Как построить график в задании 22 ОГЭ и найти значения параметра

Что проверяет задание 22 и сколько баллов даёт

Задание 22 — третья задача второй части ОГЭ, повышенного уровня: нужно упростить формулу, учесть область определения, построить график и ответить на вопрос о прямой. По спецификации ФИПИ за полное решение ставится 2 первичных балла^[1].

Вся вторая часть — задания 20–25 — даёт 12 баллов из 31, и алгебраических номеров в ней три: 20, 21 и 22. Построение графика среди них самое «визуальное»: здесь почти не бывает длинных вычислений, зато каждая деталь рисунка проверяется. Эксперт смотрит на три вещи: верно ли определён вид кривой, отмечены ли выколотые точки и найдены ли все значения параметра.

Чаще всего в задании встречаются четыре сюжета. Дробь, которая после сокращения превращается в параболу или прямую с выколотыми точками. Дробь, сводящаяся к гиперболе. Функция, заданная разными формулами на разных промежутках. И функция с модулем. Последние два сюжета мы разбираем отдельно на странице про кусочные функции и модуль, а здесь — общий алгоритм и дроби.

Алгоритм решения: пять шагов

Если держаться одной схемы, номер решается за 15–20 минут: область определения, упрощение, выколотые точки, контрольные точки для рисунка, анализ прямой. Пропуск любого шага почти гарантированно стоит балла.

1. Область определения. Выпишите, при каких $x$ знаменатель равен нулю. Эти значения не входят в область определения, и их нельзя «потерять» после сокращения.
2. Упрощение. Разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь. В записи сохраняется условие: «$y = x^2 + x - 6$ при $x \ne 3$, $x \ne -2$».
3. Выколотые точки. Подставьте исключённые $x$ в упрощённую формулу и найдите их ординаты. На графике это пустые кружки.
4. Контрольные точки. Для параболы — вершина и по две-три точки с каждой стороны, для гиперболы — по три точки на каждой ветви. Значения удобно оформить таблицей.
5. Прямая. Мысленно двигайте прямую $y = m$ снизу вверх (или поворачивайте $y = kx$) и отмечайте моменты, когда число общих точек меняется.

Сокращение дроби опирается на темы 8 класса из учебника Макарычева^[3]: разложение на множители, формулы сокращённого умножения и условие, что знаменатель не равен нулю. Если на втором шаге возникают трудности, сначала повторите сокращение рациональных дробей, а уже потом возвращайтесь к графикам.

Разбор: парабола с двумя выколотыми точками

Это самый частый сюжет номера: дробь четвёртой степени сокращается до квадратного трёхчлена, а две «дырки» на параболе меняют ответ про прямую $y = m$.

Постройте график функции $y = \dfrac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x - 3)(x + 2)}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: $x \ne 3$ и $x \ne -2$. Числитель — биквадратный трёхчлен: $x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)$. После сокращения остаётся $y = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$ при $x \ne 3$, $x \ne -2$.

Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $x_0 = -\frac12$, $y_0 = \frac14 - \frac12 - 6 = -6{,}25$. Выколотые точки: при $x = 3$ получаем $y = 9 + 3 - 6 = 6$, при $x = -2$ — $y = 4 - 2 - 6 = -4$. Значит, на графике пустые кружки в точках $(3; 6)$ и $(-2; -4)$.

Теперь прямая $y = m$. При $m < -6{,}25$ общих точек нет, при $m = -6{,}25$ прямая касается вершины — одна точка. Выше вершины горизонтальная прямая пересекает параболу дважды, но есть два исключения. При $m = -4$ одна из двух точек — выколотая $(-2; -4)$, вторая — $(1; -4)$: общая точка одна. При $m = 6$ аналогично выпадает $(3; 6)$, а остаётся $(-4; 6)$.

Ответ: $m = -6{,}25$; $m = -4$; $m = 6$. Три значения, и только одно из них «видно» без анализа выколотых точек — именно поэтому пропущенная «дырка» обходится в балл.

