Задание 14 ОГЭ по математике: прогрессии в жизненных задачах

Что проверяет задание 14 и сколько оно стоит

Задание 14 — это задача базового уровня первой части с кратким ответом: за верное число ставится 1 первичный балл^[1]. Проверяется умение увидеть прогрессию в текстовом условии и применить формулу $n$ -го члена или суммы первых $n$ членов.

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года номер остаётся в первой части варианта из 25 заданий^[2]. Он алгебраический и не входит в обязательные 2 балла по геометрии. Сюжеты меняются от варианта к варианту, но математическая основа одна: каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа или умножением на одно и то же число.

Если к предыдущему значению прибавляют постоянную величину, перед вами арифметическая прогрессия с разностью $d$ . Если умножают на постоянное число — геометрическая со знаменателем $q$ . Определить вид нужно в первую очередь: от этого зависят все формулы. В кодификаторе ФИПИ прогрессии отнесены к разделу о последовательностях, а в открытом банке ФИПИ им посвящены десятки задач с разными сюжетами.

Формулы прогрессий и как узнать вид по условию

Для этого номера хватает 4 формул: по две для каждого вида прогрессии. Слова в условии почти всегда подсказывают, какая прогрессия перед вами.

Что найти	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Подсказка в условии	«на 3 больше», «на 5 меньше», «каждый день добавлял»	«в 2 раза больше», «удваивается», «уменьшается вдвое»
$n$ -й член	$a_n = a_1 + d(n - 1)$	$b_n = b_1 q^{n-1}$
Сумма $n$ членов	$S_n = \frac{(a_1 + a_n)\, n}{2}$ или $S_n = \frac{(2a_1 + d(n-1))\, n}{2}$	$S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1}$
Пример	ряды зала: 20, 23, 26, …	колония: 5, 10, 20, 40, …

Вывод формул и свойства разобраны в материалах арифметическая прогрессия: n-й член и сумма и геометрическая прогрессия и её сумма. Какие формулы есть в листе, выдаваемом вместе с вариантом, лучше заранее проверить по демоверсии и статье о справочных материалах ОГЭ; в учебнике Макарычева для 9 класса прогрессиям посвящена отдельная глава^[3].

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не ошибиться, в каждой задаче выписывайте 4 величины: первый член, разность или знаменатель, номер нужного члена и что спрашивают — член или сумму. Ниже 5 задач на разные сюжеты.

Задача 1. Места в амфитеатре

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Арифметическая прогрессия: $a_1 = 20$ , $d = 3$ , $n = 15$ . Последний ряд: $a_{15} = 20 + 3 \cdot 14 = 62$ . Сумма: $S_{15} = \frac{(20 + 62) \cdot 15}{2} = 41 \cdot 15 = 615$ . Ответ: 615. Множитель именно 14, а не 15: от первого ряда до пятнадцатого прибавлений на одно меньше, чем рядов.

Задача 2. Номер члена прогрессии

В первый день тренировок спортсмен сделал 12 приседаний, а в каждый следующий день делал на 4 приседания больше, чем в предыдущий. В какой день он впервые сделает 60 приседаний?

Неизвестен номер члена: $12 + 4(n - 1) = 60$ . Отсюда $4(n - 1) = 48$ , $n - 1 = 12$ , $n = 13$ . Ответ: 13. Проверка: в 13-й день $12 + 4 \cdot 12 = 60$ , а в 12-й — только 56.

Задача 3. Убывающая геометрическая прогрессия

После приёма лекарства его количество в крови каждые 6 часов уменьшается вдвое. Сразу после приёма было 160 мг. Сколько миллиграммов останется через 24 часа?

За 24 часа проходит $24 : 6 = 4$ периода, значит, количество уменьшается вдвое 4 раза: $160 : 2^4 = 160 : 16 = 10$ . В языке прогрессий это пятый член: $b_1 = 160$ , $q = \frac12$ , $b_5 = 160 \cdot \left(\frac12\right)^4 = 10$ . Ответ: 10.

