Задание 25 ОГЭ по математике: сложная планиметрия

Q: Что делать, если ответ получился с корнем?

Во второй части это допустимо: ответ записывают в виде 2\sqrt{21} или \frac{5\sqrt3}{2}. Ограничения бланка № 1 на целые числа и десятичные дроби здесь не действуют.

Что проверяет задание 25 и сколько оно стоит

Задание 25 — одна из двух задач высокого уровня сложности в ОГЭ: проверяется умение комбинировать несколько фактов планиметрии и находить дополнительное построение. По спецификации ФИПИ за полное решение дают 2 первичных балла^[1].

Критерии оценивания похожи на критерии для задания 23: ход решения верный, все шаги обоснованы, ответ верный — 2 балла; ход верный, но допущена вычислительная ошибка или обоснование неполное — 1 балл; иначе — 0. Отличается сама задача: здесь редко хватает одной теоремы, а ключевой шаг обычно не написан в условии.

Кому нужен этот номер? Прежде всего тем, кто целится в «5» с запасом или поступает в профильный класс: ориентир для физико-математического профиля — 19 баллов, из них не менее 7 по геометрии^[2]. Семь геометрических баллов почти невозможно набрать без второй части, а задача 25 — самая «дорогая» её геометрическая строка по усилиям.

Хорошая новость в том, что набор конструкций, на которых строятся такие задачи, ограничен. Если знать 6–8 типовых конструкций и уметь их узнавать, задача повышенной сложности превращается в цепочку знакомых шагов.

Когда браться за задание 25 на самом экзамене? Только после того, как решены и проверены первая часть и задания 20–24: на весь вариант даётся 235 минут, и разумный запас на последнюю задачу — 25–30 минут. Если к этому моменту времени меньше, полезнее перепроверить бланк № 1. Если же время есть, начните с чертежа и попробуйте узнать в нём одну из конструкций ниже — даже частичное, но обоснованное продвижение не пропадает, ведь решение с одной вычислительной ошибкой может получить 1 балл. Нельзя только оставлять в бланке несколько противоречащих друг другу попыток: эксперт не обязан выбирать из них лучшую.

Типовые конструкции и дополнительные построения

Конструкция — это повторяющаяся комбинация фигур и фактов, которая подсказывает ход решения: увидели две пересекающиеся хорды — вспоминаем произведения отрезков, увидели медиану — думаем об удвоении.

Что видим в условии	Конструкция или построение	Что она даёт
Медиана треугольника	удвоение медианы до параллелограмма	связь медианы и сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
Точка пересечения медиан	деление медиан в отношении $2 : 1$	длины отрезков медиан
Окружность через две вершины треугольника	вписанный четырёхугольник	подобие отсечённого треугольника исходному
Диагонали трапеции или параллелограмма	подобные треугольники «бабочка»	отношения отрезков и площадей
Биссектриса	свойство биссектрисы, равнобедренный треугольник	отношение отрезков стороны
Касающиеся окружности	отрезок между центрами, прямоугольная трапеция	длина общей касательной
Вписанная окружность	равные отрезки касательных	стороны через радиус и отрезки

Классическое собрание таких конструкций — «Задачи по планиметрии» Прасолова^[3]; для ОГЭ хватает первых глав. Базовые факты удобно повторить по темам подобие треугольников и медиана, биссектриса, высота — без них ни одна конструкция не заработает.

Разбор 1: удвоение медианы

Если в задаче даны две стороны и медиана между ними, удвоение медианы за 2 шага сводит всё к параллелограмму, где работает известное соотношение диагоналей и сторон.

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 7$ , $AC = 9$ , а медиана $AM = 4$ . Найдите $BC$ .

Дополнительное построение здесь стандартное. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$ : $MD = AM = 4$ , $AD = 8$ . В четырёхугольнике $ABDC$ диагонали $AD$ и $BC$ точкой пересечения $M$ делятся пополам, значит, это параллелограмм.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $AD^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$ . Подставляем: $64 + BC^2 = 2(49 + 81) = 260$ , откуда $BC^2 = 196$ , $BC = 14$ .

Ответ: 14. Проверка неравенством треугольника: $7 + 9 = 16 > 14$ , треугольник существует. Соотношение для параллелограмма выводится из теоремы косинусов; если в вашем учебнике его нет, перед использованием выведите его в 2 строки.

Разбор 2: окружность через две вершины

Окружность, проходящая через две вершины треугольника и пересекающая две его стороны, — это почти всегда подсказка: отсечённый треугольник подобен исходному.

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ . Известно, что $AB = 12$ , $BC = 10$ , $AC = 14$ , $BK = 5$ . Найдите $BM$ и $KM$ .

Четырёхугольник $AKMC$ вписан в окружность, поэтому $\angle BKM = 180^\circ - \angle AKM = \angle ACM$ : сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$ . Значит, треугольники $BKM$ и $BCA$ подобны по двум углам (угол $B$ общий).

Сходственные стороны: $BK$ соответствует $BC$ , $BM$ — $BA$ , $KM$ — $CA$ . Коэффициент $\frac{BK}{BC} = \frac{5}{10} = \frac12$ . Тогда $BM = \frac12 \cdot 12 = 6$ и $KM = \frac12 \cdot 14 = 7$ . Ответ: $BM = 6$ , $KM = 7$ .

Эта конструкция встречается так часто, что её стоит узнавать с первого взгляда. Главная ловушка — сопоставить $BK$ с $BA$ «по буквам». Подобие здесь «перевёрнутое»: против равных углов лежат стороны с разными названиями. Проверка: $BK \cdot BA = 5 \cdot 12 = 60$ и $BM \cdot BC = 6 \cdot 10 = 60$ — равенство произведений секущих выполнено.