Разбор: гипербола и прямая через начало координат

Если степень знаменателя больше степени числителя, после сокращения обычно остаётся гипербола, а вопрос задают уже про прямую $y = kx$, которая вращается вокруг начала координат.

Постройте график функции $y = \dfrac{x^2 + 2x}{x^3 + 2x^2}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Знаменатель $x^2(x + 2)$ обращается в ноль при $x = 0$ и $x = -2$. Числитель равен $x(x + 2)$, поэтому $y = \frac{1}{x}$ при $x \ne 0$, $x \ne -2$. График — гипербола в первой и третьей четвертях с одной выколотой точкой $\left(-2; -\frac12\right)$; точка $x = 0$ и так не принадлежит гиперболе.

Уравнение $kx = \frac1x$ равносильно $x^2 = \frac1k$. При $k \le 0$ решений нет: прямая лежит во второй и четвёртой четвертях или совпадает с осью абсцисс. При $k > 0$ корней два, $x = \pm\frac{1}{\sqrt k}$, и прямая пересекает обе ветви. Одна общая точка останется, только если один из корней равен $-2$: $\frac1k = 4$, $k = \frac14$. Тогда точка $\left(-2; -\frac12\right)$ выколота, а $\left(2; \frac12\right)$ остаётся.

Ответ: $k = 0{,}25$. Свойства обратной пропорциональности, которые здесь понадобились, собраны в материале про гиперболу и её асимптоты.

Миф: «после сокращения дроби можно забыть про исключённые $x$ — эксперт смотрит только на кривую». Это неверно: график без выколотых точек считается построенным неверно, а значит, и ответ про параметр не засчитывается. Именно из-за «дырок» в ответе появляются значения, которых не бывает у обычной параболы.

Критерии оценивания и оформление решения

Критерии оценивания ФИПИ для этого номера — это два уровня: 2 балла за верный график и все верные значения параметра, 1 балл за верный график при неверных или неполных значениях, иначе 0.

Отсюда простое правило: график важнее параметра. Если вы не уверены в анализе прямой, всё равно аккуратно постройте кривую — это уже балл. Обратное не работает: верное число в ответе при ошибочном рисунке не засчитывается. В демоверсии ФИПИ^[2] формулировка требует именно «построить график», поэтому словесного описания кривой недостаточно.

Что должно быть в бланке:

• Условия на x. Строка с областью определения и запись упрощённой функции с ограничениями.
• Таблица значений. Не менее 5 точек для параболы, включая вершину; для гиперболы — по 3 точки на ветвь.
• Чертёж. Оси с подписями $x$, $y$, единичный отрезок, кривая, пустые кружки на месте выколотых точек с координатами.
• Обоснование. Одна-две фразы о том, при каких значениях параметра прямая проходит через вершину или выколотую точку.
• Ответ. Все значения через точку с запятой, без пропусков.

Рисунок делают той же чёрной гелевой или капиллярной ручкой по клеткам бланка, единичный отрезок — 2 клетки или 1 сантиметр. Общие правила записи второй части описаны в материале как оформлять задания с развёрнутым ответом.

Построитель графиков: проверка себя

«Построитель графиков» вверху страницы — это интерактивная координатная плоскость с ползунками коэффициентов параболы: меняя их, вы сразу видите, как смещается вершина и раскрываются ветви.

Как использовать его для тренировки номера. Решите задачу на бумаге, найдите упрощённую формулу и вершину, а потом выставьте ползунками те же коэффициенты. Совпала вершина — значит, упрощение и вычисления верны. Выколотые точки построитель не рисует: их нужно отметить на своём чертеже самостоятельно, и это хорошая проверка внимательности.

Полезное упражнение на 10 минут: зафиксируйте параболу и мысленно ведите прямую $y = m$ снизу вверх, записывая число общих точек на каждом участке. Через 3–4 таких прогона анализ параметра становится автоматическим. Построение параболы по вершине и сдвиги графиков подробно разобраны в учебнике алгебры для 9 класса^[4] — этих навыков хватает для задания 22 без дополнительной теории. Подробнее о свойствах квадратного трёхчлена — в теме квадратичная функция и парабола.

