Прогрессия с постоянной разностью: n-й член, сумма и задачи ОГЭ

Арифметическая прогрессия: определение и разность

Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ называют арифметической прогрессией, если $a_{n+1} = a_n + d$ для любого номера $n$. Число $d$ — это разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ и так далее.

Разность может быть любой. При $d > 0$ прогрессия возрастает: $3, 7, 11, 15, \ldots$ При $d < 0$ убывает: $20, 17, 14, 11, \ldots$ При $d = 0$ все члены равны. Чтобы найти разность, вычитают из любого члена предыдущий — именно в таком порядке, иначе знак получится противоположным. Учебник Макарычева для 9 класса^[1] вводит прогрессии в отдельной главе, а по кодификатору ФИПИ^[2] тема входит в проверяемое содержание ОГЭ.

На экзамене прогрессии встречаются в задании 14 ОГЭ — практической задаче, где последовательность «спрятана» в сюжете: ряды кресел в зале, ежедневные тренировки, высота сложенных стаканов, капли из крана. Задание стоит 1 балл, а ответ — одно число. Арифметическая прогрессия также появляется в задачах на смекалку и в задачах про числа, где важно умение быстро считать суммы.

Формула n-го члена

Формула n-го члена $a_n = a_1 + (n - 1)d$ получается из простого наблюдения: чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно сделать ровно $n - 1$ шагов, и каждый шаг прибавляет $d$.

Например, при $a_1 = 7$ и $d = 4$ пятнадцатый член равен $7 + 14 \cdot 4 = 63$. Классическая ошибка — умножить разность на $n$, а не на $n - 1$: тогда получится $7 + 15 \cdot 4 = 67$, то есть шестнадцатый член. Номер $n$ не может быть нулём или отрицательным: нумерация начинается с единицы. Простая самопроверка — подставить $n = 1$: формула должна вернуть сам $a_1$, и $(n - 1)d$ при этом действительно обращается в ноль.

Формулу удобно читать и как линейную функцию: $a_n = dn + (a_1 - d)$. Значит, точки $(n; a_n)$ лежат на одной прямой с угловым коэффициентом $d$ — это помогает в задачах с графиками и объясняет, почему прогрессия с положительной разностью неограниченно растёт. О наклоне прямой подробнее — в статье линейная функция и угловой коэффициент.

Разность по двум известным членам

В арифметической прогрессии $a_3 = 11$, $a_9 = 29$. Найдите $a_1$ и $d$.

Между третьим и девятым членами 6 шагов, поэтому $6d = 29 - 11 = 18$, $d = 3$. От третьего члена к первому — два шага назад: $a_1 = 11 - 2 \cdot 3 = 5$. Проверка: $a_9 = 5 + 8 \cdot 3 = 29$. Общее правило: $a_m - a_k = (m - k)d$ — так разность находится без системы уравнений. Этот приём — прямое следствие теоремы о формуле n-го члена, которую учебник доказывает методом последовательных шагов.

Номер члена с заданным значением

В прогрессии $5, 8, 11, \ldots$ найдём номер члена, равного 62. Решаем уравнение $5 + 3(n - 1) = 62$: $3(n - 1) = 57$, $n - 1 = 19$, $n = 20$. Если бы $n$ получилось дробным, это означало бы, что такого числа в прогрессии нет: номер члена может быть только натуральным.

Миф: «арифметическая прогрессия — это всегда возрастающие натуральные числа». Неверно: разность бывает отрицательной и дробной, а члены — отрицательными, например $-20, -17, -14, \ldots$ или $1; 0{,}5; 0; -0{,}5$. Ограничений на знак членов и разности не существует, кроме одного: разность постоянна.

Сумма первых n членов

Сумма первых $n$ членов равна среднему арифметическому первого и последнего члена, умноженному на их количество: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$. Если последний член неизвестен, подставляют $a_n = a_1 + (n - 1)d$.

Вывод занимает две строки. Запишем сумму дважды — в прямом и обратном порядке — и сложим столбиком: в каждой паре получится $a_1 + a_n$, потому что при движении слева направо члены растут на $d$, а справа налево убывают на $d$. Пар ровно $n$, значит, удвоенная сумма равна $(a_1 + a_n)n$. Сама формула суммы приведена в учебнике 9 класса и в справочных материалах ОГЭ от ФИПИ, но вывод помогает не перепутать множители. Например, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна $\frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = 5050$.

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Количество мест по рядам — арифметическая прогрессия с $a_1 = 18$, $d = 2$. В последнем ряду $a_{12} = 18 + 11 \cdot 2 = 40$ мест. Всего $S_{12} = \frac{(18 + 40) \cdot 12}{2} = 348$. Ответ: 348. Вопрос «сколько мест в последнем ряду» дал бы ответ 40 — внимательно читайте, что именно спрашивают: в задании 14 ОГЭ спросить могут и о члене, и о сумме.

Полезное следствие: сумма первых $n$ нечётных чисел равна $n^2$. Действительно, $1 + 3 + \ldots + 19 = \frac{(1 + 19) \cdot 10}{2} = 100 = 10^2$.

Характеристическое свойство и обратные задачи

Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого, — это среднее арифметическое соседних: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$. Верно и обратное: если это выполняется для всех членов, последовательность — арифметическая прогрессия. Это свойство в учебнике формулируется как теорема, и на него можно ссылаться в решении второй части без доказательства.

