Линейная функция и её прямая: как читать k и b и строить график

Что такое линейная функция и её график

График функции $y = kx + b$ — это прямая, определённая при всех значениях $x$. Никаких ограничений на аргумент нет: подставить можно любое число, и для каждого получится ровно одно значение $y$.

Например, для $y = 2x - 3$ при $x = 0$ получаем $y = -3$, при $x = 4$ — $y = 5$. Точки $(0; -3)$ и $(4; 5)$ лежат на одной прямой, и любая другая точка графика тоже на ней окажется. Проверить, лежит ли точка на прямой, просто: подставьте её абсциссу в формулу и сравните результат с ординатой.

Частный случай $b = 0$ называют прямой пропорциональностью: прямая $y = kx$ всегда проходит через начало координат. Другой частный случай — $k = 0$: тогда $y = b$ задаёт горизонтальную прямую, и значение функции не зависит от $x$. В курсе алгебры 7 класса по ФОП основного общего образования^[1] линейная функция — одна из первых изучаемых функций, и на ней держатся остальные темы о графиках.

Важное ограничение: вертикальная прямая, например $x = 3$, не является графиком линейной функции. Одному значению $x$ на ней соответствует бесконечно много значений $y$, а функция так устроена быть не может.

Угловой коэффициент k и свободный член b

Угловой коэффициент $k$ — это число, на которое меняется $y$, когда $x$ увеличивается на 1. Если $k > 0$, прямая идёт вверх слева направо, если $k < 0$ — вниз.

Чем больше модуль $k$, тем круче прямая. При $k = 1$ прямая образует с положительным направлением оси $Ox$ угол 45°, при $k = \sqrt3$ — 60°, при $k = -1$ — 135°. Отсюда геометрический смысл: $k$ равен тангенсу угла наклона прямой, и эта связь потом понадобится в теме о касательной.

Свободный член $b$ — это ордината точки пересечения с осью $Oy$: при $x = 0$ формула даёт $y = b$. Точку пересечения с осью $Ox$ находят из уравнения $kx + b = 0$, то есть $x = -\frac{b}{k}$ при $k \ne 0$. Для $y = 2x - 3$ это $x = 1{,}5$.

Миф: «чем больше $b$, тем круче прямая». Это неверно: $b$ только сдвигает прямую вверх или вниз, наклон от него не зависит. Прямые $y = 2x$ и $y = 2x + 7$ имеют одинаковый наклон и никогда не пересекаются.

Как построить график линейной функции

Чтобы построить прямую, достаточно 2 точек: через две различные точки проходит ровно одна прямая — это аксиома планиметрии. Третья точка нужна только для самопроверки.

1. Шаг 1. Выберите два удобных значения $x$, при которых $y$ получается целым. Для $y = -\frac12 x + 3$ подойдут $x = 0$ и $x = 4$: $y = 3$ и $y = 1$.
2. Шаг 2. Запишите точки в таблицу и отметьте их на координатной плоскости: $(0; 3)$ и $(4; 1)$.
3. Шаг 3. Проведите через них прямую по линейке до краёв чертежа.
4. Шаг 4. Проверьте третью точку: при $x = 6$ получаем $y = 0$, и точка $(6; 0)$ должна лечь на прямую.

Если $k$ дробный, выбирайте $x$, кратные знаменателю дроби, — тогда не придётся отмечать точки вроде $(1; 2{,}5)$, на которых чаще всего ошибаются. Для прямой с целым $k$ есть ещё быстрее способ: отметьте точку $(0; b)$ и сдвиньтесь на 1 вправо и на $k$ вверх.

Уравнение прямой по двум точкам

Если известны две точки прямой, угловой коэффициент находят по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, а затем $b$ — подстановкой любой из точек.

Прямая проходит через точки $A(1; 2)$ и $B(3; 8)$. Задайте её формулой.

Угловой коэффициент: $k = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$. Подставляем точку $A$: $2 = 3 \cdot 1 + b$, откуда $b = -1$. Ответ: $y = 3x - 1$. Проверка точкой $B$: $3 \cdot 3 - 1 = 8$, всё сходится.

Найдите формулу прямой, проходящей через точки $(-2; 1)$ и $(2; -1)$.

$k = \frac{-1 - 1}{2 - (-2)} = -\frac12$, затем $1 = -\frac12 \cdot (-2) + b$, и $b = 0$. Получилась прямая пропорциональность $y = -\frac12 x$: точки симметричны относительно начала координат, поэтому прямая и проходит через него. Если в знаменателе формулы для $k$ выходит ноль, прямая вертикальная и линейной функцией не задаётся. Подробно о расстояниях и серединах отрезков — в теме метод координат на плоскости.

Параллельные и пересекающиеся прямые

Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$. При разных угловых коэффициентах прямые пересекаются ровно в одной точке.

Так, прямые $y = 2x + 5$ и $y = 2x - 1$ параллельны. А прямая, проходящая через точку $(0; 4)$ параллельно $y = -3x + 1$, имеет вид $y = -3x + 4$: наклон берём у данной прямой, а $b$ — из точки. При $x = 2$ она принимает значение $-2$.

