Кредит равными выплатами и вклад с пополнением: формулы и разбор

Что такое аннуитетные платежи в задаче ЕГЭ

Аннуитетные платежи — это равные выплаты по кредиту, при которых в начале каждого периода долг умножается на $q = 1 + \frac{r}{100}$, а затем уменьшается на одну и ту же сумму $X$. Последний платёж обнуляет долг.

В условиях задач слово «аннуитет» встречается редко. Обычно пишут «кредит гасится двумя равными платежами» или «выплаты одинаковые каждый год». Именно эта фраза отличает аннуитет от схемы, где долг уменьшается на одну и ту же сумму: там выплаты разные, и для неё есть отдельная страница про кредит с дифференцированными платежами.

Внутри аннуитета происходит важная вещь, которую полезно понимать до всяких формул. Платёж одинаковый, но его состав меняется: в начале большая часть выплаты уходит на проценты, а основной долг уменьшается медленно. К концу срока проценты маленькие, и почти весь платёж гасит долг. Поэтому остаток долга после первой равной выплаты нельзя найти делением кредита на число лет.

Миф: «при равных платежах каждый год гасится одинаковая часть долга». Это неверно. В кредите 2 440 000 рублей под 25% на 3 года с выплатами по 1 250 000 из первого платежа на проценты уходит 610 000 рублей, на долг — 640 000, а из последнего на проценты — только 250 000.

Уравнение для равных выплат и формула

Чтобы составить уравнение, достаточно расписать долг по годам: после первого года он равен $Sq - X$, после второго $(Sq - X)q - X = Sq^2 - Xq - X$, после $n$-го — $Sq^n - X(q^{n-1} + \ldots + q + 1)$. Последнее выражение приравниваем к нулю. Дальше работает теорема о сумме геометрической прогрессии.

В скобке стоит сумма геометрической прогрессии со знаменателем $q$. По формуле суммы из учебника алгебры Макарычева^[4] она равна $\frac{q^n - 1}{q - 1}$, поэтому

$$X = \frac{S q^n (q - 1)}{q^n - 1}.$$

На экзамене эту формулу можно не запоминать: при $n = 2$ или $n = 3$ уравнение проще выписать напрямую, а большие степени в задачах первой части не встречаются. Удобнее записывать $q$ обыкновенной дробью: $1{,}25 = \frac54$, $1{,}2 = \frac65$, $1{,}1 = \frac{11}{10}$. Тогда $q^2$ и $q^3$ считаются в уме, а дроби сокращаются ещё до умножения больших чисел.

Есть второй, «обратный» способ рассуждать — через приведение платежей к моменту выдачи кредита. Платёж, внесённый через $k$ лет, стоит в сегодняшних деньгах $\frac{X}{q^k}$. Сумма кредита равна сумме всех приведённых платежей: $S = \frac Xq + \frac{X}{q^2} + \ldots + \frac{X}{q^n}$. Это та же формула, но в обратных задачах — «найдите сумму кредита» — она короче.

Разбор задачи: кредит на 2 года

Если кредит гасится двумя равными платежами, уравнение имеет вид $Sq^2 = Xq + X$, и задача решается в 2 строки.

В июле взят кредит 2 100 000 рублей на 2 года. Каждый январь долг возрастает на 10%, с февраля по июнь выплачивается часть долга. Кредит гасится двумя равными платежами. Найдите общую сумму выплат.

$q = 1{,}1$, $q^2 = 1{,}21$. Уравнение: $2\,100\,000 \cdot 1{,}21 = 1{,}1X + X$, то есть $2\,541\,000 = 2{,}1X$, $X = 1\,210\,000$ рублей. Общая сумма выплат $2 \cdot 1\,210\,000 = 2\,420\,000$ рублей, переплата 320 000.

Проверка по годам обязательна и занимает 20 секунд: $2\,100\,000 \cdot 1{,}1 = 2\,310\,000$, после платежа $1\,100\,000$; через год $1\,210\,000$, после платежа 0. Если в конце остаётся не ноль, ошибка в уравнении, а не в арифметике.

