Системы уравнений: подстановка, сложение и график

Что значит решить систему

Решение системы — это пара чисел $(x; y)$ , которая обращает в верное равенство каждое уравнение одновременно. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет. Так понятие вводит и школьный учебник, и кодификатор ФИПИ, поэтому формулировки на экзамене совпадают с привычными.

Фигурная скобка означает союз «и»: пара $(6; 3)$ подходит к уравнению $x + y = 9$ , но если она не удовлетворяет второму уравнению, решением системы она не является. У линейной системы бывает одно решение, ни одного или бесконечно много, а у нелинейной их может быть и два, три, четыре и больше. Учебник Макарычева^[1] вводит системы в 7 классе для линейных уравнений и возвращается к ним в 9 классе для уравнений второй степени.

На ОГЭ система может быть самостоятельной задачей задания 20 с полным оформлением на 2 балла, а может появиться внутри текстовой задачи: когда неизвестных две, условие удобнее всего перевести именно в систему. По кодификатору ФИПИ^[2] умение решать системы входит в проверяемые требования курса алгебры основной школы.

Способ	Когда выбирать	Главный риск
Подстановка	одна переменная легко выражается: $y = 2x - 1$ , $x = 5 - y$ ; нелинейные системы	ошибка при раскрытии скобок после подстановки
Сложение	коэффициенты при одной переменной противоположны или легко уравниваются	забыть умножить на число обе части уравнения
Графический	нужно число решений или примерное расположение; есть готовые графики	неточный чертёж даёт неверные координаты
Замена или разложение	в системе есть $xy$ , $x^2 - y^2$ , симметричные выражения	потерянные решения при делении

Метод подстановки

Метод подстановки — это 3 шага: выразить одну переменную из какого-нибудь уравнения, подставить это выражение в другое уравнение и решить получившееся уравнение с одной неизвестной.

Решите систему $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$ .

Переменная $y$ уже выражена в первом уравнении. Подставляем во второе: $3x + (2x - 1) = 9$ , откуда $5x = 10$ и $x = 2$ . Возвращаемся к выражению: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Проверка во втором уравнении: $6 + 3 = 9$ . Ответ: $(2; 3)$ .

Выражать стоит ту переменную, у которой коэффициент равен 1 или $-1$ : тогда не появятся дроби. Если такой нет, подстановка всё равно работает, но вычисления тяжелее, и тут выигрывает способ сложения. Важная деталь — подставлять выражение в скобках: запись $3x + 2x - 1$ без скобок здесь безобидна, но при минусе перед $y$ потеря скобок меняет знак у всего выражения.

Подстановка универсальна: только она без изменений переносится на системы, где одно уравнение линейное, а другое второй степени. Именно поэтому на экзамене с ней стоит начинать, если не видно более короткого пути. Линейные системы уравнений с удобными коэффициентами, впрочем, быстрее решаются сложением.

Способ сложения

Способ сложения — это почленное сложение или вычитание уравнений так, чтобы одна переменная исчезла. Если коэффициенты при ней противоположны, достаточно просто сложить уравнения.

Решите систему $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$ .

Готовых противоположных коэффициентов нет, поэтому уравниваем коэффициенты при $y$ : первое уравнение умножаем на 2, второе — на 3. Получаем $4x + 6y = 26$ и $9x - 6y = 0$ . Складываем: $13x = 26$ , $x = 2$ . Из второго исходного уравнения $6 - 2y = 0$ , значит, $y = 3$ . Проверка в первом: $4 + 9 = 13$ . Ответ: $(2; 3)$ .

Умножать нужно обе части уравнения, включая правую. Забытая правая часть — самая частая ошибка этого способа: система $4x + 6y = 13$ , $9x - 6y = 0$ даёт $x = 1$ , и дальше всё решение уходит в сторону. Второе правило — после нахождения $x$ подставлять его в исходное, а не в умноженное уравнение: числа там меньше.

