Уравнение с отбором корней в профильном ЕГЭ: решение и оформление

Что проверяет задание 14 и как оценивается

Задание 14 — это первая задача второй части: тригонометрическое, логарифмическое или показательное уравнение, часто с заменой переменной. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года максимальный балл за него — 2^[1].

Критерии оценивания устроены просто. Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах — 2 балла. Верно решён только пункт а) или в пункте б) допущена вычислительная ошибка при верном подходе к отбору — 1 балл. Ответ без решения не засчитывается вовсе, даже если он правильный: эксперт оценивает ход решения, а не число в конце.

Демоверсия ФИПИ^[3] показывает образец такой задачи, и формат держится уже несколько лет: два пункта, общий ответ, отбор на конкретном отрезке. Поэтому для тренировки подходят и задачи прошлых лет, и сборники типовых вариантов.

Главное отличие от уравнений первой части в том, что здесь нельзя «угадать» корень. Нужно показать, откуда взялась каждая серия решений и почему одни корни попали в отрезок, а другие нет. Простые уравнения с кратким ответом разобраны отдельно — в задании 7.

Пункт а): как решать уравнение

Чтобы решить пункт а), почти всегда достаточно трёх шагов: привести уравнение к одной функции, сделать замену и вернуться к исходной переменной. Разберём на примере, близком к экзаменационному.

а) Решите уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Заменяем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ по основному тригонометрическому тождеству: $2 - 2\cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0$, то есть $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$. Замена $t = \cos x$ даёт квадратное уравнение $2t^2 - 3t + 1 = 0$ с корнями $t = 1$ и $t = \frac12$. Оба значения лежат в отрезке $[-1; 1]$, поэтому подходят.

Возвращаемся к $x$: из $\cos x = 1$ получаем $x = 2\pi k$, из $\cos x = \frac12$ — $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это и есть ответ пункта а): три серии решений. Серию $x = 2\pi k$ нельзя «спрятать» внутрь других: корни уравнения $\cos x = 1$ не совпадают с корнями уравнения $\cos x = \frac12$, и каждая серия записывается отдельно. Полезная самопроверка — подставить по одному корню из каждой серии в исходное уравнение: при $x = 0$ получаем $0 + 3 - 3 = 0$, при $x = \frac{\pi}{3}$ — $2 \cdot \frac34 + \frac32 - 3 = 0$. Обе подстановки сходятся, значит, корни найдены верно. Если формулы тригонометрии забылись, повторите основные тригонометрические формулы — без них задание 14 не решить.

Миф: «в пункте а) можно записать корни только в градусах, эксперт поймёт». Это неверно: общее решение записывают в радианах с параметром $k \in \mathbb{Z}$. Градусы допустимы в черновике, но серия вида $60^\circ + 360^\circ k$ в ответе может стоить балла.

Пункт б): отбор корней на отрезке

Отбор корней — это проверка, какие решения из найденных серий попадают в заданный отрезок. Есть 3 законных способа: тригонометрическая окружность, двойное неравенство относительно $k$ и перебор значений $k$.

Для нашего примера отрезок $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ имеет длину $\frac{3\pi}{2}$. Удобнее всего двойное неравенство. Для серии $x = 2\pi k$: $-\frac{5\pi}{2} \le 2\pi k \le -\pi$, откуда $-\frac54 \le k \le -\frac12$, то есть $k = -1$ и $x = -2\pi$. Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ подходит $k = -1$: $x = -\frac{5\pi}{3}$. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ подходит $k = -1$: $x = -\frac{7\pi}{3}$.

Ответ пункта б): $-\frac{7\pi}{3}$, $-2\pi$, $-\frac{5\pi}{3}$. Проверить себя помогает интерактивный тригонометрический круг: отметьте отрезок дугой и убедитесь, что на ней ровно 3 точки из серий.

Не путать: отбор с помощью окружности засчитывается, только если на рисунке видны отрезок, начало и конец дуги и подписаны найденные точки. Просто «по кругу видно» без рисунка — не обоснование. Подробнее приём разобран в материале тригонометрические уравнения с отбором корней.

Логарифмические и показательные уравнения в задании 14

Если в задании 14 попалось логарифмическое или показательное уравнение, схема та же — замена и возврат, — но добавляется обязательная проверка ограничений: $a^x > 0$ и аргумент логарифма больше нуля.

В показательном уравнении после замены $t = 2^x$ отрицательные корни квадратного уравнения отбрасываются с пояснением «$t > 0$». В логарифмическом уравнении область определения выписывают до решения, а в конце проверяют каждый корень. Пропуск этой проверки — самая дорогая ошибка: посторонний корень в ответе обнуляет пункт.

