Координатный метод в стереометрии: углы и расстояния

Зачем координатный метод нужен в задании 15

Задание 15 — это стереометрическая задача второй части на 3 балла (в 2026 году она стояла под номером 14): в пункте а) нужно что-то доказать, в пункте б) — найти угол, расстояние, площадь сечения или объём^[1].

Классический путь к пункту б) — построить нужный угол или перпендикуляр на чертеже и доказать, что он именно тот. Как раз эта часть отнимает больше всего времени: надо обосновать, почему отрезок перпендикулярен плоскости, а угол является линейным углом двугранного. Координаты заменяют построение вычислением. Перпендикуляр строить не нужно — его заменяет вектор нормали, а угол между прямыми считается через скалярное произведение векторов.

Метод одинаково работает для четырёх самых частых вопросов пункта б): угол между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости. Для вопросов про площадь сечения и объём он помогает реже: там всё равно приходится понимать форму сечения, а вычисление координат лишь заменяет теорему Пифагора.

Эксперты оценивают обоснованность, а не выбор способа: по критериям оценивания ФИПИ любое верное решение засчитывается полностью^[2]. Поэтому вычисление в координатах — законный путь, если каждая координата и каждая формула записаны явно. Сам приём не нов: векторы и координаты в пространстве входят в учебник Атанасяна для 10–11 классов^[3], а скалярное произведение повторяется на странице про векторы и скалярное произведение.

Как ввести систему координат в многограннике

Если у многогранника есть вершина, из которой выходят три попарно перпендикулярных ребра, начало координат ставят в неё, а оси направляют вдоль этих рёбер. Для пирамид и правильных призм с треугольным основанием удобнее другие точки — их собрала таблица ниже.

Многогранник	Начало координат и оси	Координаты вершин основания
Куб с ребром $a$ , прямоугольный параллелепипед $a \times b \times c$	вершина $A$ , оси вдоль $AB$ , $AD$ , $AA_1$	$B(a; 0; 0)$ , $D(0; b; 0)$ , $A_1(0; 0; c)$ , $C_1(a; b; c)$
Правильная треугольная призма со стороной $a$ и высотой $h$	вершина $A$ , ось $Ox$ вдоль $AB$ , ось $Oz$ вдоль $AA_1$	$B(a; 0; 0)$ , $C\left(\frac a2; \frac{a\sqrt3}{2}; 0\right)$ , верхние вершины — те же с $z = h$
Правильная четырёхугольная пирамида со стороной $a$ и высотой $h$	центр основания, оси параллельны сторонам	$A\left(-\frac a2; -\frac a2; 0\right)$ , $C\left(\frac a2; \frac a2; 0\right)$ , $S(0; 0; h)$
Правильная треугольная пирамида со стороной $a$	вершина $A$ , ось $Ox$ вдоль $AB$	$C\left(\frac a2; \frac{a\sqrt3}{2}; 0\right)$ , вершина над центроидом: $S\left(\frac a2; \frac{a\sqrt3}{6}; h\right)$
Правильная шестиугольная призма со стороной $a$	центр нижнего основания	$(a; 0; 0)$ , $\left(\frac a2; \frac{a\sqrt3}{2}; 0\right)$ , $\left(-\frac a2; \frac{a\sqrt3}{2}; 0\right)$ и симметричные им

Оси обязательно должны быть попарно перпендикулярны. В правильной треугольной призме ось $Oy$ не может идти по ребру $AC$ : угол $BAC$ равен $60^\circ$ , а не $90^\circ$ . Поэтому вершину $C$ приходится считать через высоту основания $\frac{a\sqrt3}{2}$ .

Середины рёбер и точки, делящие ребро в отношении, находятся по формуле деления отрезка: если $M$ делит $AB$ в отношении $AM : MB = m : n$ , то каждая координата $M$ равна $\frac{n x_A + m x_B}{m + n}$ . Выпишите все нужные точки в столбик до любых вычислений — так ошибка в одной координате сразу заметна.

