Задание 16 ОГЭ по математике: углы, хорды и касательные

Что проверяет задание 16 и сколько оно стоит

Задание 16 — это задача базового уровня с кратким ответом на свойства окружности и её элементов. По спецификации ФИПИ за верное число в бланке ставится 1 первичный балл^[1], решение не проверяется.

Номер входит в геометрический блок вместе с заданиями 15, 17–19 и 23–25. Рекомендуемая шкала ФИПИ ставит условие: для любой положительной отметки нужно не менее 2 баллов именно за геометрию^[2]. Поэтому окружность — не «дополнительная» тема: вместе с треугольниками и четырёхугольниками она даёт реальный шанс закрыть геометрический минимум ещё в первой части.

Типичная задача занимает 3–4 минуты. Время уходит не на вычисления, а на то, чтобы понять, какой угол на какую дугу опирается. Сами числа подобраны так, что всё считается в уме: деление на 2, вычитание из 90° или 180°, одна пифагорова тройка.

Пять фактов об окружности, которые закрывают номер

Если разложить задачи открытого банка ФИПИ по смыслу, почти каждая сводится к одному из 5 фактов. Их стоит знать так же уверенно, как таблицу умножения, — в справочных материалах ОГЭ есть далеко не все.

Факт	Формулировка	Как выглядит задача
Вписанный и центральный угол	вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу	дан $\angle AOB$ , найти $\angle ACB$ или наоборот
Угол, опирающийся на диаметр	такой вписанный угол прямой	$AB$ — диаметр, дан один острый угол треугольника $ABC$
Вписанный четырёхугольник	сумма противоположных углов равна $180^\circ$	дан угол $A$ , найти угол $C$
Касательная	касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны	найти отрезок касательной по теореме Пифагора
Радиусы $R$ и $r$	$R = \frac{a}{2\sin A}$ ; в прямоугольном треугольнике $R$ — половина гипотенузы; у квадрата $r$ — половина стороны	найти радиус по стороне и углу

Отдельно разобраны теория и доказательства: центральные и вписанные углы, свойства касательной к окружности и вписанная и описанная окружности. На этой странице — только экзаменационная техника: как узнать факт по рисунку и не ошибиться в одном шаге.

Важная деталь: угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними. Этот факт в учебнике Атанасяна^[3] идёт как задача, а не как теорема, поэтому его часто пропускают. На экзамене он встречается реже остальных, но выручает в задачах, где на рисунке есть касательная и нет центра.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы научиться узнавать факт по рисунку, полезно разобрать 4 сюжета: углы через дугу, вписанный четырёхугольник, касательную и радиус описанной окружности. В каждом — одно ключевое наблюдение и одно действие.

Задача 1. Центральный угол даёт вписанный

Точки $A$ , $B$ , $C$ лежат на окружности с центром $O$ . Угол $AOB$ равен $124^\circ$ , точка $C$ лежит на большей дуге $AB$ . Найдите угол $ACB$ . Ответ дайте в градусах.

Оба угла опираются на одну и ту же меньшую дугу $AB$ : центральный — вершиной в центре, вписанный — вершиной на окружности. Значит, $\angle ACB = 124^\circ : 2 = 62^\circ$ . Ответ: 62. Если бы точка $C$ лежала на меньшей дуге, вписанный угол опирался бы на большую дугу в $360^\circ - 124^\circ = 236^\circ$ и был бы равен $118^\circ$ . Поэтому положение точки на рисунке всегда стоит проверить.

Задача 2. Четырёхугольник, вписанный в окружность

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $BAD$ равен $73^\circ$ . Найдите угол $BCD$ . Ответ дайте в градусах.

Углы $A$ и $C$ противоположные: они опираются на две дуги $BD$ , которые вместе составляют всю окружность, то есть $360^\circ$ . Половина от $360^\circ$ — это $180^\circ$ , отсюда $\angle BCD = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$ . Ответ: 107. Правило не работает для соседних углов $A$ и $B$ — их сумма может быть любой.

Задача 3. Отрезок касательной

Из точки $A$ проведена касательная $AK$ к окружности с центром $O$ и радиусом 8 ( $K$ — точка касания). Расстояние $AO$ равно 17. Найдите $AK$ .

Радиус $OK$ , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $AKO$ прямоугольный с гипотенузой $AO$ . По теореме Пифагора $AK = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ . Ответ: 15. Узнаётся пифагорова тройка 8, 15, 17 — это хороший знак, что прямой угол найден верно.

Задача 4. Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 9, угол $C$ равен $30^\circ$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

По следствию из теоремы синусов $\frac{AB}{\sin C} = 2R$ , отсюда $R = \frac{9}{2 \cdot \frac12} = 9$ . Ответ: 9. Сторона берётся строго напротив данного угла: если подставить сторону, прилежащую к углу $C$ , ответ будет неверным. Для прямоугольного треугольника формула упрощается — например, при катетах 6 и 8 гипотенуза равна 10, а $R = 5$ .

Миф: «вписанный угол всегда равен центральному, просто нарисован в другом месте». Это неверно: вписанный угол ровно вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Утверждение «вписанный угол равен центральному» встречается в задании 19 как заведомо ложное.

Генератор: окружность до автоматизма

Тренажёр вверху страницы — это бесконечные варианты задач в формате задания 16: вписанный угол по центральному, угол треугольника, опирающегося на диаметр, и хорда, проходящая через центр. После каждого ответа можно нажать «Решение» и сразу увидеть разбор.

