Формулы тригонометрии для ЕГЭ: тождество, сложение, приведение

Основное тригонометрическое тождество и его следствия

Основное тождество — это равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, верное для любого угла. Оно следует из теоремы Пифагора для точки единичной окружности и связывает синус с косинусом одного и того же аргумента.

Если разделить тождество на $\cos^2\alpha$, получится $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$; если на $\sin^2\alpha$ — $1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. Первое равенство верно только при $\cos\alpha \ne 0$, второе — только при $\sin\alpha \ne 0$. Ещё одно следствие определений: $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$, когда обе функции определены.

Все остальные тригонометрические формулы так или иначе опираются на тождество, поэтому его стоит понимать, а не просто помнить. Отсюда же следует удобная проверка: если в черновике получилось $\sin\alpha = 0{,}8$ и $\cos\alpha = 0{,}5$, то $0{,}64 + 0{,}25 = 0{,}89 \ne 1$, и где-то допущена ошибка. Такая пара значений для одного угла не существует.

Найдите $\cos\alpha$ и $\operatorname{tg}\alpha$, если $\sin\alpha = -\frac{5}{13}$ и $\pi \lt \alpha \lt \frac{3\pi}{2}$.

По тождеству $\cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, значит, $\cos\alpha = \pm\frac{12}{13}$. Угол лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен: $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$. Тангенс — отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$. Выбор знака — обязательный шаг: формула даёт модуль, а знак определяет только четверть. Учебник Колмогорова^[1] подчёркивает, что без указания четверти задача имеет два ответа. Как найти четверть, показано на странице единичная окружность и знаки по четвертям.

Формулы приведения без зубрёжки

Формулы приведения — это 32 равенства вида $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, которые сводят функцию любого угла к функции острого угла. Учить их списком не нужно: хватает правила из двух вопросов.

Само правило — не магия, а следствие симметрии единичной окружности: поворот на $\pi$ отражает точку относительно начала координат, а поворот на $\frac{\pi}{2}$ меняет местами её координаты. Поэтому тригонометрические формулы приведения можно в любой момент восстановить по рисунку.

1. Меняется ли функция? Если в аргументе стоит $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось), функция меняется на «кофункцию»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Если $\pi$ или $2\pi$ (горизонтальная ось) — функция остаётся прежней.
2. Какой знак? Считаем $\alpha$ острым углом, определяем четверть исходного аргумента и ставим знак исходной функции в этой четверти.

Пример: $\cos(\pi - \alpha)$. Угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси — косинус остаётся косинусом. Аргумент $\pi - \alpha$ при остром $\alpha$ во второй четверти, косинус там отрицателен. Итог: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Ещё пример: $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$ — вертикальная ось, синус меняется на косинус; аргумент в четвёртой четверти, синус там отрицателен, поэтому $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha$.

В профильном задании 8 (в 2026 году — 7) формулы приведения встречаются в градусной записи. Выражение $\frac{5\cos 106^\circ}{\sin 16^\circ}$ решается в одну строку: $106^\circ = 90^\circ + 16^\circ$, поэтому $\cos 106^\circ = -\sin 16^\circ$, и дробь равна $-5$.

Миф: «формулы приведения работают только для острого $\alpha$». Неверно: равенства верны для любых $\alpha$. Острый угол — лишь мысленный приём, чтобы определить знак, а сама формула остаётся тождеством на всей области определения.

Формулы сложения

Формулы сложения — это равенства, которые выражают функцию суммы или разности двух углов через функции каждого из них. Их 6, и из них выводятся все остальные тригонометрические формулы школьного курса.

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta,$$

$$\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.$$

Обратите внимание на знак в формуле косинуса: он противоположен знаку между углами. Это самое частое место ошибки. С помощью формул сложения находят значения «неудобных» углов: $\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$. Тот же результат даёт $\sin 15^\circ$, потому что $75^\circ + 15^\circ = 90^\circ$.

Чаще на экзамене формулу сложения нужно узнать в готовом выражении и «свернуть». Например, $\sin 75^\circ\cos 15^\circ + \cos 75^\circ\sin 15^\circ = \sin 90^\circ = 1$. Формула тангенса суммы определена не всегда: при $\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta = 1$ знаменатель обращается в нуль, и тангенс суммы не существует — сумма углов равна $\frac{\pi}{2} + \pi k$.

Формулы двойного угла и понижения степени

Формулы двойного угла — это частный случай формул сложения при $\beta = \alpha$. Их три — для синуса, косинуса и тангенса, причём косинус двойного угла записывается тремя способами.

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha.$$

Какую из трёх записей косинуса выбирать, подсказывает условие: если дан синус — берите $1 - 2\sin^2\alpha$, если косинус — $2\cos^2\alpha - 1$. Пример в формате задания 8 профиля: найдите $50\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha = 0{,}6$. Решение: $\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot 0{,}36 = 0{,}28$, ответ $14$. Четверть здесь знать не нужно — синус входит в квадрате.

Найдите значение выражения $\frac{12\sin 11^\circ\cos 11^\circ}{\sin 22^\circ}$.

