Знаменатель, n-й член и сумма геометрической прогрессии

Что такое знаменатель и как его найти

Знаменатель $q$ — это число, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий. Его находят делением любого члена на предыдущий: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

Возьмём последовательность 3, 6, 12, 24, 48. Делим: $6 : 3 = 2$, $12 : 6 = 2$, $24 : 12 = 2$. Частное постоянно, значит, перед нами прогрессия со знаменателем 2. Последовательность 2, 6, 12 прогрессией не является: $6 : 2 = 3$, а $12 : 6 = 2$. Одной пары соседей мало — проверять нужно все отношения, которые даны.

В учебнике Макарычева для 9 класса^[1] принято важное ограничение: ни первый член, ни знаменатель не могут равняться нулю. Иначе начиная со второго места все члены стали бы нулями, а деление на предыдущий член потеряло бы смысл. Поэтому все члены геометрической прогрессии отличны от нуля.

От знака и величины $q$ зависит поведение последовательности. При $q > 1$ и положительном $b_1$ члены растут, при $0 < q < 1$ — убывают, при $q < 0$ знаки чередуются: 81, $-27$, 9, $-3$, 1 — это прогрессия с $q = -\frac13$.

Формула n-го члена и характеристическое свойство

Формула $n$-го члена — это способ сразу найти член с любым номером, не выписывая все предыдущие: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Показатель степени на единицу меньше номера.

Для последовательности 3, 6, 12, … шестой член равен $3 \cdot 2^5 = 96$. Ошибка «на единицу» здесь самая частая: если поставить $2^6$, получится 192, и ответ будет вдвое больше верного. Запомнить легко: чтобы дойти от первого члена до шестого, нужно сделать пять шагов, а не шесть.

Удобна и обобщённая запись $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Она помогает, когда первый член неизвестен, а даны два других. Пусть $b_3 = 12$, $b_5 = 48$. Тогда $q^2 = 48 : 12 = 4$, и знаменатель равен 2 или $-2$. Первый член в обоих случаях один и тот же: $b_1 = 12 : q^2 = 3$. А вот четвёртый член различается: 24 или $-24$. Если в условии не сказано, что члены положительны, оба варианта нужно рассмотреть.

Характеристическое свойство: квадрат любого члена, кроме первого, равен произведению соседних, $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$. Для положительной последовательности это значит, что каждый член — среднее геометрическое соседей. Проверка на тройке 3, 6, 12: $6^2 = 36 = 3 \cdot 12$. Свойство работает и в обратную сторону: если для трёх ненулевых чисел оно выполнено, они образуют прогрессию. По сути, это небольшая теорема, и её удобно применять, когда нужно найти пропущенный член.

Миф: «если члены прогрессии чередуют знак, это уже не геометрическая прогрессия». Это неверно: отрицательный знаменатель допустим, и последовательность 5, $-10$, 20, $-40$ — обычная прогрессия с $q = -2$. Запрещено только $q = 0$.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых $n$ членов при $q \ne 1$ находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. При $q = 1$ все члены равны и $S_n = n \cdot b_1$.

Откуда берётся формула, видно на простом приёме. Запишем $S_n = b_1 + b_1 q + \dots + b_1 q^{n-1}$ и умножим обе части на $q$. В правой части почти все слагаемые совпадут с исходными, и после вычитания останется $S_n(q - 1) = b_1 q^n - b_1$. Делить на $q - 1$ можно только при $q \ne 1$ — отсюда и отдельный случай. Этот вывод приводится в любом школьном учебнике алгебры, и его полезно уметь повторить самому.

Пример: сумма пяти членов 3, 6, 12, 24, 48 равна $\frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = 93$. Сложение вручную даёт то же число — хорошая самопроверка. Для убывающих последовательностей удобнее равносильная запись $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$: знаменатель дроби остаётся положительным. Так, для 81, $-27$, 9, $-3$, 1 получаем $\frac{81\left(1 + \frac{1}{243}\right)}{\frac43} = 61$, и прямое сложение $81 - 27 + 9 - 3 + 1$ тоже даёт 61.

