Задание 11 ОГЭ по математике: графики и формулы функций

Q: Как быстро определить знак b у параболы?

Посмотрите, где вершина относительно оси Oy: если левее — знаки a и b совпадают, если правее — противоположны. Вершина на оси означает b = 0.

Что проверяет задание 11 и сколько оно стоит

Задание 11 — это задача базового уровня первой части, за верную последовательность цифр ставится 1 первичный балл^[1]. Проверяется умение читать графики линейной функции, квадратичной функции и обратной пропорциональности и связывать их с формулами.

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года номер сохраняется в первой части, а структура из 25 заданий не меняется^[2]. Балл ставится только за полностью верный ответ: если два графика из трёх сопоставлены правильно, а третий нет, номер не засчитывается. Поэтому проверка каждого соответствия важнее скорости.

Графики в КИМ нарисованы на координатной плоскости с отмеченными осями, иногда с сеткой. Из рисунка нужно извлечь 3 признака: направление (вверх или вниз), точку пересечения с осью $Oy$ и расположение относительно осей.

Какие графики встречаются и что показывают коэффициенты

Если собрать задачи открытого банка ФИПИ, в номере встречаются 3 вида графиков: прямая, парабола и гипербола. У каждого вида свои «говорящие» коэффициенты.

Функция	Коэффициент	Что видно на графике
$y = kx + b$	знак $k$	$k > 0$ — прямая поднимается слева направо, $k < 0$ — опускается
$y = kx + b$	знак $b$	прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; b)$ : выше нуля при $b > 0$
$y = ax^2 + bx + c$	знак $a$	$a > 0$ — ветви вверх, $a < 0$ — ветви вниз
$y = ax^2 + bx + c$	знак $c$	парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0; c)$
$y = ax^2 + bx + c$	знак $b$	вершина $x_0 = -\frac{b}{2a}$ : левее оси $Oy$ — знаки $a$ и $b$ одинаковые, правее — разные
$y = \frac{k}{x}$	знак $k$	$k > 0$ — ветви гиперболы в I и III четвертях, $k < 0$ — во II и IV

Подробно каждый вид разобран в материалах линейная функция и угловой коэффициент, квадратичная функция и парабола и обратная пропорциональность и гипербола. В учебнике Макарычева для 9 класса эти свойства собраны в главе о квадратичной функции^[3].

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не перебирать варианты наугад, сначала найдите признак, по которому графики различаются, а потом проверьте его по формулам. Ниже 3 задачи — на прямые, на параболу и на смешанный набор.

Задача 1. Три прямые и три формулы

На рисунках изображены три прямые. График А поднимается слева направо и пересекает ось $Oy$ ниже нуля. График Б опускается и пересекает ось $Oy$ выше нуля. График В поднимается и пересекает ось $Oy$ выше нуля. Установите соответствие с формулами: 1) $y = 2x + 4$ ; 2) $y = -\frac12 x + 4$ ; 3) $y = 2x - 4$ .

Знак $k$ отделяет убывающую прямую: $k < 0$ только у формулы 2, значит, Б — 2. У формул 1 и 3 угловой коэффициент одинаковый, а различаются они знаком $b$ : при $b = -4$ прямая пересекает ось ниже нуля, это А — 3; при $b = 4$ — выше, это В — 1. Ответ: 321.

Задача 2. Знаки коэффициентов параболы

Парабола $y = ax^2 + bx + c$ направлена ветвями вниз, пересекает ось $Oy$ выше начала координат, а её вершина лежит левее оси $Oy$ . Определите знаки коэффициентов $a$ , $b$ и $c$ .

Ветви вниз — $a < 0$ . Точка пересечения с осью $Oy$ — это $(0; c)$ , она выше нуля, значит, $c > 0$ . Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$ отрицательна; при $a < 0$ это возможно только если $b < 0$ . Проверка на числах: при $a = -1$ , $b = -2$ получаем $x_0 = -\frac{-2}{-2} = -1$ , вершина действительно слева. Ответ: $a < 0$ , $b < 0$ , $c > 0$ .

Задача 3. Гиперболы и парабола в одном наборе

График А — гипербола, ветви которой лежат в I и III четвертях. График Б — гипербола во II и IV четвертях. График В — парабола ветвями вверх с вершиной в точке $(0; -4)$ . Формулы: 1) $y = \frac{4}{x}$ ; 2) $y = x^2 - 4$ ; 3) $y = -\frac{4}{x}$ .

Сначала разделяем по виду: парабола одна, поэтому В — 2; её вершина при $x = 0$ даёт $y = -4$ , что совпадает с рисунком. Гиперболы различаются знаком $k$ : при $k = 4 > 0$ ветви в I и III четвертях — это А — 1, при $k = -4$ — во II и IV, это Б — 3. Ответ: 132.

Если на рисунке есть сетка, коэффициент прямой можно найти и численно: для прямой через точки $(0; 3)$ и $(2; 7)$ угловой коэффициент $k = \frac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ , а $b = 3$ . Такой расчёт полезен, когда все три прямые наклонены в одну сторону и различаются только крутизной.

Миф: «чем круче прямая, тем больше $b$ ». Это неверно: крутизну задаёт угловой коэффициент $k$ , а $b$ отвечает только за точку пересечения с осью $Oy$ . Две параллельные прямые имеют одинаковое $k$ при любых значениях $b$ .