Миф: «за координатный метод эксперт снимает балл, потому что это не геометрия». Это неверно. Критерии ФИПИ не делают различий между способами решения: оценивается только обоснованность и верность ответа. Снижение бывает за другое — за координату, взявшуюся «ниоткуда», или за формулу, применённую без указания векторов.

Уравнение плоскости и вектор нормали

Уравнение плоскости — это равенство $Ax + By + Cz + D = 0$ , а вектор $\vec n = (A; B; C)$ перпендикулярен плоскости и называется нормалью. Почти все формулы координатного метода опираются на нормаль, поэтому её нахождение — ключевой шаг.

Есть 3 способа получить уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Подстановка. Записываем $Ax + By + Cz + D = 0$ , подставляем три точки и получаем систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными. Одно неизвестное задаём сами, например $D = -6$ , остальные находим.
Уравнение в отрезках. Если плоскость пересекает оси в точках $(p; 0; 0)$ , $(0; q; 0)$ , $(0; 0; r)$ , её уравнение $\frac xp + \frac yq + \frac zr = 1$ . Если плоскость параллельна оси, соответствующее слагаемое просто пропадает.
Векторное произведение. Нормаль можно найти как вектор, перпендикулярный двум векторам плоскости: решаем систему $\vec n \cdot \vec u = 0$ , $\vec n \cdot \vec v = 0$ .

Пример: в кубе с ребром 1 плоскость $A_1BD$ отсекает на всех трёх осях отрезки длины 1, поэтому её уравнение $x + y + z = 1$ , а нормаль $\vec n = (1; 1; 1)$ . Проверка занимает секунды: подставьте $B(1; 0; 0)$ , $D(0; 1; 0)$ и $A_1(0; 0; 1)$ — каждая точка даёт $1 = 1$ .

Такая подстановка всех трёх точек — обязательная самопроверка. Ошибка в знаке одного коэффициента не видна на глаз, но портит все последующие вычисления, и балл за пункт б) теряется целиком.

Угол между прямыми: формула и пример

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, взятому без знака: $\cos\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$ . Модуль в числителе нужен потому, что угол между прямыми не может быть тупым.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точка $M$ — середина ребра $BB_1$ . Найдите угол между прямыми $AM$ и $BC_1$ .

Начало координат в $A$ , оси вдоль $AB$ , $AD$ , $AA_1$ . Тогда $M(4; 0; 2)$ , $B(4; 0; 0)$ , $C_1(4; 4; 4)$ . Векторы: $\vec{AM} = (4; 0; 2)$ , $\vec{BC_1} = (0; 4; 4)$ . Скалярное произведение $4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 8$ , длины $\sqrt{20}$ и $\sqrt{32}$ .

$\cos\varphi = \frac{8}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{32}} = \frac{8}{\sqrt{640}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ , ответ: $\arccos\frac{1}{\sqrt{10}}$ . Скрещивающиеся прямые не нужно переносить параллельно до пересечения — векторы делают это автоматически. Именно здесь координатный метод экономит больше всего: при построении пришлось бы проводить $AD_1 \parallel BC_1$ и решать треугольник по теореме косинусов.

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью дополняет до $90^\circ$ угол между прямой и нормалью, поэтому в формуле стоит синус: $\sin\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u| \cdot |\vec n|}$ . Перепутать синус с косинусом — самая частая ошибка этого типа.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1 найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $BCD_1$ .

Точки: $B(1; 0; 0)$ , $C(1; 1; 0)$ , $D_1(0; 1; 1)$ . Плоскость проходит через ребро $BC$ , параллельное оси $Oy$ , поэтому в её уравнении нет $y$ : $x + z = 1$ . Подстановка: у $B$ и $C$ получается $1 + 0 = 1$ , у $D_1$ — $0 + 1 = 1$ . Нормаль $\vec n = (1; 0; 1)$ , направляющий вектор $\vec{AC} = (1; 1; 0)$ .

