Синус, косинус и тангенс углов от 0° до 360°: как не зубрить

Таблица значений для основных углов

Основные углы — это 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, в радианах $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$. Для них синус, косинус и тангенс имеют точные значения с корнями, и именно они встречаются в задачах без калькулятора.

Обратите внимание на две вещи. Строка косинуса — это строка синуса, прочитанная справа налево. Строка котангенса — это строка тангенса в обратном порядке. Поэтому реально запоминать нужно одну строку, а остальные три получаются из неё за секунды.

Миф: «тангенс 90° равен бесконечности, так и пишут в ответ». Это неверно: при 90° косинус равен нулю, делить на ноль нельзя, и тангенс не определён. Значения «бесконечность» в школьной таблице не существует.

Правило корней: как не учить таблицу наизусть

Чтобы восстановить строку синуса, запишите под углами 0°, 30°, 45°, 60°, 90° числа $\sqrt0$, $\sqrt1$, $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt4$ и разделите каждое на 2. Получится $0$, $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt3}{2}$, $1$.

Это не магия, а удобная закономерность: подкоренное число растёт на 1 с каждым следующим углом. Косинус идёт той же лесенкой в обратную сторону, от $\sqrt4$ до $\sqrt0$. Проверить себя можно по основному тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: для 30° это $\frac14 + \frac34 = 1$, для 45° — $\frac12 + \frac12 = 1$.

Тангенс считается как отношение $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Для 30° это $\frac12 : \frac{\sqrt3}{2} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$, для 60° — $\frac{\sqrt3}{2} : \frac12 = \sqrt3$. Запомнить тангенс помогает порядок: он растёт от 0 через $\frac{\sqrt3}{3}$, 1 и $\sqrt3$, то есть значения синуса и тангенса с ростом угла от 0° до 90° увеличиваются.

Есть и «ручной» вариант того же правила. Положите левую ладонь, пальцы — это углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90° от мизинца к большому. Загните палец нужного угла: число пальцев под ним (со стороны мизинца) — подкоренное число для синуса, над ним — для косинуса, и всё делится на 2. Для 60° под загнутым пальцем 3 пальца, над ним 1, поэтому синус равен $\frac{\sqrt3}{2}$, косинус $\frac{\sqrt1}{2} = \frac12$.

Полезно знать и десятичные приближения, чтобы прикидывать ответ: $\frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}71$, $\frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87$, $\sqrt3 \approx 1{,}73$. Они помогают сравнить синус и косинус разных углов или понять, что ответ задачи «примерно 0,87» на самом деле равен $\frac{\sqrt3}{2}$. В бланк, конечно, записывают не приближение, а точное число, если оно получается целым или конечной десятичной дробью.

Ещё одна быстрая проверка — монотонность. На отрезке от 0° до 90° синус только растёт, а косинус только убывает. Если у вас вышло, что синус 60° меньше синуса 30°, ошибка в строке таблицы. Тангенс на том же отрезке тоже растёт и при 45° проходит через 1: для острых углов меньше 45° тангенс меньше 1, для углов больше 45° — больше 1. Эти неравенства из учебника Мордковича^[4] позволяют за секунду отбраковать неверное значение, даже не вспоминая всю таблицу.

Откуда берутся значения синуса и косинуса

Значения синуса и косинуса для 30°, 45° и 60° выводятся из двух треугольников: равнобедренного прямоугольного и половины равностороннего. Это доказательство из школьного курса геометрии, и его полезно уметь повторить за минуту.

Для 45° возьмите прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. По теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt2$, значит, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$, а тангенс — отношение равных катетов — равен 1.

Для 30° и 60° разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 высотой пополам. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 2, катетом 1 против угла 30° и катетом $\sqrt3$ против угла 60°. Отсюда $\sin 30^\circ = \frac12$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$, $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt3$. Учебник Атанасяна для 7–9 классов^[1] выводит эти значения именно так, и это же объясняет, почему катет против угла 30° равен половине гипотенузы. Определения через катеты подробно разобраны в материале про тригонометрию прямоугольного треугольника.

Углы от 90° до 360°: сведение к первой четверти

Чтобы найти значение для угла больше 90°, достаточно 2 шагов: определить четверть и знак функции, затем найти острый угол между лучом и осью абсцисс.

Острый угол до ближайшей горизонтальной оси даёт модуль значения. Для 150° это $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$, для 225° — $225^\circ - 180^\circ = 45^\circ$, для 300° — $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Знак берётся по четверти: синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV, тангенс — в I и III. Получаем $\sin 150^\circ = \frac12$, $\cos 225^\circ = -\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{tg} 300^\circ = -\sqrt3$.

