Задание 2 ЕГЭ профиль: векторы и скалярное произведение

Q: Как найти угол, если косинус не табличный?

В первой части косинус почти всегда получается табличным: 0, \pm\frac12, \pm\frac{\sqrt2}{2}, \pm\frac{\sqrt3}{2} или \pm1. Если вышло другое значение, а спрашивают угол в градусах, перепроверьте вычисления.

Что проверяет задание 2 и как оно оценивается

Задание 2 — это проверка умения работать с векторами через координаты: складывать, умножать на число, находить длину и скалярное произведение. За верное число в бланке ставится 1 первичный балл^[1].

По проекту спецификации ФИПИ 2027 года первая часть профильного варианта состоит из 13 номеров с кратким ответом, и векторная задача остаётся второй. Изменения 2027 года коснулись других позиций: появились новые номера 6, 13 и 17, а прежние номера 6–11 сдвинулись на одну позицию^[2]. Номера с первого по пятый не поменялись, поэтому задачи на векторы из прошлых вариантов полностью годятся для подготовки.

Векторная задача требует знания всего пяти формул и решается за 2–4 минуты, если не путать знаки. При этом вектор в условии может быть задан не только координатами, но и рисунком на клетчатой плоскости или через длины и угол — тогда координаты или скалярное произведение надо получить самому.

Пять формул, которые закрывают номер

Если векторы $\vec a(x_1; y_1)$ и $\vec b(x_2; y_2)$ заданы координатами, все действия с ними сводятся к 5 формулам из таблицы. Их нет в справочных материалах, поэтому их нужно помнить.

Действие	Формула	На что обратить внимание
Сумма и разность	$\vec a \pm \vec b = (x_1 \pm x_2;\ y_1 \pm y_2)$	знак второй координаты при вычитании
Умножение на число	$k\vec a = (kx_1;\ ky_1)$	умножаются обе координаты
Координаты по точкам	$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)$	из конца вычитают начало
Длина	$\|\vec a\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$	квадрат отрицательной координаты положителен
Скалярное произведение	$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 = \|\vec a\|\|\vec b\|\cos\varphi$	результат — число, а не вектор

Из последней строки следуют два важных следствия. Первое: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Второе: косинус угла между ненулевыми векторами равен $\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$ . Если в задаче векторы даны в пространстве, формулы те же, только у каждого вектора добавляется третья координата, — так это изложено в учебнике Атанасяна для 10–11 классов^[3].

Связь двух определений скалярного произведения — не случайность, а следствие теоремы косинусов: $|\vec a - \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\,\vec a \cdot \vec b$ . В учебнике геометрии 9 класса эта теорема и доказывает, что координатная формула и формула через косинус дают одно и то же число. Для задания 2 из этого следует практичный приём: если даны длины сторон треугольника, скалярное произведение векторов-сторон можно найти без координат и без угла.

Подробное объяснение с рисунками и выводом формул — на странице векторы: координаты, длина и угол. Если неуверенно чувствуете себя с координатами точек и расстоянием между ними, начните с темы метод координат на плоскости.

Разбор типовых задач

Чтобы не ошибиться, решайте каждую векторную задачу в 3 действия: выписать координаты всех нужных векторов, выполнить операцию по формуле, перечитать вопрос. Ниже — четыре задачи разных видов.

Длина и скалярное произведение

Даны векторы $\vec a(3; -4)$ и $\vec b(-1; 2)$ . Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$ .

Перемножаем соответствующие координаты и складываем: $3 \cdot (-1) + (-4) \cdot 2 = -3 - 8 = -11$ . Отрицательный результат означает, что угол между векторами тупой, — это нормальная ситуация, а не признак ошибки. Если бы спрашивали длину вектора $\vec a$ , ответ был бы $\sqrt{9 + 16} = 5$ . Ответ: $-11$ .

Длина линейной комбинации

Даны векторы $\vec a(2; 3)$ и $\vec b(1; 2)$ . Найдите длину вектора $2\vec a - \vec b$ .

Сначала координаты: $2\vec a = (4; 6)$ , затем $2\vec a - \vec b = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$ . Длина: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Типичная ошибка — сложить длины $2|\vec a|$ и $|\vec b|$ : длина разности не равна разности длин, это верно только для сонаправленных векторов. Ответ: 5.

Угол между векторами

Найдите угол между векторами $\vec a(1; 1)$ и $\vec b(2; 0)$ . Ответ дайте в градусах.

Скалярное произведение $1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2$ , длины $|\vec a| = \sqrt2$ и $|\vec b| = 2$ . Косинус угла: $\cos\varphi = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$ , значит $\varphi = 45^\circ$ . Проверка по смыслу: вектор $\vec b$ лежит на оси абсцисс, а $\vec a$ — биссектриса первой четверти. Ответ: 45.

Через длины и угол

Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны 3 и 4, угол между ними $60^\circ$ . Найдите $\vec a \cdot \vec b$ .

Координат нет, поэтому используем второе определение: $\vec a \cdot \vec b = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot 0{,}5 = 6$ . Такие формулировки встречаются, когда векторы заданы стороной треугольника или ромба. Ответ: 6.

Миф: «скалярное произведение векторов — это тоже вектор, его координаты надо записать через точку с запятой». Это неверно: скалярное произведение — число, и в бланк записывается одно число. Произведения, дающего вектор, в программе базовой школы не существует, и в первой части его не спрашивают.

Как работает тренажёр по векторам

Тренажёр «№ 2 ЕГЭ профиль» вверху страницы генерирует бесконечные варианты двух видов: длина суммы двух векторов и скалярное произведение по координатам.

