Задание 24 ОГЭ по математике: геометрическое доказательство

Что проверяет задание 24 и как его оценивают

Задание 24 — единственный номер ОГЭ, где ответом служит не число, а цепочка утверждений, каждое из которых опирается на условие или на известную теорему. По спецификации ФИПИ за него можно получить 2 первичных балла^[1].

Критерии оценивания своими словами: доказательство верное и все шаги обоснованы — 2 балла; рассуждение в целом верное, но есть неточности или пропущено обоснование одного из шагов — 1 балл; в остальных случаях — 0. Ключевое слово здесь «обосновано»: правильная идея без ссылок на факты стоит меньше, чем кажется.

Номер входит в геометрический блок вместе с заданиями 15–19, 23 и 25. Рекомендуемая шкала ФИПИ требует хотя бы 2 баллов по геометрии для положительной отметки^[2], и многие выпускники добирают их именно здесь: задачи на доказательство в ОГЭ короче, чем кажутся, — обычно 5–8 строк.

Отличие от соседнего номера простое. В задании 23 нужно вычислить величину, в задании 25 — решить многоходовую задачу повышенной сложности, а здесь — показать, почему верно уже сформулированное утверждение. Цель известна заранее, и это сильно облегчает поиск решения: можно идти от конца к началу.

Какие факты нужны чаще всего

Почти все доказательства номера опираются на 6 групп фактов: признаки равенства треугольников, признаки подобия, углы при параллельных прямых, свойства параллелограмма и трапеции, вписанные углы и свойства касательных.

Группа фактов	Что даёт в доказательстве	Типичная формулировка задачи
Признаки равенства треугольников	равные отрезки и углы	«докажите, что отрезки равны»
Углы при параллельных прямых	равные углы; обратные признаки дают параллельность	«докажите, что прямые параллельны»
Признаки подобия	пропорциональные отрезки, равные углы	«докажите, что произведения отрезков равны»
Параллелограмм и трапеция	равные противоположные стороны, свойства диагоналей	«докажите, что точка — середина стороны»
Вписанные углы	равенство углов, опирающихся на одну дугу	«докажите, что углы равны»
Касательные и площади	равные отрезки касательных, равные площади	«докажите, что площадь равна половине…»

Все эти факты есть в учебнике Атанасяна для 7–9 классов^[3], и на них можно ссылаться в доказательстве без вывода. Чаще других нужен второй признак равенства треугольников: сторона и два прилежащих угла легко получаются из параллельности и вертикальных углов, а каждый признак подобия в доказательстве обычно служит только для равенства углов. Если признаки подзабылись, начните с темы признаки равенства треугольников и углы при параллельных прямых — на них держится большинство задач.

Разбор 1: биссектрисы в параллелограмме

Это классический сюжет: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, и из двух таких треугольников складывается нужное равенство.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$ , лежащей на стороне $AD$ . Докажите, что $M$ — середина $AD$ .

Так как $BM$ — биссектриса, $\angle ABM = \angle MBC$ . Прямые $BC$ и $AD$ параллельны, $BM$ — секущая, поэтому $\angle MBC = \angle AMB$ как накрест лежащие. Значит, $\angle ABM = \angle AMB$ , треугольник $ABM$ равнобедренный и $AM = AB$ .

Аналогично доказывается равенство для биссектрисы $CM$ : $\angle DCM = \angle MCB = \angle CMD$ , треугольник $CDM$ равнобедренный, $DM = CD$ . Противоположные стороны параллелограмма равны: $AB = CD$ . Следовательно, $AM = DM$ , то есть $M$ — середина $AD$ , что и требовалось доказать.

Обратите внимание на слово «аналогично»: в доказательстве задания 24 оно допустимо, только если второй случай действительно повторяет первый с заменой букв. Если рассуждение хоть немного отличается, его нужно расписать полностью.

Разбор 2: площадь и середина боковой стороны

Если в задаче о площади фигура «неудобная», помогает дополнительное построение — оно превращает трапецию в треугольник той же площади.

Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ . Докажите, что площадь треугольника $ABE$ равна половине площади трапеции.

Продлим $AE$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $F$ . Треугольники $ADE$ и $FCE$ равны по второму признаку: $DE = CE$ по условию, $\angle AED = \angle FEC$ как вертикальные, $\angle ADE = \angle FCE$ как накрест лежащие при $AD \parallel BF$ и секущей $CD$ .

Из равенства треугольников следует, что их площади равны и $AE = EF$ . Тогда площадь трапеции равна площади треугольника $ABF$ : мы «отрезали» треугольник $ADE$ и «приложили» равный ему $FCE$ . В треугольнике $ABF$ отрезок $BE$ — медиана, а медиана делит треугольник на два равновеликих. Поэтому $S_{ABE} = \frac12 S_{ABF} = \frac12 S_{ABCD}$ , что и требовалось доказать.

Миф: «дополнительные построения в задании 24 запрещены — работать можно только с данным чертежом». Это неверно: любое построение допустимо, если оно однозначно описано словами («продлим $AE$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $F$ »). Запрета на построения в критериях не существует.

Разбор 3: параллельность через равные треугольники

Чтобы доказать параллельность, почти всегда достаточно найти пару равных накрест лежащих углов, а равенство углов получить из равенства треугольников.

