Задание 20 ОГЭ: уравнения, системы и неравенства с решением

Что проверяет задание 20 и сколько баллов даёт

Задание 20 — это задача повышенного уровня на алгебраические выражения, уравнения, неравенства и системы. По спецификации ФИПИ^[1] оно оценивается в 2 первичных балла, как и все задания 20–25 второй части.

В отличие от первой части, здесь проверяют не число, а решение. Эксперт читает запись в бланке ответов № 2 и сверяет её с критериями оценивания. Верный ответ без решения не засчитывается, а грамотное решение с одной вычислительной ошибкой может принести 1 балл.

По содержанию номер продолжает задания 9 и 13 первой части, но уравнения сложнее: биквадратные, дробно-рациональные, уравнения высших степеней с разложением на множители, неравенства с иррациональным коэффициентом, нелинейные системы. Для девятиклассника, который нацелен на «4» или «5», это самые доступные 2 балла второй части: алгебра здесь стандартная, а оформление можно отработать заранее.

Критерии оценивания своими словами

Критерии оценивания ФИПИ для этого номера состоят из 3 уровней: 2 балла, 1 балл и 0 баллов. Разница между ними определяется не сложностью найденного пути, а полнотой и обоснованностью записи.

Баллы	Что должно быть в решении	Типичный пример
2	обоснованно получен верный ответ, все переходы видны	уравнение решено, посторонний корень исключён с пояснением
1	решение доведено до конца, но есть вычислительная ошибка или описка, и с её учётом дальнейшие шаги верны	ошибка в дискриминанте, остальное решено правильно
0	решение не соответствует ни одному из критериев выше	только ответ; потерян корень из-за деления на выражение с переменной

Из этого следуют два практических вывода. Первый: ход решения важнее скорости, и пропущенный шаг может стоить обоих баллов. Второй: посторонний корень в ответе — это не описка, а ошибка в обосновании, и 1 балл за такое решение обычно не ставят. Демоверсия ФИПИ^[2] приводит образец задачи и критериев, их стоит прочитать хотя бы один раз целиком.

Какие задачи встречаются во второй части

Если сгруппировать задачи сборников типовых вариантов, получится 4 типа: уравнение, система, неравенство и преобразование выражения. Для каждого есть свой главный приём и своя главная ловушка.

Уравнение. Замена переменной ( $t = x^2$ или $t = x^2 + 2x$ ), группировка, вынесение общего множителя. Ловушка — деление на выражение с $x$ , из-за которого теряется корень. Приёмы собраны в материале уравнения высших степеней.
Дробно-рациональное уравнение. Приравнивают числитель к нулю и проверяют знаменатель. Ловушка — оставить в ответе корень, при котором знаменатель равен нулю.
Система. Подстановка или сложение; в ответе — пары чисел. Ловушка — записать только значения $x$ .
Неравенство. Разложение на множители и метод интервалов, оценка иррационального числа. Ловушка — разделить на отрицательное выражение и не сменить знак.

Иногда в номере встречается сокращение алгебраической дроби с последующим вычислением значения. Такое задание выглядит проще, но и здесь эксперт ждёт разложения на множители и указания, при каких значениях переменной выражение не определено.

Выбор приёма в задании 20 удобно делать по внешнему виду условия. Повторяется одно и то же выражение — нужна замена. Есть общий множитель или четыре слагаемых — группировка и разложение. Есть дробь с переменной — уравнение сводится к условию «числитель равен нулю, знаменатель не равен». В неравенстве всё переносят в одну часть и раскладывают на множители: так метод интервалов работает без ошибок со знаком. Учебник Макарычева^[4] разбирает каждый из этих приёмов на простых примерах, и именно они потом встречаются в усложнённом виде.

Пример оформления: уравнение с заменой

Чтобы получить 2 балла, решение записывают так, чтобы проверяющий мог пройти по нему без догадок: замена, новое уравнение, возврат к исходной переменной, ответ. Ниже — образец на 8–10 строк.

Решите уравнение $(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0$ .

Замена. Пусть $t = x^2 + 2x$ . Уравнение принимает вид $t^2 - 2t - 3 = 0$ .
Новое уравнение. По теореме Виета или через дискриминант $D = 4 + 12 = 16$ : $t_1 = 3$ , $t_2 = -1$ .
Первый случай. $x^2 + 2x = 3$ , то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$ , откуда $x = 1$ или $x = -3$ .
Второй случай. $x^2 + 2x = -1$ , то есть $(x + 1)^2 = 0$ , откуда $x = -1$ .
Ответ. $-3$ ; $-1$ ; $1$ .

Обратите внимание: второй случай нельзя отбрасывать только потому, что $t$ отрицательно. Здесь $t = x^2 + 2x$ может принимать отрицательные значения, в отличие от замены $t = x^2$ , где условие $t \ge 0$ обязательно. Подстановка $x = -1$ в исходное уравнение даёт $1 + 2 - 3 = 0$ — корень верный.

Миф: «если ответ совпал с ответом в конце сборника, 2 балла гарантированы». Это неверно: оценивается обоснованность решения, а не только ответ. Верный ответ без записи переходов или с «волшебным» появлением корней может получить 0 баллов.