Миф: «способ сложения даёт другой ответ, чем подстановка, поэтому на экзамене засчитывают только один из них». Неверно: оба способа равносильны и приводят к одной и той же паре чисел. Критерии оценивания ФИПИ не требуют конкретного способа — засчитывается любое обоснованное решение.

Графический способ и число решений

Графический способ — это построение графиков обоих уравнений в одной системе координат: каждая точка пересечения даёт решение системы. Он хорош для ответа на вопрос «сколько решений», но редко даёт точные координаты.

Системы уравнений первой степени исследуются проще всего. Для двух линейных уравнений вида $y = kx + b$ всё определяется угловыми коэффициентами. Разные $k$ — прямые пересекаются, решение одно. Одинаковые $k$ и разные $b$ — прямые параллельны, решений нет. Совпадают и $k$ , и $b$ — прямые совпадают, решений бесконечно много. Подробности про наклон прямой собраны в статье линейная функция и угловой коэффициент.

Система	Взаимное расположение	Число решений
$y = 2x + 1$ , $y = -x + 4$	прямые пересекаются в точке $(1; 3)$	одно
$y = 2x + 1$ , $y = 2x - 3$	прямые параллельны	ни одного
$y = 2x + 1$ , $2y = 4x + 2$	прямые совпадают	бесконечно много
$y = x^2$ , $y = x + 2$	парабола и прямая, точки $(-1; 1)$ и $(2; 4)$	два

Если одно уравнение задаёт параболу, а другое прямую, решений может быть 0, 1 или 2. Аналитически это проверяют так: приравнивают правые части и смотрят на дискриминант получившегося квадратного уравнения. Для $y = x^2$ и $y = x + 2$ получаем $x^2 - x - 2 = 0$ , $D = 9 > 0$ — две точки пересечения. Проверить расположение кривых удобно в построителе графиков онлайн.

Нелинейные системы уравнений

Если хотя бы одно уравнение содержит $x^2$ , $xy$ или дробь, система нелинейная, и решений у неё может быть несколько. Основной инструмент тот же — подстановка, а результатом обычно становится квадратное уравнение. В демоверсии ОГЭ^[3] задания второй части по алгебре оформляются именно так: подстановка, квадратное уравнение, возврат ко второй переменной.

Решите систему $\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$ .

Из первого уравнения $y = x - 1$ . Подставляем: $x^2 + (x - 1)^2 = 25$ , то есть $2x^2 - 2x - 24 = 0$ , или $x^2 - x - 12 = 0$ . Корни $4$ и $-3$ . Для каждого находим $y$ : при $x = 4$ получаем $y = 3$ , при $x = -3$ — $y = -4$ . Ответ: $(4; 3)$ , $(-3; -4)$ . Геометрически это две точки, где прямая пересекает окружность радиуса 5.

Приём для симметричных систем: если даны $x + y$ и $xy$ , то $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ по теореме Виета. Для $x + y = 5$ , $xy = 6$ это $t^2 - 5t + 6 = 0$ с корнями $2$ и $3$ , и система имеет два решения: $(2; 3)$ и $(3; 2)$ . Пары, отличающиеся порядком, — разные решения, и в ответе нужны обе. Такие симметричные системы уравнений встречаются и в учебнике, и в сборниках типовых вариантов. Как быстро решать само квадратное уравнение, разобрано в теме квадратные уравнения и дискриминант.

Ещё один приём — разложение: в системе $x - y = 2$ , $x^2 - y^2 = 32$ второе уравнение равно $(x - y)(x + y) = 32$ , откуда $x + y = 16$ , и задача становится линейной.

Системы уравнений в задачах с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы содержит 9 задач: линейные и нелинейные системы уравнений, вопрос о числе решений и одну текстовую задачу. Ответ везде сведён к одному числу — значению переменной, сумме, произведению или количеству решений.

Решите систему на бумаге, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» откроет разбор, «Следующая задача →» перейдёт дальше, а задачи идут по кругу, так что ошибочную можно решить повторно. Если две задачи подряд решены неверно одним и тем же способом, вернитесь к соответствующему разделу выше.