Задача 4. Сумма и неизвестное число членов

Камень падает в ущелье. За первую секунду он пролетает 5 м, а за каждую следующую — на 10 м больше, чем за предыдущую. За сколько секунд камень пролетит 245 м?

Расстояния по секундам образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = 5$ , $d = 10$ . Сумма $S_n = \frac{(2 \cdot 5 + 10(n - 1))\, n}{2} = 5n^2$ . Из $5n^2 = 245$ получаем $n^2 = 49$ , $n = 7$ . Проверка сложением: $5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 = 245$ . Ответ: 7.

Задача 5. Сумма геометрической прогрессии

В первый день новость узнали 3 человека, а в каждый следующий день её узнавало вдвое больше новых людей, чем накануне. Сколько всего человек узнали новость за 5 дней?

Новых людей по дням: 3, 6, 12, 24, 48 — геометрическая прогрессия с $b_1 = 3$ , $q = 2$ . Сумма $S_5 = \frac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3 \cdot 31 = 93$ . Ответ: 93. Для пяти членов можно и просто сложить: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ — это заодно проверка.

Миф: «для задания 14 обязательно нужна формула суммы, без неё задачу не решить». Не подтверждается: если членов меньше 10, их можно выписать и сложить, как в задачах 4 и 5. Формулы нужны, когда членов много, например 30 или 40, — тогда выписывание займёт слишком много времени.

«В n-й день» и «за n дней»: главная ловушка

Если в вопросе сказано «в 10-й день», нужен один член $a_{10}$ ; если «за 10 дней» — сумма $S_{10}$ . Перепутать их — самая частая ошибка этого номера.

Вторая ловушка — сдвиг номера во времени. «Через 24 часа» при периоде 6 часов — это 4 изменения, то есть пятый член, если первым считать начальное значение. «Через 3 удвоения» — это $b_1 \cdot 2^3$ , а не $b_1 \cdot 2^2$ . Нарисуйте короткую линию времени: 0 ч, 6 ч, 12 ч, 18 ч, 24 ч — и ошибка в номере станет видна.

Третья ловушка — вопрос о последнем элементе. В задаче про амфитеатр могут спросить, сколько мест в последнем ряду (62), а не во всём зале (615). Перед переносом в бланк перечитайте последнее предложение условия. Ответ «615» на вопрос о последнем ряде не засчитывается, даже если все вычисления верны.

Тренажёр: как отработать номер

Тренажёр вверху страницы — это генератор 2 сюжетов: турист, который каждый день проходит на несколько километров больше, и колония бактерий, удваивающаяся через равные промежутки времени. В задачах про туриста спрашивают либо путь в $n$ -й день, либо путь за $n$ дней.

Впишите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Неверный ответ сразу открывает разбор, кнопка «Решение» показывает его без попытки, «Следующая задача →» меняет числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» показывают точность.

Норма — 12 задач подряд без ошибок, причём особенно внимательно читайте, член или сумму просят. Убывающих прогрессий и поиска номера члена в генераторе нет, их стоит отработать по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко. В учебнике алгебры для 9 класса таких упражнений тоже достаточно.

Типичные ошибки в задании 14

Ошибок здесь 5, и все они связаны с чтением условия, а не со сложными вычислениями.

Член вместо суммы. «За 15 дней» — сумма, «в 15-й день» — один член.
Лишнее прибавление. $a_{15} = a_1 + 14d$ , а не $a_1 + 15d$ .
Не тот вид. «На 3 больше» — прибавление, «в 3 раза больше» — умножение. Перепутав, получите ответ, отличающийся в десятки раз.
Неверное число периодов. 24 часа при шаге 6 часов — это 4 шага, а не 24 и не 6.
Дробный номер. Номер члена — натуральное число. Если получилось $n = 12{,}5$ , где-то ошибка или вопрос звучит «впервые больше», и тогда ответ — 13.