Типичные ошибки и как проверить ответ

Ошибки в этом номере повторяются из года в год — их пять, и почти все ловятся проверкой за 2–3 минуты до переноса решения в бланк.

• Сокращение без условий. Дробь упрощена, а запись «при $x \ne \ldots$» исчезла — следом пропадают выколотые точки.
• Неверная ордината «дырки». Исключённый $x$ подставляют в исходную дробь (получают $\frac00$) вместо упрощённой формулы.
• Потеря вершины. Значение $m$, при котором прямая касается вершины параболы, забывают добавить в ответ.
• Лишнее значение. В ответ попадает ордината выколотой точки, через которую проходит ровно одна «живая» точка, когда спрашивают про две.
• Кривой рисунок. Парабола нарисована «на глаз» по двум точкам и выглядит как галочка.

Как проверить ответ: для каждого найденного $m$ решите уравнение «функция $= m$» и посчитайте корни с учётом исключённых $x$. В первом разборе при $m = 6$ уравнение $x^2 + x - 12 = 0$ даёт $x = 3$ и $x = -4$, а $x = 3$ не входит в область определения — остаётся один корень, всё сходится.

Миф: «в задании 22 ответ всегда одно число». Не подтверждается: в разобранной выше задаче три значения $m$, а бывают и промежутки вида $m > 4$. Ответ определяется рисунком, а заранее известного количества значений не существует.

Когда этот номер не нужен для цели

Не каждому девятикласснику стоит начинать вторую часть именно с графика — иногда выгоднее закрыть другие номера.

• Если в первой части стабильно решено меньше 14 заданий из 19, сначала доведите её: отметка «4» начинается с 15 баллов по рекомендуемой шкале ФИПИ.
• Если цель — «3», для неё хватает 8 баллов, и второй частью можно вообще не заниматься.
• Если разложение на множители и формулы сокращённого умножения не освоены, за 1–2 недели до экзамена надёжнее потренировать задание 20.
• Если на построение одной параболы уходит больше 15 минут, сначала отработайте графики в задании 11, где нужно только узнавать кривые.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы в номере, где решение уже почти готово, — большая часть снижений связана не с математикой, а с небрежностью.

• Нельзя сокращать дробь, не выписав заранее значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.
• Нельзя закрашивать выколотую точку: пустой кружок обязателен.
• Не следует строить параболу меньше чем по 5 точкам — форма получится неточной.
• Не следует писать ответ без короткого пояснения, откуда взялось каждое значение параметра.
• Не стоит рисовать график карандашом: бланк сканируется, и бледная линия может не распознаться.
• Не допускается заменять построение словами «график — парабола с вершиной…»: требуется рисунок.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Сколько баллов можно получить за задание 22?

Не более 2 первичных баллов. Один из них ставится за верно построенный график, даже если значения параметра найдены неверно или не найдены.

Изменится ли номер в 2027 году?

По документу ФИПИ «Планируемые изменения в КИМ ОГЭ 2027 года» математика отнесена к предметам без изменений. Структура варианта и тип задачи сохраняются, поэтому подходят и прошлые сборники.

Можно ли строить кривую без таблицы значений?

Формально таблица не обязательна, но без неё эксперту сложнее проверить точность рисунка. Пять-шесть точек в таблице занимают одну строку и снимают вопросы.

Какой масштаб выбрать на клетчатом бланке?

Обычно одна единица — две клетки. Если ордината вершины равна, например, $-6{,}25$, а выколотая точка лежит на высоте 6, проверьте, что весь нужный участок помещается на листе, иначе возьмите одну клетку на единицу.

Что делать, если дробь не сокращается?

Скорее всего, ошибка в разложении на множители. Проверьте корни числителя подстановкой: в задачах ОГЭ хотя бы один множитель знаменателя всегда «уходит» при сокращении.

Засчитают ли ответ в виде промежутка?

Да, если параметр принимает целый промежуток значений, его записывают неравенством или промежутком, например $m \in (0; 4)$. Главное — не перепутать круглую и квадратную скобки на концах.