Векторы на плоскости: действия, угол и перпендикулярность

Вектор и координаты вектора по точкам

Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец, длина и направление. Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину, — где именно они нарисованы, неважно.

На координатной плоскости любой вектор задаётся парой чисел. Если начало вектора — точка $A(x_A; y_A)$, а конец — $B(x_B; y_B)$, то

$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A).$$

Правило запоминается фразой «из конца вычитаем начало». Например, для точек $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$ координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(3; 4)$. Если поменять точки местами, получится противоположный вектор $\overrightarrow{BA} = (-3; -4)$: та же длина, обратное направление.

Координаты вектора не зависят от того, где он отложен. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны тогда и только тогда, когда их координаты совпадают. На этом построен удобный признак: если $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, то четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, потому что две его противоположные стороны равны и параллельны. Подробнее об этом — в статье про признаки параллелограмма.

Миф: «координаты вектора — это координаты его конца». Это неверно, если начало не в нуле координат. Вектор от $A(1; 2)$ до $B(4; 6)$ имеет координаты $(3; 4)$, а не $(4; 6)$. Совпадение бывает только у радиус-вектора, начало которого лежит в точке $O(0; 0)$.

Длина вектора

Длина вектора — это длина соответствующего отрезка, и по координатам она находится по теореме Пифагора: $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Координаты служат катетами, сам вектор — гипотенузой.

Для вектора $(3; 4)$ длина $\sqrt{9 + 16} = 5$. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ по точкам формула превращается в расстояние между точками: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Длина не может быть отрицательной и равна нулю только у нулевого вектора $(0; 0)$. Связь формулы с геометрией объясняет статья теорема Пифагора.

Сложение, вычитание и умножение на число

Чтобы сложить векторы, достаточно сложить их соответствующие координаты; вычитание и умножение на число тоже выполняются покоординатно. Геометрически сумму строят по правилу треугольника или параллелограмма.

Правило треугольника: от конца первого вектора откладывают второй, и сумма идёт из начала первого в конец второго, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Правило параллелограмма: оба вектора откладывают от одной точки, и сумма — диагональ параллелограмма, построенного на них. Разность $\vec a - \vec b$ — вторая диагональ, идущая из конца $\vec b$ в конец $\vec a$.

В координатах всё короче. Для $\vec a(2; -1)$ и $\vec b(3; 4)$:

• Сумма. $\vec a + \vec b = (5; 3)$.
• Разность. $\vec a - \vec b = (-1; -5)$.
• Умножение на число. $3\vec a = (6; -3)$, а $3\vec a - 2\vec b = (0; -11)$.

При умножении на положительное число направление сохраняется, на отрицательное — меняется на противоположное, а длина умножается на модуль числа. Важно: длина суммы не равна сумме длин. У векторов $(3; 0)$ и $(0; 4)$ длины 3 и 4, а длина суммы $(3; 4)$ равна 5, а не 7.

Покоординатные действия объясняет разложение по координатным векторам. Единичные векторы $\vec i(1; 0)$ и $\vec j(0; 1)$ направлены вдоль осей, и любой вектор плоскости единственным образом записывается как $\vec a = x\vec i + y\vec j$. Числа $x$ и $y$ в этой записи и есть его координаты, поэтому при сложении коэффициенты при $\vec i$ и $\vec j$ просто складываются.

Из правила параллелограмма следует формула середины отрезка. Если $M$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{AM} = \frac12(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$: медиана треугольника равна половине суммы векторов сторон, выходящих из той же вершины. В координатах середина отрезка с концами $A(-2; 5)$ и $B(6; 1)$ — это точка $(2; 3)$: каждая координата равна полусумме координат концов. Формула верна только для середины; для деления отрезка в другом отношении коэффициенты будут иными.

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. В координатах признак простой: координаты пропорциональны, $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

Удобнее записывать признак без дробей, чтобы не делить на ноль: $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$. Например, векторы $\vec a(2; 3)$ и $\vec b(6; m)$ коллинеарны, только если $2m - 18 = 0$, то есть $m = 9$: тогда $\vec b = 3\vec a$. Нулевой вектор считается коллинеарным любому.

Коллинеарность — частый шаг в задачах на параллельность: если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарны, прямые $AB$ и $CD$ параллельны или совпадают. Уравнения прямых и окружностей в координатах разобраны в материале про метод координат на плоскости.

Скалярное произведение

Скалярное произведение — это число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: $\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos\varphi$. В координатах оно считается ещё проще:

$$\vec a \cdot \vec b = x_1 x_2 + y_1 y_2.$$

Для $\vec a(2; -1)$ и $\vec b(3; 4)$ получаем $2 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 = 2$. Если известны длины и угол, работает первая формула: при $|\vec a| = 5$, $|\vec b| = 3$ и угле $60^\circ$ скалярное произведение равно $5 \cdot 3 \cdot \frac12 = 7{,}5$.

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$. Отсюда формула длины суммы, по сути — теорема косинусов в векторной записи:

$$|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + 2\,\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2.$$

При $|\vec a| = 3$, $|\vec b| = 5$ и угле $60^\circ$ имеем $\vec a \cdot \vec b = 7{,}5$ и $|\vec a + \vec b| = \sqrt{9 + 15 + 25} = 7$.