Рабочая норма: 10 задач подряд не более чем с 2 ошибками. Если ошибки идут в одном сюжете, вернитесь к таблице фактов и к соответствующей задаче выше. Решайте короткими сериями по 10–15 минут в разные дни: исследования показывают, что распределённое повторение запоминается прочнее, чем одна длинная тренировка^[4].

В генераторе нет касательных и вписанных четырёхугольников, поэтому он закрывает примерно половину сюжетов. Остальное стоит добрать задачами из сборника типовых вариантов: 15–20 задач на касательную и радиусы хватает, чтобы перестать путаться.

Ловушки и типичные ошибки

Ошибки в этом номере повторяются из года в год: их 6, и почти каждую можно поймать за 20 секунд, если до переноса ответа сверить его с рисунком.

Не та дуга. Вписанный угол опирается на дугу, которая лежит внутри угла, а не на ту, где стоит вершина.
Умножили вместо деления. Центральный угол вдвое больше вписанного, а не наоборот. Проверка: вписанный угол на рисунке всегда «у́же».
Забыт прямой угол. Если одна из сторон треугольника — диаметр, третий угол равен $90^\circ$ , даже если об этом не сказано в условии.
Касательная без перпендикуляра. Теорема Пифагора применима только после того, как отмечен прямой угол между радиусом и касательной.
Радиус вместо диаметра. В формуле $\frac{a}{\sin A} = 2R$ справа стоит диаметр; ответ вдвое больше верного — частая потеря балла.
Ответ больше 180°. Угол треугольника или вписанного четырёхугольника не может быть $180^\circ$ и больше.

Миф: «по рисунку можно измерить угол транспортиром и не считать». Такой способ не работает: чертёж в КИМ не обязан соблюдать градусную меру, а транспортир на экзамен брать не разрешено — допускается только линейка. Задач, которые «решаются на глаз», в этом номере не бывает.

Как проверить ответ и записать его в бланк

Ответ в задании 16 — одно целое число или десятичная дробь, которое записывается в бланк ответов № 1 по клеточкам без градусов и единиц. Перед записью стоит сделать 3 быстрые проверки.

Сравнить с рисунком. Острый на вид угол не может дать ответ 120, а хорда не может быть длиннее диаметра.
Пересчитать другим путём. Например, найти третий угол треугольника и убедиться, что сумма равна $180^\circ$ .
Проверить формат. Корень или обыкновенную дробь записать нельзя — значит, ошибка в вычислениях.

Правила записи десятичных дробей и исправлений подробно собраны в материале как заполнять бланк ответов. Логичный следующий шаг после окружности — четырёхугольники в задании 17: там пригодятся те же углы и та же привычка сверять ответ с рисунком.

Когда задание 16 не подходит для старта

Не каждому ученику окружность приносит баллы быстрее всего: иногда выгоднее начать с соседних номеров и вернуться сюда позже.

Если в задании 15 больше 3 ошибок из 10, сначала нужно закрепить треугольники: каждая задача про окружность опирается на них.
Если до экзамена меньше 2 недель, а с геометрией совсем плохо, быстрее набрать 2 балла на задании 18 по клеткам и задании 19.
Если не помните определение вписанного угла после 2–3 попыток, нужна теория с рисунками, а не генератор.
Если теорема Пифагора даётся с трудом, сюжет с касательной не сложится — повторите её на 10–15 простых задачах.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на мелочах: в этом номере проверяется только число, и любая неаккуратность в бланке делает верное решение бесполезным.

Нельзя писать в бланке знак градуса, «см» или слово «ответ».
Нельзя делить центральный угол пополам, не проверив, что вписанный угол опирается на ту же дугу.
Не следует применять теорему Пифагора к треугольнику с касательной, пока на рисунке не отмечен прямой угол.
Не следует путать радиус и диаметр в формуле с синусом.
Не стоит измерять углы на чертеже: рисунок в задании может быть неточным.
Не допускается записывать ответ в виде корня или обыкновенной дроби.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Рекомендации по использованию и интерпретации результатов выполнения экзаменационных работ для проведения ГИА по образовательным программам основного общего образования в 2026 году (приложение к письму Рособрнадзора от 25.02.2026 № 02-20).

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[5] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 16 ОГЭ?

Один первичный балл, и он засчитывается в геометрию. Без 2 геометрических баллов отметка «2» ставится при любом общем результате, поэтому этот номер важнее, чем кажется.

Какие формулы есть в справочных материалах?

Там есть часть формул планиметрии, но свойства вписанных углов и касательной нужно помнить самому. Состав листа разобран на странице про справочные материалы ОГЭ.

Изменится ли этот номер в 2027 году?

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года и перечню планируемых изменений структура ОГЭ по математике не меняется^[5], тема номера та же.

Нужно ли знать градусную меру дуги?

Да, это удобный язык для рассуждений: центральный угол равен своей дуге, а вписанный — её половине. Через дуги проще всего объяснить себе любую задачу на углы.

Что делать, если ответ получился с корнем?

Корень в бланк записать нельзя, значит, ошибка в вычислениях. Чаще всего гипотенуза и катет переставлены местами в теореме Пифагора или радиус перепутан с диаметром.

Сколько задач решить для уверенности?

Ориентир — 40–50 задач всех 5 сюжетов с разбором ошибок, порциями по 10 с перерывом в несколько дней. Решение без подсказок полезнее, чем перечитывание готовых разборов.