Решите задачу на черновике, впишите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Если ответ неверный, «Решение» покажет вычисление по шагам, а «Следующая задача →» даст новые координаты. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают видеть точность: хорошая планка — 10 задач подряд без ошибок со знаками: после этого задание 2 на экзамене занимает не больше трёх минут.

Задач на угол между векторами, на перпендикулярность и на векторы по точкам в генераторе нет. Эти виды стоит отработать отдельно по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко^[4]: достаточно 10–15 задач каждого вида, чтобы формулы перестали путаться.

Ошибки, на которых теряют балл в задании 2

Ошибки во втором номере почти всегда арифметические — это знак минус, неверный порядок вычитания координат или подмена длины суммы суммой длин.

Минус в квадрате. $(-4)^2 = 16$ , а не $-16$ . Длина вектора не может быть отрицательной или нулевой, если вектор ненулевой.
Начало и конец. Координаты $\overrightarrow{AB}$ — это «конец минус начало». Если вычесть наоборот, получится противоположный вектор: длина та же, но скалярное произведение сменит знак.
Длина суммы. $|\vec a + \vec b| \ne |\vec a| + |\vec b|$ в общем случае. Сначала находят координаты суммы, потом длину.
Условие перпендикулярности. Если векторы перпендикулярны, скалярное произведение равно нулю. Например, для $\vec a(4; m)$ и $\vec b(3; -6)$ уравнение $12 - 6m = 0$ даёт $m = 2$ , а не $m = -2$ .
Ответ с корнем. Если длина получилась вида $\sqrt{34}$ , а в бланк нужно целое число, проверьте координаты: составители подбирают данные так, чтобы ответ записывался в клетках.

Не путать: векторы на плоскости во втором номере и координатный метод в стереометрии второй части. Угол между плоскостями и расстояние до плоскости разобраны в материале координатный метод в стереометрии.

Проверка ответа и запись в бланк

Ответ — одно число: целое, отрицательное или десятичная дробь через запятую. Минус пишут в первой клеточке, пробелы и единицы измерения не ставят.

Быстрая самопроверка в задании 2 занимает меньше минуты, и пропускать её не следует. Для длины: результат положителен и не больше суммы модулей координат. Для скалярного произведения: знак должен соответствовать углу — положительный при остром, ноль при прямом, отрицательный при тупом. Нарисуйте векторы на клетчатом черновике: угол между ними виден сразу, и знак ответа проверяется без вычислений.

Для угла: косинус по модулю не больше 1. Если получилось $\cos\varphi = 1{,}2$ , ошибка в длинах, потому что такого угла не существует. Отрицательный ответ « $-11$ » в бланке пишется как « $-11$ », без скобок.

Когда упор на векторы не поможет

Не всегда стоит начинать подготовку с векторов — номер простой, но приносит только 1 балл из 33.

Если в пробнике векторная задача уже решается верно 9 раз из 10, дальнейшие тренировки не добавят баллов — время лучше отдать номерам 4–6.
Если путаются отрицательные числа и квадраты, сначала нужны 2–3 занятия на арифметику, иначе ошибки перейдут и в векторы.
Если до экзамена осталось меньше 2 недель, хватит повторить 5 формул из таблицы и прорешать 15 задач, без углубления в теорию.
Если цель — 80 баллов и выше, векторная задача должна занимать не более 3 минут, и отработка скорости важнее изучения редких формулировок.

Чего делать нельзя

Нельзя относиться к векторной задаче как к «халявной» — именно на простых номерах чаще теряют балл из-за спешки.

Нельзя складывать длины векторов вместо того, чтобы сначала найти координаты суммы.
Нельзя записывать в бланк координаты вектора, если спрашивают длину или скалярное произведение.
Не следует вычитать координаты в порядке «начало минус конец» при нахождении $\overrightarrow{AB}$ .
Не следует оставлять в ответе $\cos\varphi$ , если спрашивают сам угол в градусах.
Не стоит считать устно, пропуская запись координат: одна потерянная минусовая координата стоит целого балла.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Каким номером было задание 2 в 2026 году?

Тем же — вторым. По проекту ФИПИ 2027 года номера с первого по пятый не менялись, сдвиг начался с нового номера 6. Подробнее о перестановках — в обзоре что меняется в профильном ЕГЭ 2027.

Бывают ли векторы в пространстве?

Формулы для трёх координат те же, что и для двух, поэтому к такой задаче стоит быть готовым. Длина вектора $(x; y; z)$ равна $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

Может ли ответ быть отрицательным?

Да, если спрашивают скалярное произведение или координату. Длина и угол отрицательными не бывают, поэтому отрицательная длина — сигнал искать ошибку.

Как найти угол, если косинус не табличный?

В первой части косинус почти всегда получается табличным: $0$ , $\pm\frac12$ , $\pm\frac{\sqrt2}{2}$ , $\pm\frac{\sqrt3}{2}$ или $\pm1$ . Если вышло другое значение, а спрашивают угол в градусах, перепроверьте вычисления.

Нужно ли рисовать векторы?

Не обязательно, но рисунок на клетках помогает: по нему видно знак скалярного произведения и примерную длину. На проверку уходит 30 секунд.

Хватит ли одного вечера на эту тему?

Для повторения — да, если формулы уже знакомы из 9 класса. Для устойчивого навыка лучше 3–4 коротких подхода по 15 минут с перерывом в несколько дней: распределённое повторение запоминается надёжнее, чем одна долгая сессия.