Графический метод в задачах с параметром для ЕГЭ

Q: С какой плоскости начинать?

Попробуйте выразить a через x. Если получилось без деления на выражение, которое может быть нулём, работайте в (x; a): подвижная прямая там горизонтальная, и ошибиться труднее.

Что такое графический метод в задаче с параметром

Графический метод — это способ решения, при котором число корней уравнения или системы считают как число точек пересечения двух графиков, а параметр отвечает за движение одного из них. Задача с параметром стоит в проекте ФИПИ 2027 года под номером 19 и оценивается в 4 балла; в 2026 году это было задание 18^[1].

Алгебраический путь к таким задачам — перебор случаев, дискриминанты, теорема Виета, условия на корни квадратного трёхчлена — часто приводит к громоздким системам неравенств. Картинка показывает сразу всё семейство: видно, где решений нет, где их два, а где одно. Алгебра остаётся, но только в граничных точках: там, где линия касается графика или проходит через его вершину.

Важно понимать, что рисунок сам по себе не является решением. Эксперт засчитывает картинку как опору рассуждения, а каждое граничное значение параметра должно быть получено вычислением. Поэтому графический подход — это не «угадать ответ по чертежу», а способ понять, какие именно точки нужно вычислить.

Миф: «за графическое решение задачи 19 ставят меньше баллов, нужно решать аналитически». Это неверно: критерии оценивания ФИПИ не требуют конкретного способа. Снижают за другое — за граничную точку, найденную «на глаз», и за непроверенные концы промежутков.

Две плоскости: (x; y) и (x; a)

Есть 2 основных варианта картинки. В плоскости $(x; y)$ параметр задаёт целое семейство линий, а в плоскости $(x; a)$ параметр становится второй координатой, и подвижной линией служит горизонтальная прямая $a = \text{const}$ .

Плоскость	Когда удобна	Что движется	Граничные положения
$(x; a)$	параметр выражается через $x$ : $a = f(x)$ , или уравнение распадается на несколько линий	горизонтальная прямая $a = c$	вершины, экстремумы, концы отрезка, точки пересечения линий
$(x; y)$ , пучок прямых	справа стоит $y = ax + b$ с фиксированной точкой $(0; b)$	прямая поворачивается вокруг точки	касание, прохождение через вершину, параллельность звену графика
$(x; y)$ , параллельный перенос	в уравнение входит $\|x - a\|$ , $(x - a)^2$ или $y = x + a$	график сдвигается вдоль оси	касание и прохождение через особые точки
$(x; y)$ , окружность	есть $x^2 + y^2 = a^2$ или $(x - a)^2 + (y - a)^2 = 1$	меняется радиус или центр	касание сторон, прохождение через вершины

Выбор плоскости — первый и самый важный шаг. Если параметр легко отделяется от $x$ , почти всегда проще работать в $(x; a)$ : там подвижная линия самая простая, а графический метод сводится к движению горизонтальной прямой. Если отделить нельзя, остаётся плоскость $(x; y)$ и анализ того, как параметр двигает линию.

Схема решения в 5 шагов

Чтобы решение было полным и проверяемым, держитесь одной последовательности действий: от преобразования условия к граничным точкам и ответу.

Преобразование. Выразите параметр или разбейте уравнение на неподвижную часть и подвижную. Укажите ограничения: знаменатели, корни, логарифмы.
Неподвижный график. Постройте его с координатами всех особых точек: вершин, точек излома, концов.
Подвижный объект. Опишите словами, как он меняется: «прямая проходит через точку $(0; 1)$ и поворачивается», «уголок сдвигается вправо».
Граничные положения. Для каждого вычислите значение параметра: через подстановку точки, дискриминант или расстояние.
Ответ. Пройдите все промежутки между граничными значениями и отдельно сами граничные значения, посчитайте число решений и выпишите нужные.

Шаг 5 обычно и отделяет 4 балла от 3. Граничное значение может как входить в ответ, так и не входить, и проверять его нужно отдельно — подстановкой в исходное уравнение.

Плоскость (x; a): параметр выражен через x

Если уравнение можно записать в виде $a = f(x)$ , число корней равно числу точек пересечения графика $a = f(x)$ с горизонтальной прямой. Двигая прямую снизу вверх, считаем точки: каждое значение параметра — это одна горизонталь.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $x^2 - 4|x| = a$ имеет ровно два корня.

Функция $f(x) = x^2 - 4|x|$ чётная. При $x \ge 0$ это парабола $x^2 - 4x$ с вершиной $(2; -4)$ , при $x < 0$ — её зеркальное отражение с вершиной $(-2; -4)$ . В точке $x = 0$ значение равно 0 — здесь у графика «горб», и он похож на букву W.