На экзамене задания с кратким ответом редко содержат такие задачи в чистом виде, зато во второй части ОГЭ ответ записывают полностью — парой чисел или перечнем пар. Поэтому после тренажёра стоит оформить 3–4 решения целиком, как в задании 20 ОГЭ.

Когда школьный алгоритм не поможет

Не каждая задача с несколькими неизвестными решается приёмами из этой статьи — в части случаев нужен другой инструмент.

Если неизвестных 3 и больше, выручает последовательное исключение переменных, а графический способ уже не работает.
Если оба уравнения второй степени и ни одна переменная не выражается линейно, подстановка приводит к уравнению 4-й степени — ищите разложение или замену.
Если нужно точное решение, а координаты точки пересечения дробные, со знаменателем 3 или 7, график даст лишь оценку — считайте аналитически.
Если в условии есть параметр, число решений исследуют отдельно для каждого случая — это задача уровня задания 19 профильного ЕГЭ.

Чего делать нельзя

Нельзя терять решения и баллы на оформлении — эти 6 запретов покрывают большинство снижений во второй части.

Нельзя записывать в ответ только $x$ , если требуется пара: ответ $x = 2$ без $y$ не засчитывается.
Нельзя делить уравнение на переменную, не проверив, не равна ли она нулю, — так теряется решение.
Не следует находить вторую переменную из уравнения, в которое уже была подставлена первая: получится тождество, а не значение.
Не следует путать порядок координат: пара $(3; 2)$ и пара $(2; 3)$ — разные решения.
Не стоит доверять графику в вопросе о точных координатах: чертёж от руки может ошибаться на целую клетку.
Не допускается умножать на число только левую часть уравнения при способе сложения.

Миф: «у системы из двух уравнений не бывает больше двух решений». Не подтверждается: система $x^2 + y^2 = 25$ , $xy = 12$ имеет четыре решения — $(3; 4)$ , $(4; 3)$ , $(-3; -4)$ , $(-4; -3)$ . Ограничение «не более одного решения» верно только для двух несовпадающих прямых.

Как записать ответ

Ответ такой задачи — это перечень пар $(x; y)$ в круглых скобках через точку с запятой. Если решений нет, пишут «решений нет», а если их бесконечно много — описывают множество, например «все пары $(x; 2x + 1)$ ».

В заданиях с кратким ответом обычно просят одно число — значение переменной, сумму или произведение. Тогда сначала найдите все решения, а уже потом вычисляйте требуемое: если решений два, вопрос почти всегда уточняет, какое выбрать. В бланк записывается только число, без скобок и букв.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

Вопросы и ответы

Какой способ решения лучше выбрать на экзамене?

Тот, который короче для конкретной задачи. Если переменная выражается без дробей — подстановка, если коэффициенты противоположны — сложение. График используйте для проверки или вопроса о количестве решений.

Нужно ли делать проверку?

Проверка не входит в обязательное оформление, если все переходы равносильны. Но проверка найденной пары в обоих уравнениях занимает минуту и ловит большую часть арифметических ошибок.

Как понять, что решений бесконечно много?

При подстановке или сложении получится верное равенство без переменной, например $0 = 0$ . Это значит, что уравнения равносильны и задают одну и ту же прямую.

А если получилось неверное равенство вроде 0 = 5?

Тогда решений нет: уравнения противоречат друг другу, а их графики не пересекаются. В ответе так и пишут — «решений нет».

Можно ли решать текстовые задачи с одной переменной?

Часто можно обойтись одной переменной, выразив вторую величину через первую. Но запись двух уравнений с двумя неизвестными обычно ближе к условию и даёт меньше ошибок при составлении.

Сколько задач решить, чтобы уверенно владеть темой?

Ориентир — 25–30 задач: примерно поровну линейных и нелинейных. Возвращайтесь к теме через несколько дней: повторение с перерывами закрепляет навык лучше, чем одно длинное занятие.