Новая задача на математическое моделирование: как решать

Что такое задание 17 и почему оно новое

Задание 17 — это задача на математическое моделирование реальной ситуации с развёрнутым ответом. В «Планируемых изменениях в КИМ ЕГЭ 2027 года» ФИПИ оно названо среди новых, вместе с заданиями 6 и 13^[1].

Из-за нового номера сместилась нумерация второй части. Планиметрия, которая в 2026 году стояла под номером 17, по проекту стала заданием 18, а общее число заданий выросло с 19 до 20, максимальный первичный балл — с 32 до 33. Финансовая задача про кредиты и вклады в проекте перенесена в первую часть с кратким ответом, отдельное задание на наибольшее и наименьшее значение функции убрано. Сводку всех перестановок смотрите в материале изменения ЕГЭ профиль по проекту 2027 года.

Слово «моделирование» пугает только непривычностью. По сути, модель — это формула, уравнение или неравенство, которое описывает ситуацию из жизни: площадь участка, объём коробки, выручку, путь мяча. Строить такие модели школьники учатся с текстовых задач 5–6 класса, а исследовать их — в курсе алгебры и начал анализа.

Образец задачи приведён в проекте демоверсии ФИПИ^[2], и его стоит открыть в первую очередь: формат может уточниться к итоговой версии. Ниже — собственные задачи на тот же навык, а не копии экзаменационных; документы на 2027 год пока имеют статус проекта.

Цикл моделирования: 4 шага

Любая задача на моделирование решается за 4 шага: ввести переменную, записать модель, исследовать её и перевести результат обратно на язык условия. Пропуск любого шага — частая причина потери балла.

Шаги 1 и 4 кажутся формальностью, но именно они отличают модель от упражнения на производную. Реальная величина не может быть отрицательной, число билетов — дробным, а скорость — больше разрешённой. Модель без таких ограничений неполна, и вывод из неё может оказаться неверным.

Пример 1: площадь участка у стены

Если модель получилась квадратичной функцией, наибольшее значение ищут через вершину параболы — производная не нужна. Это самый короткий тип задачи на моделирование.

Прямоугольный участок одной стороной примыкает к стене дома. Для трёх других сторон есть 60 м сетки. Какие размеры участка дают наибольшую площадь и чему она равна?

Переменная: $x$ — длина стороны, перпендикулярной стене, в метрах. Тогда сторона, параллельная стене, равна $60 - 2x$. Обе длины положительны, поэтому $0 < x < 30$. Модель: $S(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x$.

Исследование: график $S(x)$ — парабола с ветвями вниз, вершина в точке $x_0 = \frac{60}{4} = 15$, и она лежит внутри промежутка $(0; 30)$. Значит, наибольшее значение достигается при $x = 15$: $S(15) = 15\cdot 30 = 450$.

Интерпретация: участок $15 \times 30$ м, длинная сторона вдоль стены, площадь 450 м². Полезно сравнить с «наивным» квадратом $20 \times 20$ м: его площадь всего 400 м², так что модель дала выигрыш, который без расчёта не очевиден. Свойства параболы и формула вершины повторяются в материале квадратичная функция и парабола.

Миф: «задание 17 — это та же экономическая задача про кредит, только под новым номером». Это неверно: по проекту ФИПИ финансовые задачи перенесены в задание 13 с кратким ответом, а задание 17 описано как моделирование реальной ситуации в целом.

Пример 2: коробка из листа и производная

Если модель — многочлен третьей степени или дробь, наибольшее значение находят с помощью производной: нули производной, знаки на интервалах, вывод о наибольшем значении.

Из квадратного листа картона со стороной 30 см по углам вырезают одинаковые квадраты и загибают края — получается открытая коробка. Какой должна быть сторона выреза, чтобы объём коробки был наибольшим?

Переменная: $x$ — сторона выреза в сантиметрах, $0 < x < 15$, иначе дна не останется. Дно — квадрат со стороной $30 - 2x$, высота — $x$. Модель: $V(x) = x(30 - 2x)^2$.

Исследование: $V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$. На промежутке $(0; 15)$ производная обращается в нуль только при $x = 5$: левее $V' > 0$, правее $V' < 0$. Это точка экстремума, в ней объём наибольший: $V(5) = 5\cdot 20^2 = 2000$ см³.

Интерпретация: вырез 5 см, коробка $20 \times 20 \times 5$ см, объём 2 литра. Проверка здравым смыслом: при вырезе 4 см объём $4\cdot 22^2 = 1936$, при 6 см — $6\cdot 18^2 = 1944$, оба меньше 2000. Как исследовать функцию на промежутке, подробно объяснено в материале экстремумы и наибольшее значение функции.

Пример 3: цена и выручка в целых числах

Если переменная по смыслу целая — число билетов, повышений цены, рейсов, — вершина параболы может оказаться дробной. Тогда ответ ищут среди ближайших целых значений и сравнивают их.

Кафе продаёт 200 обедов в день по 150 рублей. Наблюдения показали: каждое повышение цены на 10 рублей уменьшает продажи на 8 обедов. Какую цену назначить, чтобы выручка была наибольшей?

Переменная: $n$ — число повышений, целое, $0 \le n \le 25$ (при $n = 25$ продажи падают до нуля). Модель: $R(n) = (150 + 10n)(200 - 8n) = 30000 + 800n - 80n^2$. Вершина параболы: $n_0 = \frac{800}{160} = 5$ — целое число, поэтому сравнивать соседей не нужно.