Три равных платежа и обратный счёт

Если платежей 3, уравнение $Sq^3 = X(q^2 + q + 1)$ решают с дробным $q$, иначе числа становятся громоздкими. Обратная задача — найти кредит по известному платежу — решается приведением.

Кредит взят на 3 года под 25% годовых и погашается тремя равными платежами по 1 250 000 рублей. Найдите сумму кредита.

$\frac1q = \frac45 = 0{,}8$. Тогда $S = 1\,250\,000 \cdot (0{,}8 + 0{,}64 + 0{,}512) = 1\,250\,000 \cdot 1{,}952 = 2\,440\,000$ рублей. Прямая проверка: $2\,440\,000 \cdot \frac54 = 3\,050\,000$, минус платёж — $1\,800\,000$; $1\,800\,000 \cdot \frac54 = 2\,250\,000$, минус платёж — $1\,000\,000$; $1\,000\,000 \cdot \frac54 = 1\,250\,000$, минус платёж — 0.

Через уравнение пришлось бы умножать $1\,250\,000$ на $\frac{61}{16}$ и делить на $\frac{125}{64}$ — результат тот же, но путь длиннее. Выбирайте способ по вопросу: «найдите платёж» — прямое уравнение, «найдите кредит» — приведённые платежи.

Аннуитетные платежи против убывающих: что выгоднее

При одинаковых сумме, сроке и ставке аннуитетные платежи дают большую переплату, чем схема с равномерным уменьшением долга. Причина в том, что при равных выплатах долг дольше остаётся большим, и проценты начисляются на большие остатки.

Зато первая выплата при аннуитете меньше: 2 500 000 против 2 700 000 рублей. Именно поэтому в задачах встречаются оба вопроса — «какая схема дешевле в сумме» и «при какой схеме наибольший платёж меньше». Отвечать нужно строго на заданный вопрос.

Миф: «равные выплаты всегда выгоднее, раз первый платёж меньше». По общей сумме это не подтверждается: в таблице переплата при равных выплатах на 50 000 рублей больше. Меньший первый платёж и меньшая переплата — разные критерии.

Вклады с пополнением и снятием

Вклад — это та же цепочка «умножить на $q$, прибавить или вычесть сумму», только деньги движутся в обратную сторону. Если вклад пополняют, к сумме прибавляют, если снимают — вычитают.

В учебниках алгебры такой рост суммы называют сложными процентами. Главное — точно прочитать, когда происходит пополнение: до начисления процентов или после. Фраза «в конце года после начисления процентов вкладчик добавил 100 000» означает, что эти 100 000 начнут приносить доход только со следующего года.

Вклад 500 000 рублей открыт под 10% годовых. В конце первого и второго года после начисления процентов вкладчик добавлял по 100 000 рублей. Какая сумма будет на вкладе в конце третьего года?

Считаем по шагам: $500\,000 \cdot 1{,}1 + 100\,000 = 650\,000$; $650\,000 \cdot 1{,}1 + 100\,000 = 815\,000$; $815\,000 \cdot 1{,}1 = 896\,500$ рублей. Общая формула для такого вклада — снова сумма геометрической прогрессии, но при 2–3 шагах пошаговый счёт быстрее и надёжнее.

Обратная задача: вклад 1 000 000 рублей под 20%, после первого года его пополнили, через 2 года на счёте 2 160 000. Уравнение $(1\,200\,000 + P) \cdot 1{,}2 = 2\,160\,000$ даёт $P = 600\,000$ рублей. Если сюжет про проценты в целом кажется трудным, начните со страницы о процентах и сложных процентах.

Задача № 13 по проекту 2027: формат ответа

По проекту ФИПИ 2027 года финансовые задачи — кредиты и вклады — входят в № 13 первой части: это текстовая задача с кратким ответом на 1 балл^[1]. В 2026 году кредиты были темой экономической задачи № 16 с развёрнутым ответом на 2 балла.