Эту таблицу не нужно заучивать: каждая строка получается из основной таблицы и знака четверти. Учебник Колмогорова^[2] вводит функции через координаты точки на единичной окружности, и тогда сведение к первой четверти — просто симметрия точек. Как устроены четверти и радианы, объяснено в материале про тригонометрический круг и четверти, а общие правила — в статье о формулах приведения и тождествах.

Тригонометрический круг на этой странице

Тригонометрический круг вверху страницы — это проверка таблицы: нажмите кнопку угла от 0° до 330° или двигайте ползунок «Угол, градусы» от −360° до 720° с шагом 15°.

Для углов, кратных 30° и 45°, справа появляются точные значения трёх функций с корнями. Для промежуточных углов, например 15° или 75°, показаны приближённые десятичные значения — точных значений для них в школьной таблице нет. Пунктиром на рисунке отмечены проекции точки на оси: горизонтальная — косинус, вертикальная — синус.

Удобный способ тренировки: сначала назовите значение вслух или запишите, потом нажмите кнопку и сверьтесь. Попытка вспомнить без подсказки, как показало исследование Roediger и Karpicke, закрепляет материал лучше, чем многократное перечитывание готовой таблицы.

Где значения синуса нужны на ОГЭ и ЕГЭ

На ОГЭ значения синуса и косинуса острых углов нужны в задании 15 и в геометрии второй части. На профильном ЕГЭ — в заданиях 7 и 8 первой части и в уравнении задания 14.

Типичное выражение первой части профиля: найти $2\sin 30^\circ + \sqrt3 \operatorname{tg} 60^\circ$. Подставляем: $2 \cdot \frac12 + \sqrt3 \cdot \sqrt3 = 1 + 3 = 4$. Ещё пример: $\sin^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac12 + \frac14 = 0{,}75$. В бланк записывается десятичное число, поэтому корни в таких выражениях обычно сокращаются.

В задании 14 профиля по проекту спецификации ФИПИ 2027 года^[3] нужно решить тригонометрическое уравнение и отобрать корни. Без уверенного знания, что $\cos x = \frac12$ при $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, решение не начать. Поэтому таблицу полезно знать сразу в двух видах: в градусах и в радианах.

Когда таблица не поможет

Не каждый угол сводится к таблице: она покрывает только углы, кратные 30° и 45°.

• Если угол равен 15° или 75°, табличного значения нет — его находят по формулам разности или половинного угла.
• Если дано $\sin\alpha = 0{,}6$, угол не табличный, и второе значение (0,8 по модулю) ищут через основное тождество.
• Если угол задан в радианах вроде 2 или 3 без $\pi$, это не табличный угол, и точное значение найти нельзя.
• Если угол больше 360°, сначала вычтите полные обороты: $390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$, и только потом смотрите таблицу.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять памяти без проверки: перепутать значения для 30° и 60° — самая частая потеря балла в этой теме.

• Нельзя писать в ответ $\operatorname{tg} 90^\circ$ или $\operatorname{tg} 270^\circ$: такие значения не определены.
• Нельзя забывать знак: $\cos 120^\circ < 0$, хотя модуль совпадает с $\cos 60^\circ$.
• Не следует путать $\frac{\sqrt3}{3}$ и $\sqrt3$: первое — $\operatorname{tg} 30^\circ$, второе — $\operatorname{tg} 60^\circ$.
• Не следует смешивать в одном решении градусы и радианы.
• Не стоит учить таблицу до 360° наизусть: надёжнее выводить строку из первой четверти.
• Не стоит пропускать проверку тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, если значение вызывает сомнение.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[5] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Какие значения синуса нужно знать для ОГЭ?

Для 30°, 45° и 60°, а также для 0° и 90°. Тупые углы на ОГЭ встречаются реже, и их значения получаются по формулам $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.

Почему $\frac{1}{\sqrt3}$ записывают как $\frac{\sqrt3}{3}$?

Это одно и то же число, просто без корня в знаменателе. В ответе первой части корней не бывает, а в развёрнутом решении допустимы обе записи.

Чему равен $\operatorname{ctg} 45^\circ$?

Единице: это число, обратное $\operatorname{tg} 45^\circ$, а оно тоже равно 1. Для 45° все четыре строки таблицы дают простые значения.

Есть ли точное значение для угла 15°?

Есть: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$, его получают по формуле разности для 45° и 30°. В таблицу основных углов оно не входит.

Как быстро перевести угол в радианы?

Умножьте градусы на $\frac{\pi}{180}$: $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$. Обратно — умножьте на $\frac{180}{\pi}$.

Что делать, если забыл таблицу на экзамене?

Нарисуйте на черновике треугольник с углами 30°, 60°, 90° и сторонами 1, $\sqrt3$, 2 или запишите правило корней. На восстановление уйдёт меньше минуты.