Точку пересечения находят, приравняв правые части. Для $y = 3x - 1$ и $y = -x + 7$: $3x - 1 = -x + 7$, $x = 2$, $y = 5$. Это одновременно и решение системы двух линейных уравнений — графический способ решения систем подробно разобран на странице системы уравнений и способы их решения.

Перпендикулярность тоже читается по коэффициентам: прямые перпендикулярны только если $k_1 \cdot k_2 = -1$. Например, $y = 2x$ и $y = -\frac12 x + 3$ перпендикулярны, потому что $2 \cdot \left(-\frac12\right) = -1$. Это следствие теоремы о тангенсах углов наклона, и в школьном курсе его обычно дают как дополнительный факт.

Построитель графиков: что показывают ползунки

«Построитель графиков» вверху страницы открыт на вкладке $y = kx + b$ и имеет 2 ползунка: $k$ от $-5$ до 5 с шагом 0,5 и $b$ от $-8$ до 8 с шагом 1.

Под графиком выводится формула и подсказка с точками пересечения осей: с $Oy$ — всегда $(0; b)$, с $Ox$ — если $k \ne 0$. Попробуйте три опыта. Поставьте $b = 0$ и двигайте $k$: прямая вращается вокруг начала координат. Зафиксируйте $k = 2$ и меняйте $b$: прямая перемещается параллельно себе. Наконец, поставьте $k = 0$ и убедитесь, что точка пересечения с $Ox$ исчезла из подсказки — горизонтальная прямая $y = b$ при $b \ne 0$ эту ось не пересекает.

Те же опыты полезно повторить перед заданием 11 ОГЭ, где нужно сопоставить графики и формулы по знакам коэффициентов: их тренировка собрана на странице задание 11 ОГЭ о графиках функций. Другие вкладки построителя — парабола, гипербола, корень и модуль — разобраны в соседних материалах.

Прямые в задачах экзамена

На ОГЭ прямые встречаются в задании 11 (графики функций, соответствие) и в задании 22, где нужно построить график функции. По демоверсии ФИПИ^[2] задание 22 стоит 2 балла.

В задании 22 прямая часто появляется как часть кусочной функции или как семейство $y = m$, с которым ищут общие точки. Уравнение горизонтальной прямой $y = m$ при этом пишут без $x$, и это нормально: $k = 0$. Кроме того, линейная зависимость — основа практических задач: такси с посадкой 150 рублей и тарифом 30 рублей за километр задаётся формулой $y = 30x + 150$, и поездка на 12 км обойдётся в 510 рублей.

В профильном ЕГЭ по проекту 2027 года графики функций проверяет задание 12 (в 2026 году — задание 11). Там прямую часто нужно восстановить по двум точкам на клетчатом рисунке — ровно тот приём, что разобран выше.

Когда этот подход не подходит

Не каждый график, похожий на прямую, задаётся формулой $y = kx + b$, и не любая зависимость линейна.

• Если прямая вертикальная и проходит, например, через точку 3 оси абсцисс, формула вида $y = kx + b$ для неё не существует.
• Если на рисунке видны 2 разных участка с изломом, это кусочная функция, и коэффициенты ищут отдельно для каждого участка.
• Если величина за каждый шаг растёт в 2 раза, а не на 2 единицы, зависимость не линейная, а показательная.
• Если по рисунку координаты точек читаются неточно (например, 1,3 вместо целого числа), выберите другие точки: формула по неточным точкам будет неверной.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять «на глаз» там, где можно проверить подстановкой: одна строка расчёта спасает от большинства ошибок.

• Нельзя путать порядок в формуле наклона: разности в числителе и знаменателе берут от одной и той же точки.
• Нельзя строить график по одной точке и «примерному» наклону.
• Не следует считать, что $b$ — точка пересечения с осью $Ox$: это ордината на оси $Oy$.
• Не следует называть параллельными совпадающие прямые с одинаковыми $k$ и $b$.
• Не стоит выбирать для построения точки с дробными координатами, если есть целые.
• Не стоит забывать про масштаб: если на осях разный шаг клеток, угол 45° на рисунке не означает $k = 1$.

Источники

[1] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Является ли y = 5 линейной функцией?

Да, это случай $k = 0$, $b = 5$. График — горизонтальная прямая, и функция принимает одно и то же значение при любом $x$.

Чем прямая пропорциональность отличается от общего случая?

Прямая пропорциональность $y = kx$ — частный случай при $b = 0$. Её график обязательно проходит через начало координат, а общий случай — не обязательно.

Как по графику определить знак k?

Смотрите слева направо: если прямая поднимается, $k > 0$, если опускается, $k < 0$. Горизонтальная прямая означает $k = 0$.

Можно ли найти k по рисунку, не зная b?

Да. Возьмите две точки с целыми координатами и разделите разность ординат на разность абсцисс. Число $b$ для этого не нужно, его находят потом.

Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Ноль (параллельны), одну (пересекаются) или бесконечно много (совпадают). Других вариантов не бывает, и это легко увидеть по коэффициентам $k$ и $b$.

Где искать тренировку на построение графиков?

Подвигайте ползунки построителя на этой странице, а затем решайте задания из сборника и учебника Макарычева^[3]: сначала строите сами, потом сверяете с построителем.