Не путать: в арифметической последовательности сумма считается через полусумму крайних членов, а здесь — через степень знаменателя. Сравнение двух видов разобрано на странице арифметическая прогрессия и её формулы.

Бесконечно убывающая прогрессия

Если $|q| < 1$, прогрессию называют бесконечно убывающей, и сумма всех её членов — это конечное число $S = \frac{b_1}{1 - q}$. При $|q| \ge 1$ такой суммы не существует.

Смысл формулы проще понять на примере 2, 1, $\frac12$, $\frac14$, … Сумма первых десяти членов равна 3,99609375, и каждый новый член добавляет всё меньше. Сумма приближается к 4, но не превосходит её: $\frac{2}{1 - \frac12} = 4$. Формула получается из $S_n$: при $|q| < 1$ степень $q^n$ с ростом $n$ стремится к нулю.

Для 12, 4, $\frac43$, … знаменатель равен $\frac13$, а сумма — $\frac{12}{1 - \frac13} = 18$. Для знакочередующейся 81, $-27$, 9, … получаем $\frac{81}{1 + \frac13} = 60{,}75$: отрицательный знаменатель оказывается в формуле со знаком плюс, и об этом легко забыть.

Тот же приём переводит периодическую дробь в обыкновенную. Дробь 0,(27) — это сумма $0{,}27 + 0{,}0027 + \dots$ с первым членом 0,27 и знаменателем 0,01. Получаем $\frac{0{,}27}{0{,}99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.

Миф: «сумма бесконечного числа положительных слагаемых всегда бесконечна». Это не подтверждается: при $|q| < 1$ слагаемые убывают так быстро, что сумма остаётся конечной. Но и обратное неверно: при $q = 1$ или $q = 2$ конечной суммы не бывает.

Где геометрическая прогрессия встречается на экзаменах

На ОГЭ геометрическая прогрессия появляется в задании 14 — прогрессии в практических задачах, за которое ставится 1 балл^[2]. В профильном ЕГЭ её формулы нужны в задачах о вкладах и кредитах.

В задании 14 ОГЭ условие обычно сюжетное: размножение бактерий, распад вещества, отскок мяча, рост числа подписчиков. Слово «прогрессия» в тексте может не прозвучать — его надо увидеть самостоятельно. Сборники типовых вариантов под редакцией Ященко^[5] показывают, что сюжеты меняются, а математика остаётся той же. Признак простой: величина каждый раз увеличивается или уменьшается в одно и то же число раз. Сюжеты и типовые ловушки собраны в разборе задания 14 ОГЭ о прогрессиях.

В профильном ЕГЭ по проекту ФИПИ 2027 года финансовая задача с кратким ответом вынесена в задание 13 (кредиты и вклады). Начисление сложных процентов — это умножение суммы на одно и то же число каждый год, то есть именно наша последовательность: 10 000 рублей под 10% через 2 года превращаются в $10\,000 \cdot 1{,}1^2 = 12\,100$ рублей. Подробнее о финансовых сюжетах — в материале задание 13 профильного ЕГЭ.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не запутаться в сюжетной задаче, сначала выпишите $b_1$, $q$ и номер нужного члена, а уже потом выбирайте формулу. Ниже — 2 задачи в формате экзамена.

Колония бактерий в начале опыта насчитывала 50 клеток. Каждые 20 минут число клеток удваивается. Сколько клеток будет через 2 часа?

За 2 часа проходит $120 : 20 = 6$ периодов удвоения. Начальные 50 клеток — это $b_1$, а через 6 удвоений получится седьмой член: $b_7 = 50 \cdot 2^6 = 3200$. Типичная ошибка — взять $b_6 = 1600$, посчитав начальный момент первым удвоением.

В геометрической прогрессии $b_3 = 12$, $b_5 = 48$. Найдите первый член и сумму первых пяти членов, если знаменатель положителен.