Двигаем прямую $a = c$ : при $c < -4$ пересечений нет; при $c = -4$ — 2 точки (обе вершины); при $-4 < c < 0$ — 4 точки; при $c = 0$ — 3 точки ( $x = 0$ и $x = \pm 4$ ); при $c > 0$ — 2 точки. Ответ: $a = -4$ или $a > 0$ .

Проверка граничного значения $a = 0$ : уравнение $x^2 = 4|x|$ имеет корни $0$ и $\pm 4$ , то есть 3 корня, — значит, $0$ в ответ не входит. Без такой проверки легко записать $a \ge 0$ и потерять балл.

Плоскость (x; a): ограничение на отрезке

Если уравнение распадается на множители, каждый множитель в плоскости $(x; a)$ — отдельная линия, а условие «корень принадлежит отрезку» обрезает эти линии вертикальной полосой.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $(a - x)(a + x - 4) = 0$ имеет на отрезке $[0; 3]$ ровно один корень.

Уравнение равносильно совокупности $a = x$ или $a = 4 - x$ . В полосе $0 \le x \le 3$ первая прямая занимает значения $a$ от 0 до 3, вторая — от 1 до 4. Прямые семейства пересекаются в точке $x = 2$ , $a = 2$ : при этом значении оба множителя дают один и тот же корень.

Горизонтальная прямая $a = c$ встречает: при $0 \le c < 1$ — только первую линию (1 корень); при $1 \le c \le 3$ — обе линии, то есть 2 корня, кроме $c = 2$ , где корень один; при $3 < c \le 4$ — только вторую (1 корень). Ответ: $a \in [0; 1) \cup \{2\} \cup (3; 4]$ . Точку $a = 2$ пропускают чаще всего: на рисунке она выглядит как обычное пересечение.

Плоскость (x; y): пучок прямых и уголок

Если в уравнении есть $ax + b$ с фиксированным $b$ , все прямые семейства проходят через точку $(0; b)$ . Это пучок: при изменении параметра прямая поворачивается, а неподвижный график стоит на месте. Так графический метод превращает перебор случаев в поворот одной прямой.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $|x - 3| = ax + 1$ имеет ровно два корня.

Слева — уголок $y = |x - 3|$ с вершиной $(3; 0)$ и звеньями с угловыми коэффициентами $-1$ и $1$ . Справа — прямая через точку $(0; 1)$ с угловым коэффициентом $a$ . Граничные положения: прямая проходит через вершину (из $0 = 3a + 1$ получаем $a = -\frac13$ ) и прямая параллельна одному из звеньев ( $a = 1$ или $a = -1$ ).

При $-\frac13 < a < 1$ прямая пересекает оба звена — 2 корня. При $a = -\frac13$ обе точки сливаются в вершине — 1 корень. При $a \ge 1$ прямая не догоняет правое звено и пересекает только левое — 1 корень. При $-1 \le a < -\frac13$ пересечений нет, при $a < -1$ — 1 корень на левом звене. Ответ: $-\frac13 < a < 1$ . Сам уголок строится по точке излома и двум лучам — так преобразования графиков с модулем объясняет и учебник Мордковича.

Алгебраическая проверка: на левом звене $x = \frac{2}{a + 1}$ и нужно $x \le 3$ , на правом $x = \frac{4}{1 - a}$ и нужно $x \ge 3$ . Оба условия одновременно выполнены как раз при $-\frac13 \le a < 1$ , а при $a = -\frac13$ корни совпадают: $x = 3$ .

Плоскость (x; y): окружность и квадрат

Если в системе есть $x^2 + y^2 = a^2$ , это окружность с центром в начале координат и радиусом $|a|$ . Подвижный объект — семейство концентрических окружностей, граничные положения — касание и прохождение через вершины.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система $x^2 + y^2 = a^2$ , $|x| + |y| = 2$ имеет ровно четыре решения.

Второе уравнение задаёт квадрат с вершинами $(\pm 2; 0)$ и $(0; \pm 2)$ . Расстояние от центра до стороны $x + y = 2$ равно $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ . Если $|a| < \sqrt2$ , окружность внутри квадрата — 0 решений; при $|a| = \sqrt2$ она касается 4 сторон — 4 решения; при $\sqrt2 < |a| < 2$ пересекает каждую сторону дважды — 8 решений; при $|a| = 2$ проходит через 4 вершины — 4 решения; при $|a| > 2$ решений нет.

Ответ: $a \in \{-2; -\sqrt2; \sqrt2; 2\}$ . Касание подтверждено вычислением: подстановка $y = 2 - x$ в $x^2 + y^2 = 2$ даёт $2x^2 - 4x + 2 = 0$ с нулевым дискриминантом. Знак $a$ не важен, потому что в систему входит только $a^2$ , — это тоже нужно написать в решении.

