Медианы, биссектрисы, высоты: что запомнить и где они пересекаются

Определения: куда идёт каждый отрезок

Медиана — это отрезок от вершины до середины противоположной стороны; биссектриса — отрезок, делящий угол треугольника пополам; высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

У каждого треугольника по три медианы, три биссектрисы и три высоты. В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри, в прямоугольном две высоты совпадают с катетами, а в тупоугольном две высоты падают на продолжения сторон, за пределы треугольника. Медианы и биссектрисы всегда лежат внутри — это следует из определений.

Удобно помнить и порядок расположения: если из одной вершины провести все три отрезка, биссектриса окажется между медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике к основанию все три совпадают, и это видно на любом чертеже.

Свойства медианы

Три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$, считая от вершины: от вершины до точки пересечения — две трети медианы.

Второе важное свойство — про площади. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: основания у них равны (половины стороны), а высота общая. Три медианы вместе делят треугольник на 6 частей одинаковой площади — этот факт часто нужен в задачах второй части.

У точки пересечения медиан есть физический смысл: это центр масс однородной треугольной пластинки. Вырежьте треугольник из картона, проведите две медианы — и он будет балансировать на острие карандаша именно в их общей точке. В координатах она находится как среднее арифметическое координат вершин: для вершин $(0; 0)$, $(6; 0)$ и $(3; 9)$ центроид имеет координаты $(3; 3)$. Проверка через отношение: медиана из вершины $(3; 9)$ идёт в середину $(3; 0)$, её длина 9, и точка $(3; 3)$ отстоит от вершины на 6 — ровно две трети.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Причина в том, что середина гипотенузы — центр описанной окружности, и расстояния до всех трёх вершин равны радиусу. При гипотенузе 10 медиана к ней равна 5 — без всяких вычислений.

Для произвольного треугольника длину медианы даёт формула, которая выводится из теоремы косинусов:

$$m_c = \frac12 \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}.$$

Пример: стороны 11, 13 и 16. Медиана к стороне 16 равна $\frac12 \sqrt{242 + 338 - 256} = \frac12 \sqrt{324} = 9$. Под корнем всегда стоят удвоенные квадраты двух сторон, прилежащих к вершине, минус квадрат той стороны, к которой проведена медиана.

Свойство биссектрисы

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: если $BL$ — биссектриса треугольника $ABC$, то $AL : LC = AB : BC$.

Пример: $AB = 6$, $BC = 9$, $AC = 10$. Отношение $AL : LC = 6 : 9 = 2 : 3$, на одну часть приходится $10 : 5 = 2$, поэтому $AL = 4$, $LC = 6$. Типичная ошибка — поделить сторону пополам, как будто это медиана. Деление пополам получается только при $AB = BC$.

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Поэтому три биссектрисы пересекаются в одной точке, равноудалённой от всех сторон, — центре вписанной окружности. Подробно эта конструкция разобрана в материале вписанная и описанная окружности треугольника.

Полезна и формула угла между двумя биссектрисами: если $I$ — точка их пересечения, то $\angle AIB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$. При $\angle C = 60^\circ$ угол $AIB$ равен $120^\circ$ — это сразу видно из суммы углов треугольника $AIB$.

Высота и её длина

Высота — это кратчайшее расстояние от вершины до прямой, содержащей противоположную сторону, и её длину проще всего искать через площадь: $h_a = \frac{2S}{a}$.

Отсюда следует, что высоты обратно пропорциональны сторонам: к большей стороне проведена меньшая высота. Если сторона 10 и высота к ней 12, то удвоенная площадь равна 120, и высота к стороне 15 составит $120 : 15 = 8$. Формулы площади всех фигур собраны в статье площади треугольника и четырёхугольников.

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: $h = \frac{ab}{c}$. При катетах 6 и 8 гипотенуза 10, а высота $\frac{48}{10} = 4{,}8$. Высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре: у остроугольного треугольника он внутри, у прямоугольного совпадает с вершиной прямого угла, у тупоугольного лежит снаружи.

В тупоугольном треугольнике высоту из вершины острого угла проводят к продолжению стороны, и основание высоты оказывается вне отрезка. На длину это не влияет: формула $h = \frac{2S}{a}$ по-прежнему верна, потому что площадь не зависит от того, где лежит основание перпендикуляра. Ошибаются обычно на рисунке — ставят основание высоты на саму сторону и получают неверный прямоугольный треугольник.

Медиана, биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, — это один и тот же отрезок; доказывается это через равенство двух половинок треугольника.

Верно и обратное: если в треугольнике из одной вершины совпали любые два отрезка из трёх, то треугольник равнобедренный. Например, если медиана оказалась высотой, то она — серединный перпендикуляр к стороне, и концы стороны равноудалены от вершины. Признаки, на которых держится это рассуждение, разобраны в теме равенство треугольников.