$q^2 = 4$, и по условию $q = 2$. Первый член $b_1 = 12 : 4 = 3$. Сумма $S_5 = \frac{3(32 - 1)}{1} = 93$. Ответ: 3 и 93. Если бы условие разрешало $q = -2$, сумма была бы другой: $3 - 6 + 12 - 24 + 48 = 33$.

Проверяйте ответ грубой оценкой: при $q = 2$ каждый член вдвое больше предыдущего, значит, сумма всех членов меньше удвоенного последнего. Здесь $93 < 96$ — правдоподобно. Если от расчётов со степенями устаёте, повторите свойства степеней с целым показателем.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы содержит 8 задач на геометрическую прогрессию: $n$-й член, сумма, бесконечная сумма, характеристическое свойство и сюжеты.

Введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» открывает разбор, «Следующая задача →» переходит дальше, а полоска внизу показывает последние ответы. Десятичную дробь пишите через запятую, как в бланке. Решать без подсказки полезнее, чем перечитывать разборы: исследование Roediger и Karpicke показало, что проверочное воспроизведение лучше закрепляет материал^[3].

Когда формула не работает

Не каждая последовательность, где числа растут быстро, подходит под эти формулы. Вот ситуации, где применять их нельзя или нужно с оговоркой.

• Если отношение соседних членов меняется хотя бы в 1 месте (например, 2, 6, 12), последовательность не геометрическая, и формула суммы даст неверный ответ.
• Если знаменатель равен 1, формула суммы со знаменателем $q - 1$ не определена — сумма равна $n \cdot b_1$.
• Если модуль знаменателя не меньше 1 (например, 2 или минус 1), формула бесконечной суммы не применяется: такой суммы нет.
• Если вклад пополняют или снимают каждый год (например, по 5000 рублей), сумма на счёте уже не является одной прогрессией — считайте по годам.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на мелочах: в этой теме ошибки почти всегда связаны со знаком знаменателя и номером члена.

• Нельзя писать $q^n$ вместо $q^{n-1}$ в формуле $n$-го члена — ответ сдвинется на один шаг.
• Нельзя извлекать корень из $q^2$, забывая про отрицательный знаменатель, если в условии нет слова «положительный».
• Не следует применять формулу бесконечной суммы, не проверив условие $|q| < 1$.
• Не следует путать начальное значение величины с результатом первого шага в сюжетной задаче.
• Не стоит возводить дробь в большую степень «в уме» без записи: лучше разложить степень на множители.
• Не допускается калькулятор на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому вычисления со степенями тренируйте вручную заранее.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[5] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?

Да. Дробный знаменатель между нулём и единицей даёт убывающую последовательность, отрицательный — чередование знаков. Нельзя только $q = 0$.

Есть ли эти формулы в справочных материалах ОГЭ?

Вместе с вариантом ОГЭ выдают справочные материалы, их состав видно в демоверсии ФИПИ. Но листать их на экзамене долго, поэтому формулы $n$-го члена и суммы лучше помнить наизусть.

Как понять, что в сюжетной задаче нужна именно эта тема?

Ищите слова «в 2 раза», «на 10% от предыдущего», «каждый час вдвое». Если величина меняется в одно и то же число раз, а не на одно и то же число единиц, это наш случай.

Чем среднее геометрическое отличается от среднего арифметического?

Для чисел 4 и 25 среднее арифметическое равно 14,5, а среднее геометрическое — $\sqrt{4 \cdot 25} = 10$. Второе всегда не больше первого для положительных чисел.

Зачем нужна сумма бесконечного числа членов?

Она переводит периодические дроби в обыкновенные, помогает в задачах на отскок мяча и даёт первое знакомство с пределом, который потом понадобится в старших классах.

Что делать, если в ответе получилась огромная степень?

Проверьте номер члена и знаменатель. В экзаменационных задачах числа подобраны так, чтобы степень считалась без калькулятора; ответ вроде $3^{15}$ почти всегда говорит об ошибке в условии или формуле.