Интерпретация: цена $150 + 50 = 200$ рублей, продаётся 160 обедов, выручка $R(5) = 32000$ рублей против 30000 при исходной цене. Важная оговорка, которую стоит записать в решении: зависимость верна только в пределах наблюдений, и за её границами — например, при цене 400 рублей — выводы не подтверждаются.

Не путать: в задаче о театре из блока «Задачи с проверкой» вершина равна 3,5, и там нужно сравнить $n = 3$ и $n = 4$. Ответ «3,5 повышения» не имеет смысла и засчитан быть не может.

Как будет оцениваться задание 17

Критерии оценивания ФИПИ для задания 17 сформулированы в проекте демоверсии; общий принцип тот же, что и в других задачах части 2: полное обоснованное решение с верным ответом — 2 балла, частичные продвижения — меньше.

Своими словами: эксперту важно видеть, как построена модель, почему выбранная точка даёт наибольшее или наименьшее значение и как результат переведён в ответ на вопрос. Верное число без построения модели баллов не приносит. Что именно считается частичным продвижением, сказано в критериях проекта^[2], и формулировки могут уточниться в итоговой версии документов, поэтому перед экзаменом их стоит перечитать.

1. Обозначение. «Пусть $x$ см — сторона выреза, $0 < x < 15$».
2. Формула. Выражение искомой величины с пояснением, откуда взялся каждый множитель.
3. Исследование. Вершина параболы или производная со знаками на интервалах.
4. Ответ. Полное предложение в единицах условия: «вырез 5 см, объём 2000 см³».

Общие правила записи развёрнутых решений — в материале как оформлять вторую часть.

Как проверить составленную формулу

Проверка формулы — это 3 быстрых теста: крайние значения, размерность и правдоподобие ответа. На них уходит 2–3 минуты, а ошибка в самой формуле обнуляет всё решение.

• Крайние значения. При $x \to 0$ и на правой границе площадь или объём должны обращаться в нуль, если по смыслу фигура вырождается.
• Размерность. Площадь — произведение двух длин, объём — трёх; лишняя или недостающая степень выдаёт ошибку.
• Правдоподобие. Скорость грузовика 300 км/ч или отрицательная выручка — сигнал пересмотреть расчёт.
• Соседние точки. Значения слева и справа от найденной точки должны быть хуже — это подтверждает экстремум.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы 7 задач на моделирование: участки, коробки, цены, движение, тарифы. Ответ — одно число, которое вводится в поле «Ответ».

Оформляйте решение на бумаге по четырём шагам, затем вводите ответ и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» покажет составленную формулу и исследование, «Следующая задача →» откроет новую ситуацию. Если ответ не сошёлся, начните поиск ошибки с шага 2: чаще всего неверна сама формула, а не вычисления.

Кому новое задание не подходит на старте

Не всем выгодно начинать подготовку части 2 именно с нового номера, хотя он и стоит 2 балла.

• Если в первой части решается меньше 9 заданий из 13, начните с них.
• Если производная ещё не пройдена, а до экзамена меньше 4 недель, ограничьтесь задачами с параболой.
• Если текстовые задачи в задании 11 решаются меньше чем в 3 случаях из 5, сначала потренируйте составление уравнений там.
• Если на одну задачу уходит больше 25 минут, отложите её и вернитесь после других номеров.

Чего делать нельзя

Нельзя ограничиться формулой и числом: в развёрнутом ответе ценится путь от условия к выводу.

• Нельзя вводить переменную без единиц измерения и допустимых границ.
• Нельзя объявлять нуль производной точкой наибольшего значения, не проверив смену знака.
• Не следует давать дробный ответ там, где величина по смыслу целая.
• Не следует отвечать значением переменной, если спрашивали площадь, цену или объём.
• Не стоит переносить вывод модели за пределы условия: она описывает ситуацию лишь при заданных ограничениях.
• Не допускается перебор на калькуляторе — он запрещён, вычисления нужно вести вручную.

Источники

[1] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

Вопросы и ответы

Какому номеру 2026 года соответствует задание 17?

Никакому: по проекту ФИПИ это новое задание. Под номером 17 в 2026 году стояла планиметрия, которая теперь стала заданием 18.

Есть ли официальные материалы для подготовки?

Да, образец есть в проекте демоверсии, а описание — в проекте спецификации ФИПИ^[3]. Готовых сборников прошлых лет по этому номеру не существует, поэтому тренируются на задачах с моделями из алгебры и начал анализа.

Нужно ли знать производную?

Желательно. Часть моделей сводится к параболе, где хватает формулы вершины, но для многочленов третьей степени и дробей без производной не обойтись.

Сколько времени закладывать?

Ориентир — 15–25 минут вместе с записью. Задача короче стереометрии, но требует аккуратных пояснений на каждом шаге.

С чего начать, если условие длинное?

С вопроса: что ищем и в каких единицах. Совет Пойа^[4] — сначала понять, что неизвестно и что дано, — работает здесь буквально: выпишите известные числа и одну неизвестную величину.

Можно ли решать подбором?

Подбор помогает проверить ответ, но заменить исследование модели не может. Таблица из нескольких значений не доказывает, что найденное — наибольшее.