$\sin\varphi = \frac{|1 + 0 + 0|}{\sqrt2 \cdot \sqrt2} = \frac12$ , значит, $\varphi = 30^\circ$ . Если бы мы по ошибке взяли косинус, вышло бы $60^\circ$ — неверный ответ, который выглядит правдоподобно. Полезная прикидка: прямая $AC$ лежит в основании, а плоскость наклонена к основанию под углом $45^\circ$ , поэтому угол должен быть меньше $45^\circ$ .

Угол между плоскостями

Угол между плоскостями — это угол между их нормалями, взятый острым: $\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}$ . Линейный угол двугранного угла строить не нужно.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $A_1BD$ и $C_1BD$ .

При ребре 1 плоскость $A_1BD$ задаётся уравнением $x + y + z = 1$ . Для $C_1BD$ подбираем уравнение $x + y - z = 1$ : точки $B(1; 0; 0)$ , $D(0; 1; 0)$ , $C_1(1; 1; 1)$ ему удовлетворяют. Нормали $\vec n_1 = (1; 1; 1)$ , $\vec n_2 = (1; 1; -1)$ .

$\cos\varphi = \frac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt3 \cdot \sqrt3} = \frac13$ , ответ: $\arccos\frac13$ . Классическим способом пришлось бы находить середину $BD$ , доказывать, что отрезки до $A_1$ и $C_1$ перпендикулярны $BD$ , и решать треугольник по теореме косинусов. Вычисление занимает три строки.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ равно $\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ . Перед подстановкой уравнение должно быть записано с нулём в правой части.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 2, боковое ребро равно 3. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $A_1BC$ .

Точки: $A(0; 0; 0)$ , $B(2; 0; 0)$ , $C(1; \sqrt3; 0)$ , $A_1(0; 0; 3)$ . Плоскость пересекает $Ox$ в точке 2, $Oz$ — в точке 3, а ось $Oy$ — в точке $q$ , которую найдём из условия, что $C$ лежит в плоскости: $\frac12 + \frac{\sqrt3}{q} = 1$ , откуда $q = 2\sqrt3$ .

Уравнение $\frac x2 + \frac{y}{2\sqrt3} + \frac z3 = 1$ после умножения на 6 превращается в $3x + \sqrt3 y + 2z - 6 = 0$ . Расстояние от начала координат: $d = \frac{|-6|}{\sqrt{9 + 3 + 4}} = \frac64 = 1{,}5$ . Проверка классическим способом: искомое расстояние — высота прямоугольного треугольника с катетами $\sqrt3$ и 3, то есть $\frac{3\sqrt3}{\sqrt{12}} = 1{,}5$ . Ответы совпали.

Не путать: координатный метод решает пункт б), а доказательство в пункте а) обычно требует обычных теорем — о трёх перпендикулярах, признака параллельности плоскостей. Полный разбор номера, включая сечения, — на странице задание 15 профильного ЕГЭ.

Когда координатный метод не подходит

Не каждую задачу 15 выгодно решать вычислением — иногда классический способ короче в 2–3 раза.

Если в пункте б) нужно найти площадь сечения с 4–6 вершинами, вычисление даёт лишь точки, а форму сечения всё равно приходится строить — смотрите построение сечений методом следов.
Если у фигуры нет трёх взаимно перпендикулярных направлений (например, наклонная призма с углом $60^\circ$ между ребром и основанием), вершины выражаются через 2–3 тригонометрические функции, и арифметика растёт быстрее, чем экономия.
Если ответ виден из 1 прямоугольного треугольника (угол между боковым ребром и основанием пирамиды), лишние вычисления только удлиняют решение.
Если до экзамена меньше 3 недель, а скалярное произведение ещё не отработано, надёжнее довести до автоматизма 2–3 классических построения.