Свойство помогает находить пропущенный член без разности: если $a_3 = 11$ и $a_5 = 19$, то $a_4 = 15$. Оно же обобщается на члены, равноудалённые от данного: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$. А если требуется проверить, образуют ли числа $x - 1$, $2x$, $4x - 3$ прогрессию, достаточно составить уравнение $2 \cdot 2x = (x - 1) + (4x - 3)$, откуда $x = 4$, и получить последовательность $3, 8, 13$.

Обратная задача на сумму — найти число членов по сумме. Бригада в первый день уложила 30 м² плитки, а каждый следующий день — на 5 м² больше. За сколько дней она уложит 315 м²? Из формулы $\frac{(60 + 5(n - 1))n}{2} = 315$ получаем квадратное уравнение $n^2 + 11n - 126 = 0$, его натуральный корень $n = 7$. Проверка: $S_7 = \frac{(30 + 60) \cdot 7}{2} = 315$. Второй корень уравнения отрицателен и не подходит: число дней не может быть отрицательным.

Генератор задания 14: тренировка на сюжетах

Тренажёр вверху страницы — «Тренажёр · № 14 ОГЭ · бесконечные варианты»: он выдаёт практические задачи о туристе, который каждый день проходит на несколько километров больше, и задачи о колонии бактерий, которая удваивается через равные промежутки времени.

Задачи про туриста — это арифметическая прогрессия: спрашивают либо путь в n-й день (формула члена), либо путь за n дней (формула суммы). Задачи про бактерии относятся к другой последовательности — каждый член в 2 раза больше предыдущего, такую называют геометрической прогрессией; её формулы разобраны в статье геометрическая прогрессия и её сумма. Определите тип до начала вычислений, введите ответ и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» покажет формулу, «Следующая задача →» — новый сюжет. Ориентир: 10 задач подряд с 9 верными ответами.

Экзаменационные сюжеты разнообразнее генератора, поэтому после него разберите 10–15 задач с другими формулировками — в разборе задания 14 ОГЭ собраны типовые фабулы.

Типичные ошибки

Ошибок в этой теме немного, их 4 вида, и все связаны не с формулами, а с тем, как условие переводится в $a_1$, $d$ и $n$.

• Лишний шаг. В формуле стоит $n - 1$, а не $n$: от первого до десятого члена 9 шагов.
• Член вместо суммы. «Сколько прошёл в 8-й день» и «сколько прошёл за 8 дней» — разные вопросы.
• Неверный первый член. В задачах про время «через 3 часа» часто означает четвёртый член, если отсчёт начинается с нулевого момента.
• Знак разности. В убывающей прогрессии $d < 0$; если подставить его без минуса, члены начнут расти.

Когда этот подход не поможет

Не каждая задача с «каждый день больше» решается формулами этой статьи — в нескольких случаях нужен другой инструмент.

• Если величина растёт не на одно и то же число, а в одно и то же число раз (например, в 2 раза), это геометрическая прогрессия.
• Если приращение каждый день меняется (на 1, потом на 3, потом на 5), сама последовательность не арифметическая — арифметическими будут её разности.
• Если до экзамена меньше 2 недель и формулы путаются, выпишите 5–6 членов вручную: в задании 14 это часто быстрее формулы.
• Если в задаче проценты от предыдущего значения (рост на 10 % в месяц), формула суммы арифметической прогрессии даст неверный ответ.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл в лёгком номере — эти 6 правил защищают от самых частых промахов.

• Нельзя умножать разность на номер члена: множитель всегда $n - 1$.
• Нельзя применять формулы суммы, не проверив, что разность постоянна.
• Не следует находить разность вычитанием предыдущего члена из следующего в обратном порядке — знак станет неверным.
• Не следует записывать в бланк дробный номер члена: номер может быть только натуральным.
• Не стоит выписывать 30 членов подряд вместо формулы — возрастает риск арифметической ошибки.
• Не допускается писать в бланк единицы измерения: только число, например «348».

Миф: «формула суммы работает только для чётного числа членов, ведь их нужно разбить на пары». Не подтверждается: при нечётном $n$ средний член образует «пару сам с собой», и формула $\frac{(a_1 + a_n)n}{2}$ остаётся верной — например, $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

Вопросы и ответы

Какую формулу суммы выбрать?

Если известен последний член — короткую, через $a_1 + a_n$. Если известны только $a_1$, $d$ и $n$ — формулу через разность, она избавляет от лишнего шага.

Есть ли формулы прогрессий в справочных материалах ОГЭ?

Справочные материалы утверждает ФИПИ, и формулы прогрессий там традиционно присутствуют. Но понимать, откуда они берутся, всё равно нужно: иначе трудно перевести сюжет задачи в $a_1$, $d$ и $n$.

Сколько баллов даёт задание 14 ОГЭ?

По спецификации ФИПИ^[3] — 1 первичный балл, как и любое задание первой части.

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число, в геометрической — умножают на одно и то же число. Поэтому первая растёт равномерно, как прямая, а вторая при знаменателе больше 1 растёт всё быстрее. Перепутать их в задаче нельзя: формулы суммы у них совершенно разные.

Может ли разность быть дробной?

Да, например $d = 0{,}5$ в последовательности $1; 1{,}5; 2; 2{,}5$. Формулы от этого не меняются.

Как найти первый положительный член убывающей или возрастающей последовательности?

Решить неравенство $a_1 + (n - 1)d > 0$ и взять наименьшее натуральное $n$. Для $a_1 = -20$, $d = 3$ получаем $n > 7\frac{2}{3}$, то есть $n = 8$ и $a_8 = 1$.

Сколько задач решить, чтобы закрепить тему?

Около 25: по 5 на член, сумму, разность по двум членам, номер члена и сюжетные задачи. Разбейте их на 3–4 подхода через несколько дней — так навык сохранится до экзамена.