Как решать тригонометрические уравнения второй части и отбирать корни

Простейшие тригонометрические уравнения: формулы, к которым всё сводится

Любое уравнение второй части в итоге распадается на 1–3 простейших, поэтому формулы для них нужно знать без подглядывания. Если число $a$ по модулю больше 1, простейшие уравнения с синусом и косинусом корней не имеют, а тангенс принимает любые значения.

Для синуса удобнее писать две серии, а не одну формулу с множителем $(-1)^k$: при отборе корней на отрезке каждая серия проверяется отдельно, и запутаться в чётных и нечётных $k$ уже не получится. Частные случаи стоит запомнить отдельно: их серии короче, и в них реже ошибаются. Вывод всех этих формул дан в учебнике Колмогорова^[1], а на экзамене их достаточно применять без доказательства. Значения арксинуса и арккосинуса для табличных чисел берутся с единичной окружности — это та же картинка, на которой потом удобно отбирать корни.

Миф: «формулу $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$ обязательно писать именно так, иначе снимут балл». Это неверно: запись двумя сериями равносильна, её используют учебники, и критерии оценивания ФИПИ не требуют конкретной формы общего решения.

Какие тригонометрические уравнения встречаются во второй части

В задании 14 профильного экзамена (в 2026 году — № 13) встречаются 4 основных типа: сводящиеся к квадратному, однородные, решаемые разложением на множители и уравнения с ограничениями — дробью, тангенсом или корнем. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года за такую задачу дают до 2 баллов^[2].

• Квадратные относительно функции. Есть $\sin^2 x$ и $\cos x$ или $\cos 2x$ и $\sin x$. Всё переводят в одну функцию через $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ или формулы двойного угла, затем делают замену.
• Однородные. Каждое слагаемое имеет одинаковую суммарную степень по синусу и косинусу: $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$. Делят на $\cos^2 x$, предварительно доказав, что $\cos x \ne 0$.
• Разложение на множители. Видно общий множитель: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ рядом с $\cos x$. Выносят его за скобку, и уравнение распадается на два простейших, у каждого своя серия.
• С ограничениями. Дробь, тангенс, котангенс, логарифм или корень от тригонометрической функции. Сначала записывают условия, а в конце выкидывают серии, которые им не удовлетворяют.

Тригонометрические уравнения других видов — с модулем, с параметром — в задании 14 почти не встречаются: они уходят в задачу с параметром. Тип полезно определить сразу, ещё до преобразований: от него зависит, сколько получится серий и каким будет отбор корней. Демоверсия ФИПИ^[3] показывает уравнение первого или третьего типа, но в сборниках типовых вариантов встречаются все четыре. Если формулы двойного угла и приведения подзабылись, сначала повторите основные тригонометрические формулы: без них ни одно из этих уравнений не сводится к простейшим.

Разбор 1: замена переменной и отбор двойным неравенством

Если в уравнении есть квадрат одной функции и первая степень другой, почти всегда работает основное тригонометрическое тождество и замена. Отбор здесь удобно сделать двойным неравенством относительно $k$.

а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Заменяем $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2 - 2\sin^2 x + 5\sin x - 4 = 0$, то есть $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$. Пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$. Корни квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$ — $t = \frac12$ и $t = 2$. Значение $t = 2$ не подходит: синус не может быть больше 1.

Остаётся $\sin x = \frac12$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это ответ пункта а).

Для пункта б) решаем двойное неравенство для первой серии: $-4\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le -\frac{5\pi}{2}$. Делим всё на $\pi$ и вычитаем $\frac16$: $-\frac{25}{6} \le 2k \le -\frac{8}{3}$, откуда $-\frac{25}{12} \le k \le -\frac{4}{3}$. Единственное целое $k = -2$, корень $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$.

Для второй серии: $-4\pi \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le -\frac{5\pi}{2}$, то есть $-\frac{29}{12} \le k \le -\frac{5}{3}$. Снова $k = -2$ и $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$. Ответ пункта б): $-\frac{23\pi}{6}$, $-\frac{19\pi}{6}$.

Плюс такого отбора корней в том, что оно не требует рисунка и проверяется любым экспертом построчно. Минус — дробные вычисления: ошибка в знаке при делении даёт лишний или потерянный корень, поэтому после отбора полезно оценить, лежит ли каждое найденное число между концами отрезка.

Разбор 2: однородное уравнение и отбор по кругу

Однородное уравнение второй степени — это уравнение, где каждое слагаемое содержит $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$ или $\cos^2 x$. После деления на $\cos^2 x$ оно становится квадратным относительно тангенса.