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ , которая является серединой каждого из них. Докажите, что $AC \parallel BD$ .

Треугольники $AOC$ и $BOD$ равны по первому признаку: $AO = BO$ и $CO = DO$ по условию, $\angle AOC = \angle BOD$ как вертикальные. Из равенства треугольников $\angle CAO = \angle DBO$ .

Эти углы — накрест лежащие при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$ . По признаку параллельности прямых $AC \parallel BD$ , что и требовалось доказать. Всё доказательство — 4 строки, и каждая обоснована ссылкой на факт.

Как записать решение в бланк

Доказательство — это последовательность утверждений, у каждого из которых есть причина: условие, построение или теорема. Записывают его в бланк ответов № 2 обычными предложениями, без лишних сокращений.

Чертёж. Крупный, с подписями и отметками равных элементов.
Построение. Если оно есть, опишите его словами до начала рассуждения.
Цепочка. «Утверждение — потому что — факт»: например, « $\angle 1 = \angle 2$ , так как это накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ ».
Завершение. Последняя фраза повторяет требование задачи и заканчивается словами «что и требовалось доказать».

Короткая форма « $\triangle ABM$ — р/б» обычно понятна эксперту, но безопаснее писать слова полностью. Общие правила записи второй части собраны в материале как оформлять задания с развёрнутым ответом. Чек-лист вверху страницы помогает проверить рассуждение перед переносом в чистовик: отметки сохраняются в браузере, и его удобно проходить после каждой тренировочной задачи.

Миф: «если доказательство короче пяти строк, эксперт решит, что оно неполное». Не подтверждается: длина не входит в критерии. Короткое рассуждение, в котором каждый шаг обоснован, оценивается в 2 балла — как в разборе 3.

Типичные ошибки в рассуждении

Ошибки здесь бывают двух видов — логические и оформительские, и логические опаснее: из-за них балл не засчитывается целиком.

Порочный круг. В рассуждении используется то, что требуется доказать, например «так как $M$ — середина, $AM = MD$ ».
Ссылка на рисунок. «По чертежу видно, что угол прямой» — не обоснование.
Признак без элементов. «Треугольники равны» без перечисления двух сторон и угла или стороны и двух углов.
Частный случай. Рассуждение проведено для квадрата, а в условии — произвольный параллелограмм.
Перепутаны углы. Соответственные названы накрест лежащими — эксперт может счесть это ошибкой.

Простая проверка: прочитайте решение, закрыв условие. Если каждая строка понятна и следует из предыдущих, работа готова. Классический совет Пойа^[4] — после решения спросить себя, использованы ли все данные условия: если какое-то не понадобилось, возможно, в рассуждении есть пропуск.

Когда этот номер не поможет набрать баллы

Не всем стоит начинать подготовку к геометрии второй части именно с этого номера — иногда выгоднее другие номера.

Если признаки равенства треугольников не помнятся без подсказки, за 1–2 недели до экзамена надёжнее закрыть задания 15–18 первой части.
Если на одну задачу уходит больше 20 минут, а результат неубедителен, стоит сначала решить 10–15 задач с готовыми разборами.
Если цель — «3», хватает 8 баллов с 2 по геометрии из первой части, и этот номер не обязателен.
Если не получается описывать построения словами, первые 5–7 задач возьмите без дополнительных построений.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать верную идею в 0 баллов из-за записи: эксперт видит только то, что написано в бланке.

Нельзя писать «очевидно» вместо обоснования шага.
Нельзя использовать доказываемое утверждение как известный факт.
Не следует строить рассуждение на измерениях линейкой или транспортиром.
Не следует писать «аналогично», если второй случай отличается от первого.
Не стоит вводить точки и отрезки без описания, как они построены.
Не допускается ссылаться на «известные свойства» из интернета, которых нет в школьном курсе, без вывода.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Рекомендации по использованию и интерпретации результатов выполнения экзаменационных работ для проведения ГИА по образовательным программам основного общего образования в 2026 году (приложение к письму Рособрнадзора от 25.02.2026 № 02-20).

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 24?

До 2 первичных баллов. Один балл ставят, если рассуждение в целом верное, но в одном шаге пропущена причина или есть неточность.

Нужно ли выводить теоремы из учебника?

Нет. На теоремы и свойства школьного курса достаточно сослаться по названию или формулировке. Выводить нужно только то, чего в учебнике нет.

Обязательно ли писать «что и требовалось доказать»?

Строго говоря, нет, но завершающая фраза показывает эксперту, что цель достигнута. Она занимает одну строку и снимает вопрос, закончено ли рассуждение.

Можно ли опираться на вычисления?

Да, если вычисления проведены в общем виде, а не на конкретных числах. Например, равенство площадей можно получить через формулы, но подставлять «удобные» длины нельзя.

Засчитают ли решение без чертежа?

Отсутствие рисунка само по себе не снижает балл, но без него эксперт может не понять обозначения построенных точек. Рисунок занимает минуту и страхует от недоразумений.

С чего начинать, если идея не приходит?

Отметить на чертеже всё, что дано, и посмотреть на последнее утверждение: какие треугольники или углы в нём участвуют. Чаще всего ответ — найти пару равных или подобных треугольников, содержащих нужные элементы.