Кредит с убывающими выплатами: как считать долг и переплату

Как устроены дифференцированные платежи

Дифференцированные платежи — это выплаты, которые уменьшают долг на равные части: при кредите $S$ на $n$ периодов основной долг каждый раз падает на $\frac Sn$. В задачах ЕГЭ процесс всегда описан двумя действиями за период.

1. Начисление. В начале периода долг увеличивается на $r\%$: остаток $D$ превращается в $D\left(1 + \frac{r}{100}\right)$.
2. Выплата. Заёмщик платит ровно столько, чтобы после платежа долг стал на $\frac Sn$ меньше, чем был до начисления.

Отсюда следует главное наблюдение: каждый платёж состоит из двух частей — постоянной части $\frac Sn$ и процентов, начисленных на текущий остаток. Остаток уменьшается, значит, проценты тоже уменьшаются, и каждый следующий платёж меньше предыдущего на одну и ту же величину. Последовательность выплат — убывающая арифметическая прогрессия, а последовательность остатков долга $S, \frac{(n-1)S}{n}, \ldots, \frac Sn, 0$ — тоже арифметическая прогрессия.

В условии такую схему узнают по фразе «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на то же число предыдущего месяца». Слово «дифференцированные» могут и не написать — важна именно эта формулировка. Если же сказано, что все платежи равны, перед вами другая модель, и для неё нужна страница про аннуитетные платежи и вклады.

Дифференцированные платежи: формулы остатка и выплаты

Если кредит $S$ взят на $n$ периодов под $r\%$, то после $k$ платежей остаток долга равен $\frac{(n-k)S}{n}$, а $k$-й платёж равен $x_k = \frac Sn + \frac{r}{100} \cdot \frac{(n-k+1)S}{n}$.

Первый платёж — самый большой: $x_1 = \frac Sn + \frac{r}{100}S$. Последний — самый маленький: $x_n = \frac Sn\left(1 + \frac{r}{100}\right)$. Соседние платежи отличаются на $\frac{r}{100} \cdot \frac Sn$. Посмотрим, как выглядят дифференцированные платежи на конкретном примере: кредит 1 200 000 рублей на 6 месяцев под 2% в месяц. Долг в таблице не может уменьшаться скачками: он падает ровно на 200 000 за месяц.

Каждая выплата здесь равна 200 000 плюс проценты на остаток. Разница между первым и последним платежом — 20 000 рублей, то есть 5 шагов по 4 000. Общая сумма выплат 1 284 000 рублей, из которых 84 000 — переплата.

Переплата: откуда берётся множитель (n + 1)/2

Переплата — это сумма всех начисленных процентов, а не разница между первым и последним платежом. Проценты начисляются на остатки $S, \frac{(n-1)S}{n}, \ldots, \frac Sn$, поэтому их сумма равна $\frac{r}{100}$ от суммы этих остатков. Остаётся применить теорему о сумме арифметической прогрессии.

Остатки образуют арифметическую прогрессию из $n$ членов от $S$ до $\frac Sn$. По формуле суммы прогрессии из учебника алгебры Макарычева^[4] их сумма равна $\frac{S + \frac Sn}{2} \cdot n = \frac{S(n+1)}{2}$. Значит,

$$\text{П} = \frac{r}{100} \cdot \frac{S(n+1)}{2}, \qquad \text{сумма выплат} = S + \text{П} = S\left(1 + \frac{r(n+1)}{200}\right).$$

Проверим на таблице: $0{,}02 \cdot \frac{1\,200\,000 \cdot 7}{2} = 84\,000$ — совпадает. Множитель $\frac{n+1}{2}$ — это среднее число «полных долгов», на которые начислялись проценты. Если формула забылась, её всегда можно восстановить за минуту через сумму остатков: это надёжнее, чем вспоминать готовое выражение. Готовую формулу нельзя применять, если долг убывает неравномерно. Повторить сумму прогрессии поможет страница арифметическая прогрессия и её сумма.

Миф: «переплата равна проценту, умноженному на сумму кредита и на срок». Это неверно: проценты каждый раз начисляются на уменьшающийся остаток, а не на всю сумму. Для кредита из таблицы такая «формула» дала бы $0{,}02 \cdot 1\,200\,000 \cdot 6 = 144\,000$ вместо верных 84 000 рублей.

Разбор задач на переплату и сумму кредита

Если в задаче известны сумма, срок и ставка, ответ получается одной подстановкой. Сложнее, когда известна общая выплата, а найти нужно сам кредит: тогда формулу приходится решать как уравнение.