а) Решите уравнение $\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Сначала проверяем, можно ли делить. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$, и левая часть равна 1, а не 0. Значит, корни уравнения не обращают косинус в ноль, и деление на $\cos^2 x$ не теряет решений. Получаем $\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 = 0$, откуда $\operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = -2$.

Ответ пункта а): $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Для отбора рисуем окружность и отмечаем дугу от $\pi$ до $\frac{5\pi}{2}$: она начинается в левой точке, проходит через нижнюю и правую и заканчивается в верхней; её длина $\frac{3\pi}{2}$, то есть три четверти окружности. Серия $\frac{\pi}{4} + \pi k$ — две диаметрально противоположные точки; на дуге лежат $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{9\pi}{4}$. Число $\operatorname{arctg} 2$ лежит между $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{2}$: по теореме о монотонности тангенс на этом промежутке возрастает, а $1 < 2$. Поэтому точка $-\operatorname{arctg} 2 + \pi k$ находится в четвёртой и во второй четверти; на нашей дуге — только $2\pi - \operatorname{arctg} 2$.

Ответ пункта б): $\frac{5\pi}{4}$, $2\pi - \operatorname{arctg} 2$, $\frac{9\pi}{4}$. Обратите внимание: корень с арктангенсом не нужно приближать десятичной дробью, достаточно обосновать его положение неравенством.

Не путать: этот текст — о самих уравнениях и отборе. Как устроены баллы за задание и что пишут в бланке, разобрано на странице задание 14 профильного ЕГЭ.

Разбор 3: дробь, ограничения и отбор перебором

Если уравнение содержит дробь, корни числителя обязательно сверяют с условием «знаменатель не равен нулю»: часть серий при этом выпадает. Отбор здесь удобно сделать третьим способом — перебором значений $k$.

а) Решите уравнение $\dfrac{2\sin^2 x - \sin x}{2\cos x - \sqrt{3}} = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Дробь равна нулю, только если числитель равен нулю, а знаменатель при этом определён и не равен нулю. Числитель: $\sin x (2\sin x - 1) = 0$, то есть $\sin x = 0$ или $\sin x = \frac12$. Условие: $\cos x \ne \frac{\sqrt3}{2}$, то есть $x \ne \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Решения $x = \pi k$ условию удовлетворяют: в этих точках косинус равен $\pm 1$. Серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ целиком выпадает — в ней $\cos x = \frac{\sqrt3}{2}$, знаменатель обнуляется. Решения $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ остаются, там косинус отрицательный. Ответ пункта а): $x = \pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Перебор для пункта б): в наборе $\pi k$ при $k = 0$ получаем 0 — меньше $\frac{\pi}{2}$; при $k = 1$ и $k = 2$ — $\pi$ и $2\pi$, подходят; при $k = 3$ — $3\pi$, больше $2\pi$. Из $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ подходит только $k = 0$. Ответ: $\frac{5\pi}{6}$, $\pi$, $2\pi$. Перебор надёжен, когда отрезок короткий — не длиннее двух-трёх оборотов, — и значения $k$ выписаны явно, а не «по смыслу».

Миф: «выбор корней по кругу эксперты не засчитывают, нужен только алгебраический способ». Такого правила не существует: допустим любой обоснованный способ. Но рисунок должен содержать отрезок, его концы и подписанные точки — голая фраза «по окружности видно» обоснованием не считается.

Как пользоваться тренажёром «Тригонометрический круг»

Тренажёр вверху страницы — это единичная окружность с ползунком «Угол, градусы» от −360° до 720° с шагом 15° и кнопками стандартных углов. Для каждого угла он показывает радианную меру, синус, косинус и тангенс.

Для работы с отрезком используйте его так. Переведите концы отрезка в градусы: например, $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ — это от 180° до 450°. Двигайте ползунок от левого конца к правому и останавливайтесь на углах серий: в разборе 2 это 225° и 405°. Так вы увидите, что точка 405° совпадает с 45°, но лежит уже на втором обороте, — именно это и означает «корень принадлежит отрезку».

Табличные значения на панели помогают и в пункте а), когда тригонометрические уравнения сведены к простейшим: найдя угол, где синус равен $\frac12$, а косинус отрицателен, вы получите 150°, то есть $\frac{5\pi}{6}$. Диапазон ползунка покрывает отрезки длиной до трёх оборотов, а в задании 14 отрезок обычно не длиннее двух. Нетабличные углы вроде $\operatorname{arctg} 2$ тренажёр не покажет точно — их положение доказывают неравенством, как в разборе 2. Отдельная страница с тем же инструментом — интерактивный тригонометрический круг.