Отдельное задание второй части на экономику, по «Планируемым изменениям в КИМ ЕГЭ 2027 года», убрано^[2]. Значит, решение не оформляется и не проверяется экспертом: в бланк идёт только число, например 1210000 — без пробелов, слова «рублей» и знака валюты. Ошибка в одном разряде не может принести частичный балл. Формат задачи с кратким ответом можно посмотреть в проекте демоверсии ФИПИ 2027 года. Как изменилась вся нумерация, рассказано на странице изменения профильного ЕГЭ, а сам номер разобран в материале задание 13 профильного ЕГЭ.

Задачи прошлых лет из сборников под редакцией Ященко^[3] подходят для тренировки без изменений: сюжеты про равные выплаты в них те же, просто в 2027 году достаточно получить одно число.

Когда формула аннуитета не подходит

Формула $X = \frac{Sq^n(q-1)}{q^n - 1}$ верна только при равных платежах и постоянной ставке. В 4 типичных ситуациях её применять нельзя.

• Если 2 платежа разные (например, второй вдвое больше первого), уравнение составляют заново: $Sq^2 = Xq + 2X$.
• Если ставка меняется (10% в первый год, 20% во второй), коэффициенты $q$ по годам разные, и прогрессии нет.
• Если долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму (например, на треть за каждый из 3 лет), это схема с убывающими выплатами, а не равные платежи.
• Если в задаче вклад и пополнение делается до начисления процентов, сдвигается каждое из 2–3 слагаемых — считайте по шагам.

Чего делать нельзя

Нельзя путать порядок действий: в задачах про равные выплаты сначала начисляются проценты, затем вносится платёж, и перестановка этих 2 шагов меняет ответ.

• Нельзя делить кредит на число лет, чтобы найти остаток после первого платежа: при равных выплатах долг убывает неравномерно.
• Нельзя умножать на $q$ сумму, которую внесли «после начисления процентов», в том же году.
• Не следует считать $1{,}25^3$ в десятичных дробях, если можно взять $\frac{125}{64}$ и сократить.
• Не следует пропускать проверку по годам: долг после последнего платежа обязан быть равен нулю.
• Не стоит отвечать «размером платежа», если спрашивают переплату или общую сумму выплат.
• Не стоит записывать в бланк пробелы между разрядами и единицы измерения.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 задач: 5 про кредит с равными выплатами и 3 про вклады с пополнением и снятием. Все ответы — целые числа рублей.

Решайте сначала на бумаге, затем вводите число и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» раскрывает уравнение и вычисления, «Следующая задача →» переключает на новую задачу, а задачи идут по кругу, так что к трудной можно вернуться через день. Исследование Cepeda и соавторов^[5] показало, что распределённое повторение с интервалами эффективнее решения всего подряд за один вечер.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[5] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Нужно ли учить общую формулу платежа?

Нет. При 2–3 выплатах уравнение по годам выписывается быстрее, чем вспоминается формула, и в нём труднее ошибиться.

Почему удобнее писать q дробью?

Потому что степени дробей $\frac54$, $\frac65$ считаются в уме, а знаменатели сокращаются с круглыми суммами кредита. Десятичные степени вроде 1,728 легко посчитать с ошибкой.

Что значит «привести платёж к моменту выдачи»?

Разделить платёж на $q$ столько раз, сколько периодов прошло с момента выдачи. Сумма приведённых платежей равна кредиту — это быстрый способ найти сумму по известной выплате.

Чем задача про вклад отличается от задачи про кредит?

Только знаком: в кредите выплаты вычитаются из долга, во вкладе пополнения прибавляются к сумме. Цепочка «умножить на $q$ и прибавить или вычесть» одна и та же.

Бывают ли в задании 13 задачи с месячной ставкой?

Да, ставка может быть месячной или годовой, но устройство расчёта не меняется. Важно, сколько раз начисляются проценты, а не как называется период.

Сколько времени тратить на такую задачу?

При отработанной технике — 5–8 минут вместе с проверкой по годам. Если уравнение не складывается за 10 минут, переходите к другим номерам и возвращайтесь в конце.