В равностороннем треугольнике со стороной $a$ совпадают все три отрезка из каждой вершины, а их длина равна $\frac{a\sqrt3}{2}$. Центроид, центр вписанной и центр описанной окружностей — одна точка, и радиус описанной окружности составляет две трети медианы: $R = \frac{a\sqrt3}{3}$.

Миф: «в любом треугольнике медиана, биссектриса и высота из одной вершины совпадают». Это неверно: они совпадают только в равнобедренном треугольнике, если проведены к основанию. В разностороннем треугольнике это три разных отрезка, и биссектриса лежит между двумя другими.

Разбор задач

Чтобы не перепутать отрезки, в каждой задаче сначала подпишите на рисунке, что именно дано — середина стороны, равные углы или прямой угол: от этого зависит 1 из 3 разных свойств.

Задача 1. Точка пересечения медиан

Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $BO = 10$. Найдите медиану $BM$ и отрезок $OM$.

$BO$ — две части из трёх, одна часть равна 5. Значит, $OM = 5$, а $BM = 15$. Ловушка — решить, что $BO$ составляет половину медианы.

Задача 2. Деление стороны

В треугольнике $ABC$ $AB = 8$, $BC = 12$, $AC = 15$, $BL$ — биссектриса. Найдите $AL$ и $LC$.

$AL : LC = 8 : 12 = 2 : 3$, одна часть $15 : 5 = 3$, $AL = 6$, $LC = 9$. Проверка: $\frac{6}{8} = \frac{9}{12} = 0{,}75$.

Задача 3. Угол между биссектрисами

В треугольнике $ABC$ $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 50^\circ$. Лучи, делящие углы $A$ и $B$ пополам, пересекаются в точке $I$. Найдите угол $AIB$.

Половины углов — $35^\circ$ и $25^\circ$, поэтому $\angle AIB = 180 - 35 - 25 = 120^\circ$. Формула $90^\circ + \frac{\angle C}{2}$ при $\angle C = 60^\circ$ даёт то же значение.

Задачи с проверкой

Тренажёр «Задачи с проверкой» вверху страницы — 9 задач: деление в отношении 2 : 1, пропорциональные отрезки, расчёт через площадь, формула длины и вопрос о центре вписанной окружности.

Вводите число, нажимайте «Проверить», при необходимости — «Решение». Кнопка «Следующая задача →» листает задачи по кругу. В задании 15 ОГЭ подобные вопросы встречаются регулярно — для отработки номера целиком подойдёт генератор в разборе задания 15 о треугольниках.

Когда свойство отрезка не поможет

Не во всех задачах эти свойства дают ответ напрямую — вот 4 ситуации, где нужен другой инструмент.

• Если известна только 1 сторона и ни одного угла, длину высоты найти нельзя — не хватает данных.
• Если треугольник тупоугольный, 2 высоты лежат вне его, и формула через площадь работает, а «рисуночный» подход — нет.
• Если нужна длина биссектрисы, а не деление стороны, понадобится формула длины или теорема косинусов в 2 шага.
• Если отрезок проведён к стороне, но не из вершины (например, средняя линия), отношение 2 : 1 к нему не относится.

Чего делать нельзя

Нельзя приписывать отрезку чужое свойство: эта ошибка встречается чаще вычислительных.

• Нельзя делить сторону пополам точкой, в которую пришла биссектриса, если треугольник не равнобедренный.
• Нельзя делить медиану в отношении $1 : 2$ от вершины: длинная часть всегда у вершины.
• Не следует считать, что перпендикуляр из вершины всегда падает на саму сторону.
• Не следует путать центр вписанной окружности (биссектрисы) и центр описанной (серединные перпендикуляры).
• Не стоит решать утверждения задания 19 по рисунку: проверяйте каждое по определению.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Медиана и биссектриса — в чём разница?

Первая делит пополам сторону, вторая — угол. Совпадают они только в равнобедренном треугольнике при проведении к основанию.

Сколько замечательных точек у треугольника?

В школьном курсе их 4: пересечение медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров. Учебник Атанасяна^[1] рассматривает их в 8 классе вместе с вписанной и описанной окружностями.

Может ли высота совпадать со стороной?

Да — в прямоугольном треугольнике высота из вершины острого угла совпадает с катетом. Поэтому у такого треугольника лишь 1 перпендикуляр из вершины не совпадает со стороной.

Где эта тема встречается в ОГЭ?

По спецификации ФИПИ^[2] геометрия занимает задания 15–19 и 23–25. Эти отрезки есть в задании 15, в утверждениях задания 19 и в задачах второй части.

Какая формула длины биссектрисы самая простая?

Для экзамена её обычно не требуют: в задачах спрашивают деление стороны. Если длина всё же нужна, проще найти отрезки стороны по свойству и применить теорему косинусов.

Где найти задачи посложнее?

В сборнике Прасолова^[3] есть целые главы об этих отрезках — от упражнений до олимпиадных задач. Для ОГЭ достаточно типовых вариантов под редакцией Ященко^[4].