Какие формулы знать наизусть к профилю: от задания 1 до 20

Почему формулы профильного ЕГЭ нужно знать наизусть

На профильном ЕГЭ 3 часа 55 минут, калькулятор запрещён, а разрешена только линейка — значит, каждую формулу приходится держать в голове или уметь быстро вывести из более простой.

По проекту спецификации ФИПИ 2027 года в работе 20 заданий: часть 1 — задания 1–13 с кратким ответом, часть 2 — задания 14–20 с развёрнутым^[1]. По сравнению с 2026 годом добавлены задание 6 о случайной величине и задание 17 о моделировании, а отдельный номер на наибольшее и наименьшее значение функции убран. Поэтому формулы по статистике теперь входят в обязательный минимум первой части.

Учить все формулы профильного уровня подряд не нужно. Многие формулы выводятся одна из другой: формулы двойного угла — из формул сложения, площадь треугольника через синус — из формулы через высоту. Ниже для каждого номера выделено ядро, без которого задание не решить, и пометки, что можно вывести. Списки сверены с демоверсией^[2] и школьными учебниками, а не с чужими шпаргалками.

Миф: «на ЕГЭ раздают таблицу формул, как на ОГЭ». Это неверно: в перечне разрешённого на профильном экзамене только линейка. Никакого официального листа с формулами для одиннадцатого класса не существует, поэтому формулы нужно знать самому.

Геометрия первой части: задания 1–3

Задания 1–3 — это планиметрия, векторы и стереометрия. Формулы здесь короткие, но без них не решить ни одну задачу, а ошибка в коэффициенте вроде $\frac13$ сразу даёт неверный ответ.

Задание 1: планиметрия

Площадь треугольника: $S = \frac12 a h_a$, $S = \frac12 ab \sin\gamma$, $S = pr$, где $p$ — полупериметр. Теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$, сумма углов треугольника 180°, сумма углов выпуклого n-угольника $180^\circ(n-2)$. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} h$, площадь ромба через диагонали $S = \frac12 d_1 d_2$.

Задание 2: векторы

Координаты вектора $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$, длина $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$, скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec a||\vec b|\cos\varphi$. Например, для $\vec a(3; 4)$ и $\vec b(1; -2)$ получаем $|\vec a| = 5$ и $\vec a \cdot \vec b = 3 - 8 = -5$. Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение равно нулю.

Задание 3: стереометрия

Объём призмы и цилиндра $V = S_{\text{осн}} h$, пирамиды и конуса $V = \frac13 S_{\text{осн}} h$, шара $V = \frac43 \pi R^3$, площадь сферы $S = 4\pi R^2$, боковая поверхность цилиндра $2\pi R h$, конуса $\pi R l$. Полезный факт из учебника Атанасяна для 10–11 классов^[4]: при увеличении всех линейных размеров тела в $k$ раз объём растёт в $k^3$ раз, а площадь поверхности — в $k^2$ раз.

Вероятность и статистика: задания 4–6

Задания 4–6 — это 3 номера на вероятность и статистику, и формул в них немного: классическая вероятность, правила сложения и умножения, а с 2027 года — характеристики случайной величины.

Задание 4: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех равновозможных. Задание 5: $P(\bar A) = 1 - P(A)$, для несовместных событий $P(A + B) = P(A) + P(B)$, для независимых $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$, в общем случае $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$. Условная вероятность $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$. Число сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ нужно реже, но знать его стоит.

Задание 6 — новое. Математическое ожидание $M(X) = \sum x_i p_i$, дисперсия $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$, стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$. Проверим на примере: величина принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3. Тогда $M(X) = 0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1$, $M(X^2) = 0{,}5 + 1{,}2 = 1{,}7$, $D(X) = 1{,}7 - 1{,}21 = 0{,}49$, $\sigma = 0{,}7$. Подробнее тема разобрана в материале про случайную величину и её характеристики.

Алгебра: уравнения, выражения, графики

Задания 7 (в 2026 году — 6), 8 (в 2026 — 7) и 12 (в 2026 — 11) держатся на трёх группах формул: степени и корни, логарифмы, тригонометрия плюс уравнения основных графиков.

Степени: $a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Логарифмы: $a^{\log_a b} = b$, $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$, $\log_a b^k = k\log_a b$, $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Пример: $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 16 = 4$.