Разбор системы и неравенства

Чтобы закрыть остальные типы, разберём 2 задачи: нелинейную систему и неравенство, где нельзя делить на выражение с переменной. Оба решения записаны в том объёме, который ожидают эксперты.

Система: окружность и прямая

Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x - y = 1. \end{cases}$

Из второго уравнения $y = x - 1$ . Подставим в первое: $x^2 + (x - 1)^2 = 25$ , $2x^2 - 2x - 24 = 0$ , $x^2 - x - 12 = 0$ , откуда $x = 4$ или $x = -3$ . Соответственно $y = 3$ или $y = -4$ . Ответ: $(4; 3)$ , $(-3; -4)$ . Ответ в виде « $x = 4$ , $x = -3$ » не засчитывается: решение системы — это пары чисел. Повторить способы помогает материал системы уравнений и способы решения.

Общий множитель в левой части

Решите неравенство $x^2(-x^2 - 9) \le 9(-x^2 - 9)$ .

Переносим всё в левую часть и выносим общий множитель: $(-x^2 - 9)(x^2 - 9) \le 0$ . Множитель $-x^2 - 9$ отрицателен при любом $x$ , поэтому делим на него и меняем знак: $x^2 - 9 \ge 0$ . Отсюда $x \le -3$ или $x \ge 3$ . Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$ . Делить на $-x^2 - 9$ можно только после того, как явно записано, что он отрицателен, — без этой строки переход не обоснован.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 авторских задач в формате задания 20: уравнения, система, неравенства и преобразование. Ответ каждой сведён к одному числу — корню, сумме корней или количеству целых решений.

Сначала решите задачу на бумаге с полной записью, как в бланке № 2, и только потом вводите число и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» показывает ключевые шаги; если ваш путь другой, но обоснован и ответ совпал, — это нормально, критерии допускают любой верный способ. Задачи идут по кругу, поэтому через неделю их полезно прорешать заново: распределённое повторение закрепляет навык лучше, чем повторение в тот же день^[3].

Ошибки, из-за которых снижают балл

Большинство потерь здесь связано не с алгеброй, а с обоснованием: 5 ошибок встречаются чаще остальных.

Потерянный корень. Деление на $x$ или на $x + 2$ без рассмотрения случая, когда это выражение равно нулю.
Посторонний корень. В дробно-рациональном уравнении не проверен знаменатель.
Ответ без пар чисел. Записаны только значения одной переменной.
Знак неравенства. При делении на отрицательное выражение знак не изменён.
Нет строки «Ответ». Решение обрывается, и непонятно, что именно получено.

Миф: «во второй части нужно писать ОДЗ в каждой задаче». Не подтверждается критериями: область допустимых значений нужна, только если в уравнении есть дроби с переменной или корни. Если знаменателей и корней с переменной нет, отдельная строка ОДЗ не требуется.

Когда задание 20 не подходит для старта

Не каждому ученику стоит начинать вторую часть именно с этого номера: иногда баллы надёжнее добрать в другом месте.

Если в первой части стабильно решено меньше 12 заданий из 19, сначала доведите её до уверенного результата.
Если цель — отметка «3», задание 20 не обязательно: для неё хватает 8 баллов, но не менее 2 из них за геометрию.
Если дискриминант считается с ошибками чаще 2 раз из 10, начните с задания 9 и теории.
Если до экзамена меньше 3 недель, а метод интервалов не освоен, выгоднее отработать остальные типы.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать верное решение в 0 баллов из-за записи: эксперт оценивает то, что видит в бланке, а не то, что было в голове.

Нельзя делить обе части равенства на выражение с переменной, не рассмотрев случай, когда оно равно нулю.
Нельзя оставлять в ответе корень, обращающий знаменатель в нуль.
Не следует записывать ответ из двух переменных без пар чисел.
Не следует переносить в бланк черновые зачёркивания: перепишите решение чисто.
Не стоит оставлять два разных решения: эксперт может оценить худшее.
Не допускается пользоваться калькулятором — все вычисления должны быть видны.

Общие правила записи второй части разобраны в материале как оформлять задания с развёрнутым ответом, а следующий номер — текстовая задача в задании 21.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 20 ОГЭ?

До 2 первичных баллов: 2 — за полностью обоснованное решение, 1 — за решение с вычислительной ошибкой или опиской при верном ходе.

Можно ли решать не так, как в учебнике?

Да. Критерии допускают любой математически верный и обоснованный способ. Главное — чтобы каждый шаг был понятен проверяющему.

Где записывать решение?

В бланке ответов № 2, указав номер задания. Черновик не проверяется, поэтому всё важное должно попасть в бланк.

Нужно ли делать проверку корней?

Если в условии есть дробь с переменной — обязательно: хотя бы указать, что корень не обращает знаменатель в нуль. В остальных случаях проверка подстановкой полезна для себя, но не требуется.

Какие темы повторить в первую очередь?

Дискриминант и теорему Виета, разложение на множители, алгебраические дроби и метод интервалов. Вся эта база есть в учебнике алгебры Макарычева для 8–9 классов^[4].

Сколько времени тратить на этот номер?

Ориентир — 10–15 минут вместе с чистовой записью. Если решение не складывается за 20 минут, лучше перейти к следующему заданию и вернуться позже.