Как оформить решение на 3 балла

Решение пункта б) этим способом должно содержать 4 элемента: описание осей, список точек, уравнение плоскости или векторы, формулу и вычисление. Без первого элемента эксперт не сможет проверить остальные.

Критерии оценивания задания построены ступенчато. Полный балл ставится, если обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. Если доказательство пункта а) отсутствует, но пункт б) решён обоснованно и верно, решение может получить 2 балла. Отдельно оценивается верное доказательство пункта а) при арифметической ошибке в пункте б). Пункт б) можно решать, используя утверждение пункта а), даже если сам пункт а) не доказан, — такое решение тоже может принести балл.

Фразу «введём систему координат с началом в точке $A$ , ось $Ox$ направим по $AB$ …» стоит писать полностью. Затем — точки в столбик, затем — уравнение с подстановкой трёх точек. Ответ записывается в том виде, который даёт формула: $\arccos\frac13$ или $\frac{\sqrt6}{2}$ , без приближённых десятичных значений. Общие правила записи развёрнутого ответа собраны в материале как оформлять вторую часть.

Миф: «формулу расстояния от точки до плоскости нужно сначала вывести, иначе её не засчитают». Это не подтверждается: формула входит в школьный курс геометрии, и на неё можно ссылаться без вывода. Обосновывать нужно другое — что выбранные оси перпендикулярны и что точки найдены верно.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать короткое вычисление в потерю 1–2 баллов из-за мелочей, которые легко проверить.

Нельзя направлять оси вдоль рёбер, которые не перпендикулярны друг другу: все формулы метода верны только в прямоугольной системе.
Нельзя брать косинус вместо синуса в задаче про угол между прямой и плоскостью.
Не следует забывать модуль в числителе: угол между прямыми или плоскостями не может быть тупым.
Не следует подставлять точку в уравнение плоскости, не перенеся всё в левую часть.
Не стоит записывать точки без пояснения, откуда они взялись: для вершины $C$ правильного треугольника нужна высота $\frac{a\sqrt3}{2}$ .
Не допускается заменять ответ приближённым числом вроде 1,22 вместо $\frac{\sqrt6}{2}$ , если задача не просит округлять.

Задачи с проверкой по теме

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы содержит 8 задач: углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями и расстояния. Ответ в каждой сведён к числу, чтобы его можно было проверить кнопкой.

Где ответ на экзамене был бы корнем или арккосинусом, здесь просят квадрат расстояния, косинус или синус угла. Решайте на бумаге: оси, точки, векторы, формула. Кнопка «Решение» показывает полный ход, а «Следующая задача →» переключает на новую. Справочный минимум формул для профиля собран на странице формулы для профильного ЕГЭ.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[4] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Можно ли так же решить пункт а)?

Иногда да: если нужно доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно показать, что направляющий вектор прямой перпендикулярен двум векторам этой плоскости. Но чаще в пункте а) требуется доказать равенство или параллельность, и обычные теоремы короче.

Какое ребро брать, если в условии длины не даны?

Углы не зависят от масштаба, поэтому для куба можно взять ребро 1 или любое удобное число. Для расстояний так делать нельзя: ответ пропорционален длине ребра.

Нужно ли знать векторное произведение?

Нет, его нет в школьной программе. Перпендикулярный плоскости вектор находится подстановкой точек или из системы двух условий перпендикулярности.

Сколько времени занимает решение?

При отработанной технике пункт б) решается за 10–15 минут. Больше всего времени уходит на запись точек и проверку подстановкой.

Что делать, если получился косинус больше 1?

Это признак арифметической ошибки: косинус и синус не могут превышать 1. Проверьте точки и подставьте их в найденное равенство заново.

Помогут ли задачи прошлых лет?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года стереометрия второй части сдвинулась с 14-го места на 15-е, а её содержание и 3 балла сохранились^[4].