Тригонометрия для первой части: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, формулы приведения и решения простейших уравнений: $\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, $\cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2\pi k$. Значения функций для стандартных углов вынесены в отдельную таблицу значений синуса и косинуса.

Графики: прямая $y = kx + b$, парабола $y = ax^2 + bx + c$ с вершиной в точке $x_0 = -\frac{b}{2a}$, гипербола $y = \frac{k}{x - a} + b$ с асимптотами $x = a$ и $y = b$, а также показательная и логарифмическая функции. По графику находят коэффициенты, подставляя координаты отмеченных точек.

Производная и первообразная: задание 9

Задание 9 (в 2026 году — 8) требует таблицы производных, 4 правил дифференцирования и двух смыслов производной: геометрического и физического.

Таблица: $(x^n)' = n x^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$, $(\ln x)' = \frac1x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$. Правила: $(u + v)' = u' + v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, $(f(kx + b))' = k f'(kx + b)$. Например, для $f(x) = x^3 - 3x$ получаем $f'(x) = 3x^2 - 3$ и $f'(2) = 9$.

Геометрический смысл: $f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha = k$ — угловой коэффициент касательной, уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Физический смысл: скорость $v(t) = s'(t)$, ускорение $a(t) = v'(t)$. Первообразная и площадь: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ — формула Ньютона–Лейбница из учебника Колмогорова^[5].

Текстовые и финансовые задачи: задания 10, 11, 13

Задания 10 и 11 (в 2026 году — 9 и 10) и новое задание 13 — это задачи с сюжетом: формулы здесь простые, но их нужно правильно связать с текстом.

Движение: $s = vt$, скорость по течению $v + u$, против течения $v - u$, средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Работа: $A = pt$, при совместной работе производительности складываются. Смеси: масса вещества равна массе раствора, умноженной на концентрацию. В задании 10 подставляют числа в готовую физическую формулу из условия, и там главное — единицы измерения.

Финансы для задания 13: сумма через $n$ лет при ставке $r\%$ равна $S \cdot q^n$, где $q = 1 + \frac{r}{100}$. Например, 100 000 рублей под 10% годовых через 2 года превратятся в $100\,000 \cdot 1{,}1^2 = 121\,000$ рублей. Аннуитетный платёж $x = \frac{S q^n (q - 1)}{q^n - 1}$, переплата при дифференцированных платежах $S \cdot \frac{r}{100} \cdot \frac{n+1}{2}$. Обе схемы подробно разобраны на страницах про дифференцированные платежи по кредиту и аннуитет.

Формулы второй части: задания 14–20

Во второй части формул больше, но почти все они — продолжение формул первой части: тригонометрия для задания 14, метод координат для 15, логарифмы для 16, теоремы планиметрии для 18.

• Задание 14 (в 2026 — 13). Формулы сложения $\sin(\alpha \pm \beta)$, $\cos(\alpha \pm \beta)$, двойного угла, понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$, свойства логарифмов и показательной функции.
• Задание 15 (в 2026 — 14). Уравнение плоскости $ax + by + cz + d = 0$, расстояние от точки до плоскости $\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, косинус угла между прямыми через направляющие векторы. Для точки $(2; 2; 2)$ и плоскости $x + 2y + 2z - 1 = 0$ расстояние равно $\frac{9}{3} = 3$.
• Задание 16 (в 2026 — 15). Монотонность: при $a > 1$ логарифм и показательная функция возрастают, при $0 < a < 1$ убывают. Метод рационализации: знак $\log_a f - \log_a g$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$ на области определения.
• Задание 17 (новое). Отдельных формул нет: нужны проценты, производная для поиска наибольшего значения и аккуратная запись модели.
• Задание 18 (в 2026 — 17). Теорема синусов $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$, теорема косинусов $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$, $S = \frac{abc}{4R}$, формула Герона, свойство биссектрисы, подобие.
• Задание 19 (в 2026 — 18). Дискриминант, вершина параболы, теорема Виета, уравнение окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, расстояние от точки до прямой.
• Задание 20 (в 2026 — 19). Признаки делимости, сумма арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$, оценки суммы и среднего.

Сводная таблица: формулы профильного экзамена по номерам

Таблица ниже — это минимум по каждому из 20 заданий проекта 2027 года с соответствием номерам 2026 года, взятым из документа ФИПИ о планируемых изменениях^[3].

