Задача с параметром на 4 балла: графический и аналитический путь

Что проверяет задание 19 и сколько оно стоит

Задание 19 — это одна из двух самых дорогих задач варианта: по проекту спецификации ФИПИ 2027 года за неё ставят до 4 первичных баллов^[1], столько же, сколько за задачу о числах в задании 20.

В проекте 2027 года номер сместился с 18 на 19 из-за нового задания 17 на моделирование^[2]. Содержание не изменилось: уравнения и системы с модулями, квадратными трёхчленами, корнями и окружностями, где ответ — множество значений параметра. Задачи прошлых лет под номером 18 по-прежнему подходят для тренировки.

Проверяется умение рассуждать о целом семействе уравнений сразу. Параметр — это число, которое в задаче не задано, а ответ зависит от него. Нужно понять, как меняется картина решений при изменении параметра, найти граничные значения и не потерять особые случаи: выколотую точку, касание, совпадение корней.

Решать задачи с параметром можно алгебраически, но чаще выигрывает график: он сразу показывает, сколько точек пересечения и когда их число меняется. Поэтому на этой странице подключён построитель графиков с «уголками» — функциями с модулем.

Три подхода к задаче с параметром

Задачу с параметром решают одним из 3 способов: аналитически, графически в плоскости $(x; y)$ или графически в плоскости $(x; a)$. Выбор зависит от того, как параметр входит в условие.

На экзамене эти подходы часто сочетаются: график подсказывает ответ, а алгебра его обосновывает — находит точку касания или значение, при котором прямая проходит через вершину. Подробно графический приём разобран в материале задачи с параметром: графический метод.

Пример 1: два «уголка» и число корней

Если обе части уравнения содержат модули, их графики — «уголки», и вопрос о числе корней превращается в вопрос о взаимном расположении двух ломаных. Параметр при этом обычно сдвигает один из «уголков».

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $|x - a| = 2 - |x|$ имеет ровно два корня.

График правой части $y = 2 - |x|$ — «уголок» вершиной вверх в точке $(0; 2)$, он пересекает ось абсцисс в точках $\pm 2$. График левой части $y = |x - a|$ — «уголок» вершиной вниз в точке $(a; 0)$, который при изменении параметра скользит по оси абсцисс. Перепишем уравнение как $|x - a| + |x| = 2$. Сумма расстояний от точки $x$ до точек $0$ и $a$ не меньше $|a|$ и равна $|a|$ на всём отрезке между ними.

Отсюда три случая. При $|a| > 2$ левая часть всегда больше 2, корней нет. При $|a| = 2$ равенство выполняется на целом отрезке между $0$ и $a$ — корней бесконечно много. При $|a| < 2$ функция $|x - a| + |x|$ убывает слева от отрезка, постоянна на нём и меньше 2, а справа возрастает — уравнение имеет ровно 2 корня. Ответ: $-2 < a < 2$.

В построителе выберите функцию $y = a|x - m| + n$: при коэффициенте 1 и $n = 0$ ползунок $m$ играет роль параметра нашей задачи, а при коэффициенте $-1$, $m = 0$, $n = 2$ получается правая часть. Обратите внимание: в построителе буквой $a$ обозначен коэффициент перед модулем, а не параметр задачи. Свойства модуля и его графика повторяются в материале модуль числа и уравнения с модулем.

Миф: «если на графике видно ответ, обоснование не нужно». Это неверно: рисунок подсказывает, но граничные значения параметра должны быть получены вычислением. Ответа «по картинке» без расчёта точек касания или прохождения через вершину в критериях не бывает.

Пример 2: горизонтальная прямая и модуль трёхчлена

Если параметр стоит отдельно, например $f(x) = a$, достаточно построить график $y = f(x)$ один раз и двигать горизонтальную прямую $y = a$. Число точек пересечения — это число корней.

При каких значениях $a$ уравнение $|x^2 - 4x| = a$ имеет ровно три корня?

График $y = x^2 - 4x$ — парабола с вершиной $(2; -4)$ и нулями $0$ и $4$. Модуль отражает её отрицательную часть вверх: получается «горб» над отрезком $[0; 4]$ с вершиной $(2; 4)$. Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает такой график в 4 точках при $0 < a < 4$, в 3 точках при $a = 4$ (касание вершины горба плюс две точки на ветвях), в 2 точках при $a > 4$ и при $a = 0$, а при $a < 0$ — ни в одной.

Ответ: $a = 4$. Обоснование значения 4 — алгебраическое: при $a = 4$ уравнение $x^2 - 4x = -4$ даёт один корень $x = 2$, а $x^2 - 4x = 4$ — два корня $2 \pm 2\sqrt2$. Всего три, что подтверждает картинку.

Пример 3: дробь и выколотая точка

Нельзя забывать про ОДЗ: в задачах с параметром часто именно запрещённая точка даёт дополнительное значение в ответе. Типичный пример — дробь, у которой корень числителя может совпасть с нулём знаменателя.

Найдите все $a$, при которых уравнение $\dfrac{x^2 - (a + 2)x + 2a}{x - 3} = 0$ имеет ровно один корень.

Числитель раскладывается: $x^2 - (a + 2)x + 2a = (x - 2)(x - a)$. Корни числителя $2$ и $a$, при этом $x \ne 3$. Корень $x = 2$ подходит всегда. Ровно один корень получится в двух случаях: если $a = 2$ (корни совпали) или если $a = 3$ (второй корень попал в запрещённую точку и выпал).

Ответ: $a \in \{2; 3\}$. Значение $a = 3$ теряют чаще всего — проверка ограничений здесь даёт половину ответа.