Миф: «задачу 25 решают только олимпиадники, обычному девятикласснику браться бессмысленно». Это неверно: в разобранных конструкциях нет ничего сверх учебника Атанасяна^[4]. Сложность в том, чтобы узнать конструкцию, а этому учатся на 20–30 задачах, специального таланта не существует.

Разбор 3: площади в параллелограмме

Чтобы найти площадь «кусочка» фигуры, удобно идти через отношения: подобие даёт отношение отрезков, а треугольники с общей высотой — отношение площадей.

Точка $E$ — середина стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ . Отрезок $AE$ пересекает диагональ $BD$ в точке $F$ . Площадь параллелограмма равна 60. Найдите площадь треугольника $BFE$ .

Треугольники $BFE$ и $DFA$ подобны по двум углам (накрест лежащие при $BC \parallel AD$ ), коэффициент $\frac{BE}{AD} = \frac12$ . Поэтому $BF : FD = 1 : 2$ и $EF : FA = 1 : 2$ .

Диагональ делит параллелограмм пополам: $S_{ABD} = 30$ . Треугольники $ABF$ и $ABD$ имеют общую высоту из $A$ , а $BF = \frac13 BD$ , значит, $S_{ABF} = 10$ . Треугольники $BFE$ и $BFA$ имеют общую высоту из $B$ , а $FE = \frac12 FA$ , поэтому $S_{BFE} = 5$ . Ответ: 5.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 задач на конструкции из таблицы: биссектриса, медианы, касающиеся окружности, площади в трапеции, вписанные углы, хорды.

Каждая задача здесь — один ключевой шаг настоящего номера, вынесенный отдельно. Сначала решите на бумаге и проговорите, какую конструкцию узнали, затем введите ответ и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» показывает разбор, а «Следующая задача →» листает задачи по кругу. Возвращайтесь к блоку через 2–3 дня: повторение с интервалами закрепляет приёмы лучше, чем 2 часа подряд^[5].

Как подступиться, если идея не видна

Если за 5 минут решение не появилось, помогает план из четырёх вопросов: что дано, какие конструкции из таблицы здесь есть, что можно достроить и какой величины не хватает до ответа.

Крупный чертёж. На половину листа, близкий к условию по пропорциям: на точном рисунке равенства часто «видны» заранее.
Отметить всё данное. Равные углы дугами, равные отрезки чёрточками, параллельность стрелками.
Искать подобие. Два треугольника с парой равных углов — первый кандидат.
Достроить. Удвоить медиану, провести параллельную прямую, соединить центр окружности с точкой касания.
Ввести неизвестное. Если ничего не помогает — обозначить отрезок за $x$ и составить уравнение.

Оформление то же, что во всей второй части: чертёж, обоснованные шаги, ответ. Подробнее — в материале оформление заданий с развёрнутым ответом. Если не удаётся довести решение до конца, всё равно запишите обоснованную часть: при одной вычислительной ошибке ставится 1 балл.

Когда этот номер не нужен

Не каждому выпускнику стоит тратить время на последнюю задачу — для многих целей она лишняя.

Если цель — «4», достаточно 15 баллов, и задача 25 не входит в обязательный набор.
Если задания 23 и 24 пока не приносят стабильно хотя бы 2 балла из 4, начинайте с них.
Если до экзамена меньше 3 недель, а признаки подобия и теорема Пифагора не уверенные, разумнее повторить первую часть.
Если на номер уходит больше 30 минут из 235, лучше проверить первую часть ещё раз.

Чего делать нельзя

Нельзя ставить под угрозу баллы за весь вариант ради одной задачи: она решается последней, когда остальное проверено.

Нельзя проводить новые линии без словесного описания, как они получены.
Нельзя сопоставлять стороны подобных треугольников по порядку букв, не проверив равные углы.
Не следует опираться на свойства, «видные» на чертеже: точный рисунок — не доказательство.
Не следует использовать формулы вне школьного курса (Стюарта, Птолемея) без вывода.
Не стоит начинать вторую часть с этой задачи: сначала задания 20–24.
Не допускается пользоваться калькулятором: корни и дроби считаются вручную.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Рекомендации по использованию и интерпретации результатов выполнения экзаменационных работ для проведения ГИА по образовательным программам основного общего образования в 2026 году (приложение к письму Рособрнадзора от 25.02.2026 № 02-20).

[3] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

[4] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[5] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 25?

До 2 первичных баллов, как и любая задача второй части ОГЭ. Один балл ставят за верный ход решения с вычислительной ошибкой.

Чем задача 25 отличается от задачи 23?

В задаче 23 нужный факт обычно лежит на поверхности, а здесь ключевой шаг скрыт: нужно провести вспомогательную линию или увидеть подобие, которое не очевидно. Объём решения тоже больше — 10–15 строк.

Можно ли пользоваться теоремой косинусов?

Да, теоремы синусов и косинусов входят в школьный курс 9 класса, и на них можно ссылаться без вывода. Повторить их можно по теме теоремы синусов и косинусов.

Бывают ли в номере задачи с доказательством?

Иногда условие состоит из двух частей: сначала доказать вспомогательное утверждение, потом вычислить. Тогда обоснование первой части обязательно, иначе вычисление опирается на недоказанный факт.

Сколько задач нужно решить для уверенности?

Ориентир — 25–30 задач разных типов с разбором. Важнее не количество, а то, чтобы после каждой задачи вы могли назвать приём, на котором она держится.

Что делать, если ответ получился с корнем?

Во второй части это допустимо: ответ записывают в виде $2\sqrt{21}$ или $\frac{5\sqrt3}{2}$ . Ограничения бланка № 1 на целые числа и десятичные дроби здесь не действуют.