Кредит 1 800 000 рублей взят на 24 месяца. Каждый месяц долг сначала возрастает на 1%, затем выплачивается часть долга так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Найдите общую переплату по кредиту.

По формуле: $\text{П} = 0{,}01 \cdot \frac{1\,800\,000 \cdot 25}{2} = 225\,000$ рублей. Прикидка подтверждает порядок, а ответ не может быть больше $0{,}01 \cdot 1\,800\,000 \cdot 24 = 432\,000$: средний остаток чуть больше половины кредита, около 940 000 рублей, 1% от него за 24 месяца — около 225 000.

Кредит взят на 10 месяцев под 3% в месяц, долг убывает равными частями. Общая сумма выплат составила 2 330 000 рублей. Какая сумма была взята в кредит?

Сумма выплат равна $S\left(1 + \frac{3 \cdot 11}{200}\right) = 1{,}165S$. Из уравнения $1{,}165S = 2\,330\,000$ получаем $S = 2\,000\,000$ рублей. Делить на 1,165 без калькулятора удобно так: $2\,330\,000 : 1{,}165 = 2\,330\,000\,000 : 1165$, а $1165 \cdot 2 = 2330$.

Обратные задачи: ставка, срок и первый платёж

Чтобы найти ставку или срок, формулу переплаты решают относительно $r$ или $n$. Чтобы найти кредит по наибольшему платежу, используют выражение для первой выплаты.

• Ставка. Кредит 600 000 рублей на 12 месяцев, переплата 117 000 рублей. Из $\frac{r}{100} \cdot \frac{600\,000 \cdot 13}{2} = 117\,000$ получаем $r = 3$.
• Срок. Кредит 900 000 рублей под 2% в месяц, переплата 171 000 рублей. Тогда $\frac{n+1}{2} = \frac{171\,000}{18\,000} = 9{,}5$, откуда $n = 18$ месяцев.
• Первый платёж. Кредит на 20 месяцев под 2%, наибольший платёж 210 000 рублей. $x_1 = S\left(\frac{1}{20} + 0{,}02\right) = 0{,}07S$, значит, $S = 3\,000\,000$ рублей, а переплата $0{,}02 \cdot \frac{3\,000\,000 \cdot 21}{2} = 630\,000$ рублей.

В последней задаче полезно найти и наименьший платёж: $\frac{3\,000\,000}{20} \cdot 1{,}02 = 153\,000$ рублей. Если по условию нужна именно эта величина, не путайте её с основной частью долга 150 000 — к ней ещё прибавляются проценты за последний период.

Нестандартная схема: остаток долга задан таблицей

Не во всех задачах долг убывает равномерно: иногда остатки на конец каждого года даны таблицей. Формула с множителем $\frac{n+1}{2}$ тогда не работает, но общий принцип остаётся: переплата равна $\frac{r}{100}$, умноженному на сумму всех остатков, на которые начислялись проценты.

Кредит $S$ рублей взят на 3 года под 10% годовых. Долг после каждого платежа должен составлять $0{,}6S$, $0{,}3S$ и $0$. Общая сумма выплат равна 2 380 000 рублей. Найдите $S$.

Проценты начислялись на остатки $S$, $0{,}6S$ и $0{,}3S$, их сумма $1{,}9S$. Переплата $0{,}1 \cdot 1{,}9S = 0{,}19S$, сумма выплат $1{,}19S = 2\,380\,000$, откуда $S = 2\,000\,000$ рублей. Проверка по годам: $2\,200\,000 - 1\,200\,000 = 1\,000\,000$, затем $1\,320\,000 - 600\,000 = 720\,000$, затем $660\,000$. Сумма $2\,380\,000$ — верно.

Этот же приём выручает, если в середине срока схема меняется, например, первые месяцы долг не уменьшается, а затем убывает равными частями. Выпишите все остатки в строку, сложите их, умножьте на ставку — и переплата найдена без запоминания отдельных формул.

Где эта задача на экзамене: № 13 и № 16

По проекту ФИПИ 2027 года финансовая задача переехала в первую часть: № 13 — текстовая задача, в том числе на кредиты и вклады, с кратким ответом и 1 баллом^[1]. В 2026 году такая задача была экономической задачей № 16 с развёрнутым ответом на 2 балла, и демоверсия того года показывала её во второй части.

«Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года» прямо говорят, что отдельное экономическое задание второй части убрано, а тема перенесена в № 13^[2]. Для подготовки это значит две вещи. Во-первых, оформление больше не проверяется — засчитывается только число в бланке. Во-вторых, ошибка в одной цифре стоит всего балла, частичных баллов за ход решения в первой части не бывает. Подробности о новых номерах — в обзоре изменения профильного ЕГЭ по проекту 2027.

В бланк записывают только число: без пробелов между разрядами, без слова «рублей» и без единиц. Ответ 225 000 записывается как 225000. Сборники типовых вариантов под редакцией Ященко^[3] по-прежнему полезны: задачи прошлых лет про дифференцированные платежи почти не отличаются по содержанию, меняется только форма ответа.

Тренажёр: как решать задачи № 13

Тренажёр вверху страницы — это генератор задач № 13 с бесконечными вариантами: одни задачи про кредит, где дифференцированные платежи уменьшают долг равномерно, другие про вклад со сложными процентами. Числа каждый раз новые.

Решите задачу на бумаге, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» показывает формулу и вычисление, «Следующая задача →» генерирует новое условие, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают, насколько стабильно получается. Ориентир готовности — не менее 10 верных ответов подряд без подсказок. Открывать решение стоит только после своей попытки: проверочное воспроизведение без подсказки, по исследованию Roediger и Karpicke^[5], запоминается лучше перечитывания. Задачи про вклады удобно повторить по странице о сложных процентах.

Когда формула (n + 1)/2 не подходит

Формула переплаты верна только при равномерном уменьшении долга с первого до последнего платежа. В 4 типичных случаях её применять нельзя.

• Если в условии все платежи равны (например, 2 одинаковых платежа по 1 210 000 рублей), это аннуитетная схема.
• Если первые 2–3 месяца выплачиваются только проценты, а долг не уменьшается, остатки уже не образуют одну прогрессию.
• Если остатки на конец 1-го, 2-го и 3-го года заданы таблицей, переплату считают через сумму остатков.
• Если ставка меняется по годам (например, 10% в первый год и 20% во второй), дифференцированные платежи считают по годам: проценты отдельно для каждого периода.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл за задачу, в которой все вычисления сводятся к 1–2 строкам: ошибки здесь почти всегда невнимательные.

• Нельзя умножать ставку на сумму кредита и на срок: проценты начисляются на остаток, а не на исходную сумму.
• Нельзя путать переплату с общей суммой выплат: прочитайте вопрос ещё раз перед записью ответа.
• Не следует писать в бланк пробелы между разрядами, слово «рублей» или знак валюты.
• Не следует подставлять $n$ вместо $n + 1$ в формулу переплаты: проценты начисляются $n$ раз, но средний остаток равен $\frac{S(n+1)}{2n}$.
• Не стоит переводить проценты в дробь «на глаз»: 1,5% — это 0,015, а не 0,15.
• Не стоит пропускать прикидку: переплата не может превышать $\frac{r}{100} \cdot S \cdot n$.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[5] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Чем такая схема отличается от равных платежей?

При равномерном погашении выплаты уменьшаются, а при аннуитете они одинаковые. При одинаковых сумме, сроке и ставке первая схема даёт меньшую общую выплату, потому что основная часть суммы возвращается быстрее.

Нужно ли учить формулу k-го платежа?

Не обязательно: дифференцированные платежи всегда можно восстановить по смыслу. Достаточно помнить, что выплата равна постоянной части плюс проценты на текущий остаток, — любую выплату можно получить из этого правила.

Будет ли эта тема во второй части в 2027 году?

По проекту ФИПИ отдельной экономической задачи с развёрнутым ответом больше нет: финансовые сюжеты перенесены в задание 13 первой части. Новое задание 17 посвящено математическому моделированию.

Что делать, если ответ получился нецелым?

Проверьте, не перепутаны ли $n$ и $n + 1$ и правильно ли переведён процент в дробь. В задачах первой части числа подобраны так, чтобы ответ записывался целым числом или конечной десятичной дробью.

Как считать без калькулятора большие суммы?

Сокращайте нули заранее: $0{,}02 \cdot 1\,200\,000 = 24\,000$. Удобно сначала найти проценты за первый период, а затем умножить их на $\frac{n+1}{2}$.

Подходят ли задачи прошлых лет для тренировки?

Да. Сюжет про равномерное погашение был основой экономической задачи много лет, а в задании 13 достаточно найти одно число — ход решения не меняется.