Как выучить список и не перепутать коэффициенты

Чтобы формулы профильного курса держались до июня, учите его не подряд, а порциями по 5–7 строк с повтором через 1, 3 и 7 дней и каждый раз вспоминайте без подсказки.

Этот совет опирается на два исследования. Метаанализ Cepeda и соавторов показал, что распределённое повторение с интервалами эффективнее, чем повторение подряд за один вечер. Работа Roediger и Karpicke показала, что попытка вспомнить без подсказки закрепляет материал лучше перечитывания. Поэтому выписывать список на карточки полезнее, чем перечитывать конспект.

1. Шаг 1. Возьмите один блок, например логарифмы, и выпишите его на память. Сверьте с учебником и исправьте ошибки красным.
2. Шаг 2. Решите 5–10 задач, где эти равенства нужны. Без применения строка забывается за неделю.
3. Шаг 3. Для каждой «опасной» строки придумайте проверку на числах: $\sin 2\alpha$ при $\alpha = 30^\circ$ должен дать $\frac{\sqrt3}{2}$.
4. Шаг 4. Раз в неделю отмечайте в чек-листе вверху страницы, что вспоминается без подсказки.

Когда заучивание списка не поможет

Если задача не поддаётся, причина редко в незнании одного равенства — чаще не хватает понимания, какой приём применить.

• Если вы помните 16 групп из чек-листа, но решаете меньше 8 заданий первой части, тренируйте применение, а не запоминание.
• Если до экзамена меньше 3 недель, новые темы второй части учить поздно — повторяйте то, что уже даёт баллы.
• Если в задании 15 нет навыка строить чертёж, расстояние до плоскости по координатам не спасёт: систему координат нужно ещё ввести.
• Если в задании 19 ученик не видит графической картины, знание дискриминанта даёт не более 1 балла из 4.
• Если больше 2 ошибок за вариант связаны с арифметикой, нужна тренировка счёта: проверьте себя по таблице квадратов двузначных чисел.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать подготовку в переписывание шпаргалок: на экзамене поможет только то, что вы умеете вспомнить и применить сами.

• Нельзя проносить шпаргалки в аудиторию: нарушение Порядка проведения грозит удалением с экзамена и аннулированием результата.
• Нельзя путать $\frac13$ в объёме конуса и пирамиды с отсутствием коэффициента у цилиндра и призмы — это частая потеря балла в задании 3.
• Не следует заучивать редкие соотношения вроде формулы медианы раньше, чем выучены площади и теорема косинусов.
• Не следует писать во второй части «по известной формуле», не записав саму формулу: эксперт должен видеть, что именно применено.
• Не стоит учить старые списки по нумерации 2026 года без пересчёта: с 2027 года номера с 6-го сдвинуты.
• Не стоит отказываться от вывода: если коэффициент забыт, проверка на простом числе занимает меньше минуты.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[5] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[6] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[7] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Какие формулы профильного уровня самые важные?

Те, что нужны в первой части: площади и объёмы, вероятности, свойства степеней и логарифмов, таблица производных. Они дают до 13 первичных баллов, а вторая часть строится на них же.

Выдают ли на профильном ЕГЭ справочные материалы?

Нет. Из разрешённых средств на профиле только линейка, калькулятор запрещён. Листа со справочными данными, как на ОГЭ, не предусмотрено.

Что нового нужно выучить из-за изменений 2027 года?

Характеристики случайной величины для задания 6: математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Финансовые задачи переехали в задание 13 с кратким ответом, поэтому кредиты и вклады теперь нужны и тем, кто не берётся за вторую часть.

Можно ли во второй части пользоваться формулами не из школьного курса?

Можно, но факты вне школьной программы безопаснее доказывать или хотя бы чётко называть. Если соотношение есть в школьном учебнике, достаточно сослаться на него по названию.

Сколько времени уйдёт на заучивание?

При повторении по 15–20 минут в день основной список закрепляется примерно за месяц. Дольше держатся те строки, которые вы применяли в задачах, а не только читали.

Нужна ли тригонометрия, если я решаю только первую часть?

Да. Тождество, значения для стандартных углов и простейшие уравнения встречаются в заданиях 7 и 8. Без них теряется 1–2 балла даже в первой части.