Угол между векторами и перпендикулярность

Если известны координаты вектора $\vec a$ и вектора $\vec b$, косинус угла между ними — это скалярное произведение, делённое на произведение длин:

$$\cos\varphi = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}.$$

Для $\vec a(3; 4)$ и $\vec b(4; 3)$ получаем $\cos\varphi = \frac{24}{25} = 0{,}96$. Для $\vec a(1; 1)$ и $\vec b(0; 3)$ — $\frac{3}{\sqrt2 \cdot 3} = \frac{\sqrt2}{2}$, то есть угол $45^\circ$. Угол между векторами берут от $0^\circ$ до $180^\circ$, поэтому знак косинуса сразу говорит о виде угла: плюс — острый, минус — тупой.

Главное следствие: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Векторы $\vec a(2; k)$ и $\vec b(3; -6)$ перпендикулярны при $6 - 6k = 0$, то есть при $k = 1$. Этим же приёмом проверяют прямой угол в треугольнике по координатам вершин: для $A(1; 1)$, $B(4; 5)$, $C(5; -2)$ векторы $\overrightarrow{AB}(3; 4)$ и $\overrightarrow{AC}(4; -3)$ дают $12 - 12 = 0$, значит, угол $A$ прямой.

Разбор задач

Задание 2 профильного ЕГЭ — это вычисления с векторами: координаты, длина, скалярное произведение, угол. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года^[2] номер не изменился и оценивается 1 баллом.

Задача 1. Даны точки $A(-2; 5)$ и $B(4; -3)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{AB}$.

Из конца вычитаем начало: $\overrightarrow{AB} = (4 - (-2);\ -3 - 5) = (6; -8)$. Длина $\sqrt{36 + 64} = 10$. Ответ: 10.

Задача 2. Даны векторы $\vec a(2; -1)$ и $\vec b(3; 4)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot (\vec a + \vec b)$.

Сначала сумма: $\vec a + \vec b = (5; 3)$. Затем $2 \cdot 5 + (-1) \cdot 3 = 7$. Проверка другим способом: $\vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b = 5 + 2 = 7$. Ответ: 7.

Задача 3. Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны 3 и 5, угол между ними $60^\circ$. Найдите длину вектора $\vec a + \vec b$.

Скалярное произведение $3 \cdot 5 \cdot \frac12 = 7{,}5$. Квадрат длины суммы $9 + 2 \cdot 7{,}5 + 25 = 49$, длина 7. Ответ: 7.

Образцы задач этого номера есть в проекте демоверсии ФИПИ^[3]; подробный разбор формата — на странице задание 2 профильного ЕГЭ.

Тренажёр № 2 ЕГЭ профиль

«Тренажёр · № 2 ЕГЭ профиль · бесконечные варианты» в начале страницы — это генератор двух типов задач: скалярное произведение по координатам и длина суммы векторов. Числа новые при каждом нажатии «Следующая задача →».

Вводите ответ в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить»; кнопка «Решение» покажет вычисление. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают отследить ошибки со знаками — самые частые в теме. Короткие подходы по 10 задач через день работают лучше одного длинного: обзор Cepeda и соавторов^[4] показывает преимущество распределённого повторения.

Когда координатный способ не подходит

Не во всякой задаче на векторы удобно переходить к координатам — иногда данных для этого нет.

• Если даны только длины и угол, а координат нет, считайте по формуле $|\vec a| |\vec b| \cos\varphi$ — вводить систему координат для 2 векторов не нужно.
• Если вектор задан на клетчатой сетке, координаты считают по клеткам, но при масштабе, отличном от 1 клетки, длины придётся пересчитать.
• Если задача про пространство, у каждого вектора 3 координаты, и формулы на плоскости нужно дополнить третьим слагаемым.
• Если до экзамена меньше 2 недель, учить вывод формулы угла не стоит: достаточно помнить её и проверять знак скалярного произведения.

Чего делать нельзя

Нельзя вычитать координаты в обратном порядке — это даёт противоположный вектор и неверный знак в скалярном произведении.

• Нельзя складывать длины, чтобы получить длину суммы: так верно только для сонаправленных векторов.
• Нельзя умножать координаты «крест-накрест» при скалярном произведении: перемножаются абсциссы с абсциссами, ординаты с ординатами.
• Не следует ставить минус перед квадратом отрицательной координаты: $(-8)^2 = 64$, а не $-64$.
• Не следует путать скалярное произведение с вектором: результат — число, у него нет координат.
• Не стоит делить на координату, которая может быть нулём, при проверке коллинеарности — используйте запись $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[5] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Как найти координаты вектора, если даны две точки?

Из координат конца вычесть координаты начала. Для $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$ получится $\overrightarrow{AB}(3; 4)$.

Где изучают эту тему в школе?

На плоскости — в курсе геометрии основной школы, в учебнике Атанасяна^[1] ей посвящены главы о векторах и методе координат. В 10–11 классах те же формулы переносят в пространство^[5].

Может ли скалярное произведение быть отрицательным?

Да, если угол между векторами тупой: косинус тупого угла отрицателен. Ноль — при прямом угле.

Какой номер ЕГЭ посвящён векторам?

В профильном ЕГЭ — задание 2, и в 2026, и по проекту 2027 года. В базовом уровне отдельного задания на векторы нет.

Чем коллинеарность отличается от перпендикулярности?

Коллинеарные — на параллельных прямых, координаты пропорциональны. Перпендикулярные — под прямым углом, скалярное произведение равно нулю.

Как применять эти формулы в стереометрии?

Добавить третью координату во все формулы. Этот приём — основа координатного метода, разобранного в статье про координатный метод в стереометрии.