В числителе узнаём половину синуса двойного угла: $12\sin 11^\circ\cos 11^\circ = 6 \cdot 2\sin 11^\circ\cos 11^\circ = 6\sin 22^\circ$. Сокращаем на $\sin 22^\circ \ne 0$ и получаем $6$. Такой приём — увидеть «половину» формулы и дополнить множителем 2 — встречается в каждом втором выражении с тригонометрией.

Если выразить квадраты из формул косинуса двойного угла, получаются формулы понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$, $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. Они нужны, когда степень мешает: например, $\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2} = \frac{2 + \sqrt3}{4}$. Выкладки проверены по учебнику Колмогорова^[1], где все формулы выводятся из формулы косинуса разности.

Какие тригонометрические формулы спрашивают на ЕГЭ

На ЕГЭ тригонометрия встречается минимум в 4 заданиях, и в каждом нужен свой набор формул. Таблица поможет решить, что повторять в первую очередь.

Нумерация дана по проекту спецификации профильного уровня ФИПИ 2027 года^[2], где задания 7–8 и 14 сохранили содержание и лишь сдвинулись на одну позицию. Полный список того, что выпускник должен помнить сам, собран в материале формулы для профильного ЕГЭ, которые не выдают. Разбор уравнений второй части — в статье тригонометрические уравнения с отбором корней.

Миф: «тригонометрические формулы для ЕГЭ — это 50 равенств наизусть». Не подтверждается: достаточно тождества, формул сложения и правила приведения, а двойной угол и понижение степени выводятся из них за полминуты. Учебник Мордковича^[3] строит раздел именно так.

Как проверить формулу на тригонометрическом круге

Если вы сомневаетесь в знаке или в форме записи, подставьте конкретный угол: интерактивный круг вверху страницы показывает точные значения sin, cos и tg для 13 стандартных углов — 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 270°, 300°, 330°.

Проверим $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ при $\alpha = 60^\circ$. Кнопка «60°» показывает $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$ и $\cos 60^\circ = \frac12$, значит, правая часть равна $\frac{\sqrt3}{2}$. Кнопка «120°» даёт $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$ — совпало. Так же проверяется формула приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$: сравните значения на кнопках «30°» и «210°».

Ползунок «Угол, градусы» с шагом 15° от −360° до 720° помогает и с отрицательными углами: поставьте −30° и убедитесь, что косинус равен $\frac{\sqrt3}{2}$, как у 30°. Одна подстановка не доказывает формулу, но мгновенно ловит перепутанный знак — а большего на экзамене и не нужно.

Когда заучивание формул не поможет

Не каждая трудность в тригонометрии решается ещё одной формулой: иногда проблема в алгебре или в непонимании круга.

• Если вы путаете знаки синуса и косинуса во 2-й и 3-й четвертях, никакая формула приведения не сработает — сначала нужен круг.
• Если после замены $t = \sin x$ не получается решить квадратное уравнение, проблема в алгебре 8 класса, а не в тригонометрии.
• Если до экзамена меньше 3 недель, учить формулы суммы синусов и произведений нет смысла: на ЕГЭ их почти всегда можно обойти.
• Если угол нестандартный, например 1 радиан, формулы не дадут точного числа — ответ остаётся выражением.

Чего делать нельзя

Не стоит терять баллы на мелочах: у тригонометрии 5–6 классических ловушек, и все они касаются знака или области определения.

• Нельзя писать $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ без проверки четверти: знак может быть минус.
• Нельзя раскрывать $\sin(\alpha + \beta)$ как $\sin\alpha + \sin\beta$ — синус не линейная функция.
• Не следует путать знак в формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta)$ содержит минус.
• Не следует сокращать на $\sin x$ или $\cos x$ в уравнении, не проверив, что они не равны нулю.
• Не стоит применять формулы с тангенсом там, где тангенс не определён, — при $\cos\alpha = 0$.
• Не стоит выписывать из памяти формулу, в которой сомневаетесь: проверьте её подстановкой $\alpha = 30^\circ$.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Какие тригонометрические формулы выучить в первую очередь?

Основное тождество, правило приведения и синус двойного угла. Этих трёх хватает для большинства выражений базы и первой части профиля.

Как запомнить, когда синус меняется на косинус?

Смотрите на ось: $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ лежат на вертикальной оси — функция меняется; $\pi$ и $2\pi$ на горизонтальной — остаётся. Многие запоминают это как «киваем головой вверх-вниз — меняем».

Нужно ли знать формулы суммы синусов?

Для первой части — нет. В уравнениях второй части они иногда сокращают решение, но почти всегда есть путь через двойной угол и вынесение множителя.

Работают ли формулы в градусах?

Да, формулы не зависят от единицы измерения. Важно лишь не смешивать градусы и радианы в одном выражении.

Почему cos 2α записывают тремя способами?

Потому что $\sin^2\alpha$ и $\cos^2\alpha$ связаны тождеством, и одну из них всегда можно выразить через другую. Удобна та запись, где остаётся одна функция.

Можно ли вывести забытую формулу на экзамене?

Да: двойной угол получается из формулы сложения при $\beta = \alpha$, понижение степени — из косинуса двойного угла. На вывод уходит меньше минуты.