Как проверить корни до записи ответа

Чтобы не потерять баллы, после пункта б) потратьте 2–3 минуты на проверку: подставьте по одному корню из каждой группы решений в исходное уравнение и сравните найденные числа с концами отрезка.

1. Подстановка. Для разбора 1 при $x = \frac{\pi}{6}$: $2 \cdot \frac34 + 5 \cdot \frac12 - 4 = 0$ — верно. Для $x = \frac{5\pi}{6}$ косинус меняет знак, но в квадрате это не важно, равенство сохраняется.
2. Ограничения. Если было условие на знаменатель или тангенс, ещё раз проверьте, что ни одна из оставленных формул его не нарушает.
3. Границы. Переведите корни в доли $\pi$ и сравните: $-\frac{23}{6} \approx -3{,}83$ лежит между $-4$ и $-2{,}5$. Такая прикидка ловит ошибку в знаке.
4. Количество. На отрезке длиной $2\pi$ формула с периодом $2\pi$ даёт 1 или 2 корня, с периодом $\pi$ — 2 или 3. Если получилось больше, ищите ошибку.

Этот приём перекликается с советом Д. Пойа из книги «Как решать задачу»: посмотреть назад и проверить результат другим путём^[4]. В тригонометрии второй путь — это как раз сверка двойного неравенства с кругом.

Когда окружность не подходит

Круг удобен, но не универсален: в некоторых ситуациях он даёт больше путаницы, чем пользы, и надёжнее перейти к неравенству или перебору.

• Если отрезок длиннее 2 оборотов, например $[-3\pi; 2\pi]$, точки на окружности накладываются, и легко посчитать корень дважды или пропустить.
• Если период решений $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{2\pi}{3}$, на круге оказывается 4 и больше точек, и подписи сливаются — двойное неравенство здесь короче.
• Если в ответе есть нетабличный угол вроде $\arccos \frac13$, его место на окружности всё равно придётся доказывать 1–2 неравенствами.
• Если вы ни разу не тренировали рисунок за 5 минут, на экзамене не стоит начинать с него: выберите способ, отработанный на 10–15 задачах.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на мелочах: в задании 14 почти все снижения связаны не с формулами, а с неаккуратным переходом: критерии оценивания ФИПИ требуют обоснования каждого шага.

• Нельзя делить уравнение на $\cos x$ или $\sin x$, не проверив, что они не обращаются в ноль на корнях: так пропадает целая группа решений.
• Нельзя оставлять значение замены вне отрезка $[-1; 1]$ для синуса и косинуса — уравнение $\sin x = 2$ решений не имеет.
• Не следует сокращать дробь на выражение с переменной, не записав условие, что оно не равно нулю.
• Не следует записывать решения без $k \in \mathbb{Z}$ и смешивать в одной записи градусы и радианы.
• Не стоит склеивать два ответа в одну формулу, если не уверены в её правильности: две корректные записи лучше одной ошибочной.
• Не допускается заменять обоснование выбора корней десятичными приближениями, полученными «в уме»: сравнение должно быть доказано.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

[5] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Каким способом выбирать корни на экзамене?

Тот, который вы отработали. Двойное неравенство формальнее и проще проверяется, круг быстрее при коротком отрезке, перебор удобен при одной-двух формулах. Учебники для 10–11 классов разбирают все три подхода.

Нужно ли писать ОДЗ, если в уравнении только синус и косинус?

Нет, если нет знаменателей, тангенсов и корней: синус и косинус определены при любом $x$. Ограничение $|t| \le 1$ при замене при этом указывать нужно.

Можно ли записать ответ через арксинус, если угол нетабличный?

Да, ответ вида $\pi - \arcsin \frac13 + 2\pi k$ полностью корректен. Десятичное приближение вместо него, наоборот, считается неточным ответом.

Что делать, если решения повторяются?

Например, $x = \pi k$ и $x = 2\pi k$: вторая формула содержится в первой. В ответе можно оставить только $x = \pi k$, но и запись обеих ошибкой не будет — важно не посчитать один корень на отрезке дважды.

Сколько задач нужно решить для уверенности?

Ориентир — по 5–7 уравнений каждого из четырёх типов с полным оформлением. Решать лучше с интервалами в несколько дней, а не все за один вечер^[5]: так приёмы запоминаются дольше.

Встречаются ли тригонометрические уравнения в первой части?

Простейшие — да, в задании 7 бывает уравнение вида $\cos \frac{\pi x}{3} = \frac12$ с выбором наибольшего отрицательного корня. Но там нужен только ответ, без оформления и без работы с отрезком.