Построитель графиков: как проверить себя

«Построитель графиков» вверху страницы открыт на функции $y = a|x - m| + n$ — это та самая ломаная из двух лучей, с которой работает половина задач с модулем. Ползунки меняют три коэффициента, а под графиком выводится формула и координаты вершины.

Учтите обозначения: ползунок $a$ здесь отвечает за наклон звеньев, а не за параметр задачи. Параметр из условия обычно играет роль $m$ или $n$ : например, в уравнении $|x - a| = 2$ график сдвигается вдоль оси, и это повторяет ползунок $m$ . Поставьте $a = 1$ , $m = 3$ , $n = 0$ — получится график из разобранного примера. Затем переключитесь на «y = kx + b» и мысленно поворачивайте прямую вокруг точки $(0; 1)$ , меняя $k$ . Инструмент не заменяет вычислений, но помогает не пропустить граничное положение. Общие приёмы построения графиков собраны на странице построитель графиков онлайн, а свойства модуля — в теме модуль числа и уравнения с модулем.

Как оценивают задание 19

Задание 19 оценивается от 0 до 4 баллов, и критерии устроены ступенчато: частичные баллы дают даже за неполное решение с верной идеей^[2].

Своими словами: полный балл — обоснованно получен верный ответ. Если ход решения верный, но множество значений $a$ отличается от искомого конечным числом точек (например, лишняя граничная точка), балл снижается. Ещё меньше, но не ноль, ставят, если верно найдены граничные значения, но ответ собран неправильно, или если верно получено хотя бы одно граничное значение. Отсюда практический вывод: даже не доведя задачу до конца, выпишите найденные граничные точки и обоснуйте их.

Учебник Мордковича для 10–11 классов^[3] разбирает графические приёмы для уравнений с модулем — это хорошая база перед сборниками. Полный обзор номера, включая аналитические способы, — на странице задание 19 профильного ЕГЭ.

Миф: «если по рисунку видно, что прямая касается графика, этого достаточно». Это не подтверждается практикой проверки: касание нужно доказать — нулевым дискриминантом, равенством производной или расстоянием от центра до прямой. Рисунок без вычисления граничной точки не считается обоснованием.

Когда графический метод не подходит

Не всякая задача с параметром выгодно решается картинкой: иногда построение занимает больше времени, чем алгебра.

Если параметр входит в уравнение в 3 и более местах и не отделяется, семейство кривых становится слишком сложным для аккуратного рисунка.
Если в задаче требуется, чтобы корни удовлетворяли 2 и более дополнительным условиям (например, оба больше 1), удобнее теорема Виета и расположение корней трёхчлена.
Если до экзамена меньше 4 недель, а первая часть решается нестабильно, время на задание 19 лучше потратить на номера 1–13.
Если неподвижный график — кривая без простой формы (многочлен 4-й степени общего вида), без производной его не построить, и картинка теряет наглядность.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать верную картинку в 1–2 балла из-за граничных точек: именно там теряется больше всего баллов в задании 19.

Нельзя находить граничное значение параметра «по клеточкам»: каждое должно быть вычислено.
Нельзя забывать отдельно проверить сами граничные значения: они могут как входить в ответ, так и не входить.
Не следует путать плоскости: в $(x; a)$ горизонтальная прямая — это фиксированное значение параметра, а не график функции.
Не следует терять ограничения исходного уравнения: выколотые точки графика меняют число решений.
Не стоит рисовать маленький чертёж без подписанных координат особых точек — эксперт не сможет проверить рассуждение.
Не стоит записывать ответ без итоговой строки с объединением промежутков и отдельных точек.

Источники

[1] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

С какой плоскости начинать?

Попробуйте выразить $a$ через $x$ . Если получилось без деления на выражение, которое может быть нулём, работайте в $(x; a)$ : подвижная прямая там горизонтальная, и ошибиться труднее.

Сколько баллов реально получить без полного решения?

По ступенчатым критериям даже одна верно найденная и обоснованная граничная точка приносит балл. Поэтому начинать стоит, даже если вся задача кажется трудной.

Нужна ли производная для касания?

Не всегда. Касание прямой и параболы проверяют дискриминантом, касание прямой и окружности — расстоянием от центра. Производная нужна, если неподвижный график — более сложная кривая.

Чем этот номер отличается от 2026 года?

По проекту ФИПИ только номером: задача с параметром сдвинулась с 18-го места на 19-е, её тип и 4 балла сохранились^[4].

Сколько времени отводить на задание 19?

Ориентир — 30–40 минут, и только после того, как решены первая часть и задания 14–16. Если граничные точки не находятся за 20 минут, запишите то, что уже обосновано, и переходите дальше.

Работает ли графический метод для неравенств?

Да. Тогда считают не точки пересечения, а участки, где один график лежит выше другого, а в плоскости $(x; a)$ закрашивают область, которую задаёт неравенство.