Миф: «любая задача, где величина растёт, — это прогрессия». Это неверно: если рост на 10% в год считать от начальной суммы, получится арифметическая прогрессия, а если от текущей — геометрическая. Вид определяется тем, к чему применяется изменение, а не самим словом «растёт».

Как проверить ответ

Чтобы проверить ответ, выпишите первые 3–4 члена прямо по условию и убедитесь, что формула даёт те же числа. Это занимает меньше минуты.

Первые члены. Для амфитеатра: 20, 23, 26. Формула $a_n = 20 + 3(n - 1)$ при $n = 3$ даёт 26 — совпадает.
Оценка суммы. Сумма $n$ членов лежит между $n \cdot a_1$ и $n \cdot a_n$ : $15 \cdot 20 = 300$ и $15 \cdot 62 = 930$ , ответ 615 внутри.
Прямое сложение. Если членов до 7–8, сложите их вручную, как в задаче 4.

Если ответ не попадает в оценку из пункта 2, ошибка почти наверняка в номере последнего члена. Такую проверку «другим путём» Пойа в книге «Как решать задачу» называет обязательным последним этапом решения.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность здесь решается тренировкой номера: иногда мешает не тема прогрессий, а более базовые навыки.

Если не получается найти $n$ из $4(n - 1) = 48$ за 30 секунд, сначала повторите линейные уравнения.
Если степени двойки до $2^{10} = 1024$ приходится вычислять каждый раз заново, выучите их — это 10 чисел.
Если задача про сложные проценты по вкладу требует оформления, это уже текстовая задача из задания 21.
Если до экзамена 2–3 дня, сосредоточьтесь на арифметической прогрессии: её 2 формулы проще, а сюжетов на неё больше в любом сборнике.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на невнимательности: по спецификации ФИПИ ответ первой части проверяется автоматически, и верная формула с неверным номером члена не засчитывается.

Нельзя начинать вычисления, не определив, член или сумму просят найти.
Нельзя записывать в бланк единицы: «615 мест» или «10 мг» — только число.
Не следует подставлять $n$ вместо $n - 1$ в формулу $n$ -го члена.
Не стоит выписывать 30 членов подряд, если есть формула: это долго и легко сбиться.
Не стоит оставлять дробный номер члена без повторного чтения условия.

Как записать ответ в бланк

Ответ — одно число, обычно целое, которое переносится в бланк ответов № 1 с первой клеточки, по одному символу в клетке.

Пробелы между разрядами не ставятся: 1024, а не 1 024. Если ответ дробный, например 2,5 мг после нескольких делений пополам, запятая занимает отдельную клетку. Перед переносом ещё раз сверьте ответ с вопросом: последний ряд или весь зал, один день или все дни.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[5] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

[6] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 14 ОГЭ?

Один первичный балл из 31. Номер алгебраический, поэтому в обязательные 2 балла по геометрии он не идёт.

Нужно ли учить формулы прогрессий наизусть?

Лучше знать 4 основные формулы самому, даже если часть из них окажется в справочном листе: так быстрее, и не нужно отвлекаться на поиск.

Как понять, что прогрессия геометрическая?

Если каждое следующее значение получают умножением — «вдвое», «в 3 раза», «уменьшается наполовину», — это геометрическая. Если прибавляют или вычитают одно и то же число — арифметическая.

Что делать, если номер члена получился дробным?

Перечитайте вопрос. Если спрашивают «когда впервые превысит», округляйте вверх до ближайшего целого. Если спрашивают точный номер, дробное $n$ означает ошибку в вычислениях.

Бывают ли в номере бесконечные прогрессии?

В практических сюжетах этого номера всегда конечное число членов: дни, ряды, часы. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии встречается в некоторых учебниках 9 класса, но для решения таких задач не нужна.

Сколько задач решить, чтобы номер стал надёжным?

Ориентир — 30 задач: 20 на арифметическую и 10 на геометрическую прогрессию. Разбейте их на 3–4 подхода с перерывами: по обзору исследований Cepeda и соавторов, интервальное повторение работает лучше одного длинного занятия.