку $7 < \sqrt{50} < 8$, а ответ нужно оставить в виде $5\sqrt2$.
• Если в выражении больше 2 корней, сначала упрощают выражение по свойствам, и только потом считают.
• Если числа трёхзначные, например 104, удобнее приём через круглое число: $10\,000 + 800 + 16 = 10\,816$.
• Если до экзамена меньше 1 недели, учить все 90 значений поздно — достаточно чисел до 25 и приёма для пятёрок.

Чего делать нельзя

Нельзя экономить секунды за счёт проверки: ошибка в одном вычислении обнуляет всю задачу.

• Нельзя путать $(a + b)^2$ и $a^2 + b^2$: удвоенное произведение $2ab$ пропадает в половине ошибок.
• Нельзя считать, что корень из числа, оканчивающегося на 2, 3, 7 или 8, может быть целым.
• Не следует извлекать корень из суммы почленно: $\sqrt{9 + 16} = 5$, а не 7.
• Не следует терять запятую: квадрат 0,3 равен 0,09, а не 0,9.
• Не стоит считать каждое слагаемое отдельно, если разность можно разложить на множители.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько времени нужно, чтобы выучить таблицу квадратов?

Значения до 20 запоминаются за 2–3 дня, если повторять по 5 минут. На остальные числа уходит около двух недель, но многие и не учат их, а считают приёмами.

Какие значения учить в первую очередь?

От 11 до 25 — они чаще всего встречаются в задачах. Затем квадраты чисел, оканчивающихся на 5, и опорные квадраты десятков: 400, 900, 1600, 2500.

Как быстро проверить, что число — точный квадрат?

Посмотрите на последнюю цифру: 2, 3, 7, 8 исключают такой вариант сразу. Затем оцените десятки и проверьте одного-двух кандидатов по последней цифре.

Пригодится ли это на ЕГЭ профиль?

Да. Калькулятора нет и там, а такие вычисления встречаются в планиметрии, стереометрии, дискриминантах и при оценке корней в отборе.

Нужно ли учить трёхзначные значения наизусть?

Наизусть — нет. Числа вроде 101–110 считаются через формулу квадрата суммы за несколько секунд, остальные почти не встречаются.

Что делать, если сомневаюсь в вычислении на экзамене?

Проверьте двумя способами: через ближайшее круглое число и через последнюю цифру. Если результаты совпали, ошибки почти наверняка нет.