Учебник Мордковича для 10–11 классов^[5] рекомендует записывать ограничения в самом начале решения — тогда проверка в конце занимает одну строку. Например, для уравнения $\log_3(x + 1) + \log_3(x - 1) = 1$ условие $x > 1$ сразу отсекает корень $x = -2$ квадратного уравнения $x^2 - 1 = 3$, и в ответе остаётся только $x = 2$. Именно такой короткой строки проверки и ждут критерии оценивания ФИПИ.

Отбор корней для показательных и логарифмических уравнений обычно проще: корней конечное число, и их сравнивают с концами отрезка напрямую. Сложность в другом — доказать сравнение без калькулятора, например что $\log_2 5$ лежит между 2 и 3, потому что $4 < 5 < 8$. Отдельно эти типы разобраны в статьях про логарифмические уравнения и показательные.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 7 уравнений в формате задания 14, где ответ сведён к одному числу: количеству корней на отрезке, сумме корней или большему корню. Так можно проверить и пункт а), и отбор.

Решайте сначала на бумаге с полным оформлением, как на экзамене, и только потом вводите число. Кнопка «Решение» показывает ход решения; если ваш путь другой, но ответ совпал — это нормально, критерии допускают любой обоснованный способ.

Когда задание 14 не подходит для старта

Не каждому выпускнику задание 14 приносит баллы быстрее всего — иногда выгоднее сначала закрыть другие номера.

• Если в первой части стабильно решено меньше 9 заданий из 13, каждая минута на задание 14 стоит дороже, чем на первую часть.
• Если до экзамена меньше 4 недель, а тригонометрия не изучена, за это время уверенно освоить формулы и отбор не выйдет.
• Если на решение уходит больше 25 минут, лучше перейти к неравенству в задании 16 и вернуться позже.
• Если цель — 70 баллов и меньше, хватает первой части и 1–2 заданий второй, и задание 14 — лишь один из вариантов.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать верное решение в 0 баллов из-за оформления: эксперты оценивают каждый переход.

• Нельзя делить обе части на $\cos x$ или $\sin x$, не проверив, что они не равны нулю: так теряется серия корней.
• Нельзя писать ответ пункта б) без отбора: перечислить корни «по памяти» — не обоснование.
• Не следует забывать $k \in \mathbb{Z}$ после каждой серии решений.
• Не следует пропускать проверку области определения в логарифмическом уравнении.
• Не стоит оставлять в бланке два противоречащих решения: эксперт оценит худшее.
• Не допускается использовать калькулятор для сравнения корней с концами отрезка — сравнения нужно обосновать.

Как оформить решение на 2 балла

Решение задания 14 записывается в бланк ответов № 2 по пунктам: сначала «а)», затем «б)», в конце — строка «Ответ:» с ответами обоих пунктов. Объём — обычно 10–15 строк.

1. Преобразование. Запишите формулу, которой пользуетесь, хотя бы один раз: «$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$».
2. Замена. Укажите новую переменную и её ограничения: «$t = \cos x$, $|t| \le 1$».
3. Возврат. Каждую серию запишите отдельно с $k \in \mathbb{Z}$.
4. Отбор. Неравенство, рисунок окружности или перебор — с явными вычислениями.
5. Ответ. «а) …; б) …» — в том же порядке, что и в условии.

Учебники алгебры старших классов, например Колмогорова^[2], дают тот же порядок записи — его эксперты и ожидают увидеть. Полный список приёмов оформления второй части есть в материале как оформлять задания с развёрнутым ответом.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[5] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Это то же самое, что задание 13 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года в первую часть добавили новые задания, и уравнение с развёрнутым ответом сдвинулось с 13-го места на 14-е. Тип задачи и 2 балла сохранились, поэтому разборы прошлых лет полностью подходят.

Можно ли получить балл только за пункт а)?

Да, обоснованно решённый пункт а) оценивается в 1 балл. Многие выпускники именно так и делают: решают уравнение, а отбор пропускают, если не хватает времени.

Какой способ отбора корней надёжнее?

Двойное неравенство относительно $k$ — самый формальный и легко проверяемый способ. Окружность быстрее, но требует аккуратного рисунка с подписями.

Нужно ли писать ОДЗ в тригонометрическом уравнении?

Если в уравнении есть тангенс, котангенс, дробь или логарифм — да. Если только синусы и косинусы без знаменателей, ограничений нет и ОДЗ можно не выписывать.

Сколько времени тратить на задание 14?

Ориентир — 15–20 минут вместе с оформлением. Если за 25 минут решение не сложилось, переходите к следующим задачам и возвращайтесь в конце.

Засчитают ли ответ в градусах в пункте б)?

Отдельные корни в градусах обычно не считаются ошибкой, если решение обосновано, но безопаснее писать в радианах, как в условии. Смешивать градусы и радианы в одном ответе не стоит.