Тренажёр: как отработать номер

Тренажёр вверху страницы — это генератор задач с тремя прямыми вида $y = kx + b$ : нужно сопоставить рисунки А, Б, В и утверждения о знаках $k$ и $b$ . Комбинации знаков и порядок утверждений меняются при каждом нажатии «Следующая задача →».

В поле «Ответ» впишите три цифры подряд без пробелов — номера утверждений для А, Б и В — и нажмите «Проверить». Неверный ответ сразу открывает разбор, кнопка «Решение» показывает его без попытки. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогут оценить устойчивость навыка.

Норма — 10 задач подряд без ошибок. Парабол и гипербол в генераторе нет, поэтому после него стоит решить 10–15 таких задач по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко и поэкспериментировать с ползунками в построителе графиков онлайн: так связь коэффициента и формы запоминается быстрее.

Типичные ошибки в задании 11

Почти все потери балла здесь связаны с 5 ошибками, и каждая видна, если перечитать условие и рисунок ещё раз.

Перепутаны оси. Свободный член показывает пересечение с вертикальной осью $Oy$ , а не с осью $Ox$ .
Наклон определён справа налево. Направление прямой читают слева направо, как текст; иначе знак $k$ получится противоположным.
Вершина вместо $c$ . У параболы $c$ — это ордината точки на оси $Oy$ , а не ордината вершины. Они совпадают только при $b = 0$ .
Неверные четверти. I четверть — справа сверху, дальше против часовой стрелки. Ошибка в нумерации меняет знак $k$ у гиперболы.
Цифры не по порядку. Ответ записывают для А, Б, В именно в этом порядке, а не в порядке формул.

Миф: «если два соответствия из трёх верны, дадут хотя бы часть балла». Не подтверждается: в первой части балл ставится только за полностью совпадающий ответ, частичных баллов за это задание не бывает. Одна переставленная цифра — это 0 баллов.

Как проверить ответ

Чтобы проверить соответствие, достаточно подставить 1–2 удобные точки: $x = 0$ даёт пересечение с осью $Oy$ , а $x = 1$ — ещё одну точку для сравнения с рисунком.

Точка $x = 0$ . Для прямой получаем $b$ , для параболы — $c$ . Сравните знак с рисунком.
Точка $x = 1$ . Для $y = x^2 - 4$ это $-3$ , для $y = \frac{4}{x}$ — 4. Если на рисунке такая точка видна, совпадение подтверждает выбор.
Обратный ход. Пройдите не только от рисунка к формуле, но и от каждой формулы к рисунку: каждая цифра должна встретиться ровно один раз.

Проверка занимает около минуты и не требует вычислений сложнее одного умножения. Именно так рекомендует действовать Пойа в книге «Как решать задачу»: проверить результат другим путём, прежде чем считать задачу решённой.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность с этим номером решается тренировкой на соответствие: иногда не хватает базовых знаний о координатах.

Если не получается отметить точку $(2; -3)$ на плоскости за 10 секунд, сначала повторите координаты — без них рисунок не читается.
Если путаются названия четвертей в 2 случаях из 5, выпишите их на полях черновика перед началом работы.
Если нужно не узнать, а построить график с выколотыми точками, это уже задание 22 второй части.
Если до экзамена меньше 5 дней, а парабола вызывает трудности, закрепите хотя бы прямые: они встречаются в номере чаще остальных видов.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на форме ответа: по спецификации ФИПИ ответ первой части сверяется автоматически, и любой лишний знак делает его неверным.

Нельзя разделять цифры запятыми, пробелами или буквами: пишется «132», а не «А1, Б3, В2».
Нельзя определять знак $k$ по крутизне: важен только подъём или спуск.
Не следует выбирать соответствие «по картинке похоже», не проверив точку на оси $Oy$ .
Не стоит мерить коэффициенты линейкой по рисунку без сетки: масштаб осей в КИМ не обязан быть точным.
Не стоит оставлять номер без ответа: даже частичное понимание позволяет исключить 1–2 неверных варианта.

Как записать ответ в бланк

Ответ — три цифры подряд, по одной в клеточке бланка ответов № 1, в порядке рисунков А, Б, В.

Если формул больше, чем рисунков, одна формула останется лишней — это нормально, искать для неё пару не нужно. Перед переносом сверьте последовательность с черновиком ещё раз: перестановка цифр — самая обидная потеря балла. Образец записи такого ответа есть в демоверсии ФИПИ, и полезно посмотреть его заранее.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[5] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 11 ОГЭ?

Один первичный балл из 31, и только за полностью верную последовательность. В геометрический минимум из 2 баллов этот номер не входит.

Нужно ли строить графики в черновике?

Обычно нет: достаточно определить 2–3 признака по формуле. Построение по точкам имеет смысл только для проверки одного спорного соответствия.

Как быстро определить знак b у параболы?

Посмотрите, где вершина относительно оси $Oy$ : если левее — знаки $a$ и $b$ совпадают, если правее — противоположны. Вершина на оси означает $b = 0$ .

Бывают ли в номере графики корня или модуля?

Основной набор — прямая, парабола и гипербола. Другие функции в первой части встречаются редко, а с модулем подробно работают в номере 22.

Можно ли угадать ответ?

Вариантов расстановки трёх цифр всего 6, но шанс угадать — лишь 1 из 6. Исключить хотя бы один неверный вариант по знаку $k$ гораздо надёжнее.

Сколько задач решить, чтобы номер стал надёжным?

Ориентир — 30 задач: 10 на прямые, 10 на параболы, 10 на смешанные наборы. Короткие подходы с перерывами в 2–3 дня дают более прочный навык, чем одна длинная тренировка.