Не путать: «ровно один корень» и «хотя бы один корень» — разные вопросы. Во втором случае ответом было бы любое $a$, потому что $x = 2$ — корень при всех значениях параметра.

Пример 4: система с окружностью и квадратом

Чтобы решить систему с параметром графически, каждое уравнение изображают на плоскости $(x; y)$ и следят, как меняется число общих точек.

При каких $a$ система $\begin{cases} |x| + |y| = 2, \\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases}$ имеет ровно четыре решения?

Первое уравнение задаёт квадрат с вершинами $(\pm 2; 0)$ и $(0; \pm 2)$. Второе — окружность с центром в начале координат и радиусом $|a|$. Расстояние от центра до стороны квадрата равно $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$, до вершины — 2. При $|a| < \sqrt2$ общих точек нет, при $|a| = \sqrt2$ окружность касается четырёх сторон — 4 решения, при $\sqrt2 < |a| < 2$ — 8 решений, при $|a| = 2$ окружность проходит через 4 вершины — снова 4 решения, при $|a| > 2$ — ни одного.

Ответ: $a \in \{-2; -\sqrt2; \sqrt2; 2\}$. Частая ошибка — записать только положительные значения: радиус равен $|a|$, поэтому отрицательные значения параметра дают те же окружности. Уравнение окружности и расстояние от точки до прямой разобраны в материале метод координат на плоскости.

Как оценивают задание 19

Критерии оценивания ФИПИ для задания 19 построены по шкале от 0 до 4: полное обоснованное решение с верным ответом даёт высший балл, а частичные продвижения — меньше, в зависимости от того, насколько далеко продвинулось решение.

Своими словами общая логика такая. Четыре балла получает решение, где найдены все граничные значения и каждое обосновано. Если ответ отличается из-за потерянной точки или неверно включённого конца, работа может получить часть баллов. Ещё меньше — если верно выполнен лишь начальный этап, например правильно построена графическая модель задачи. Точные формулировки приведены в проекте демоверсии ФИПИ^[3]; ответ без решения не засчитывается.

1. Переформулировка. Как задача сводится к пересечению графиков или к квадратному уравнению.
2. Рисунок. Неподвижный график и несколько положений подвижного, с подписями.
3. Граничные случаи. Каждое значение параметра — с вычислением: касание, вершина, выколотая точка.
4. Ответ. Множество значений параметра в виде промежутков и отдельных точек.

Учебник Мордковича для 10–11 классов^[4] разбирает исследование уравнений с параметром через свойства функций — это хорошая основа для обоснований. Общие правила записи — в материале оформление второй части.

Построитель графиков: как тренироваться

Построитель графиков вверху страницы — это 5 семейств функций с ползунками. Для этого номера выберите функцию $y = a|x - m| + n$: ползунок $a$ меняет наклон и направление «уголка», $m$ сдвигает его по горизонтали, $n$ — по вертикали.

Под графиком выводится формула и положение вершины «уголка», поэтому удобно проверять, где он касается оси или проходит через нужную точку. Упражнение: зафиксируйте коэффициент 1 и $n = -2$ и двигайте $m$ от $-6$ до $6$ — вершина скользит по прямой $y = -2$, а нули функции всегда находятся на расстоянии 2 от $m$. Так вопрос «при каком сдвиге корень принадлежит отрезку» становится наглядным.

Когда графический метод не подходит

Не каждая такая задача решается рисунком, и не каждому выпускнику выгодно браться за неё.

• Если параметр входит в 3 места и не выражается через $x$, рисунок в плоскости $(x; a)$ построить не выйдет — нужна алгебра.
• Если график содержит больше 4 подвижных элементов, проще рассмотреть случаи аналитически.
• Если в первой части решается меньше 11 заданий из 13, время на этот номер выгоднее вложить туда.
• Если до экзамена меньше 4 недель, а модули и квадратичная функция не освоены, освоить эту тему с нуля не получится.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на граничных значениях — именно они составляют суть всей задачи.

• Нельзя брать граничное значение «с картинки» без вычисления.
• Нельзя забывать про ограничения: знаменатель, подкоренное выражение, аргумент логарифма.
• Не следует терять отрицательные значения, если параметр входит в квадрате или под модулем.
• Не следует путать «ровно», «хотя бы» и «не более» в вопросе.
• Не стоит записывать ответ без проверки концов промежутков подстановкой.
• Не допускается калькулятор: значения вроде $\sqrt2$ оставляют в точном виде.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Это то же, что задание 18 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года перед ним появилось новое задание 17, поэтому номер сдвинулся. Тип задачи и 4 балла сохранились.

Можно ли получить баллы за неполное решение?

Да, частичные продвижения оцениваются, хотя и ниже полного решения. Поэтому стоит записывать даже незаконченное исследование, если оно верное.

Что выбрать: график или алгебру?

Если одна часть уравнения не зависит от параметра, начните с графика. Если параметр входит в коэффициенты квадратного уравнения, удобнее теорема Виета и условия на дискриминант.

Нужен ли рисунок в чистовике?

При графическом решении — да: без него рассуждение о точках пересечения непроверяемо. Рисунок должен быть аккуратным, с подписанными осями и ключевыми точками.

Сколько времени уходит на задачу?

Обычно 30–40 минут. Её решают после более коротких заданий второй части, когда остальная работа уже проверена.

С каких задач начинать тренировку?

С уравнений вида $f(x) = a$ и модулей: там картинка строится один раз. Затем переходите к сдвигающимся «уголкам» и окружностям с переменным радиусом.