Кусочная функция и модуль: как считать общие точки с прямой

Что такое кусочная функция в задании 22

Кусочная функция — это одна функция, у которой на каждом промежутке своя формула: например, гипербола левее точки $x = -1$ и парабола правее неё. График складывается из кусков, и каждый кусок обрывается на границе.

В условии такая функция записывается фигурной скобкой с указанием промежутков. Граничная точка принадлежит ровно одному куску — тому, где стоит нестрогое неравенство $\le$ или $\ge$. На чертеже она закрашена на этом куске и показана пустым кружком на другом, если другой кусок до неё «дотягивается».

Функции с модулем устроены так же. Модуль раскрывают по определению: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$. После этого одна формула превращается в две, и график снова строится по участкам. Общий алгоритм номера и разборы с дробями собраны на странице задание 22 ОГЭ целиком, здесь — только кусочные и модульные сюжеты.

По спецификации ФИПИ задание 22 оценивается в 2 первичных балла^[4], и для кусочной функции критерии оценивания те же, что для любой другой: 1 балл за верно построенный график, ещё 1 — за полный и верный набор значений $m$. Отсюда приоритет: сначала безупречный чертёж всех кусков с граничными точками, потом анализ прямой. Определение модуля и правила работы с промежутками входят в школьный учебник алгебры, поэтому в решении на них ссылаются без пояснений.

Как строить график по участкам

Чтобы не запутаться, кусочную функцию строят в 4 шага: каждый кусок отдельно, с таблицей значений, а затем внимательно — граничные точки.

1. Разметка оси. Отметьте на оси $x$ границы промежутков пунктирными вертикалями. Левее и правее каждой границы действует своя формула.
2. Каждый кусок. Определите вид кривой: прямая, парабола, гипербола. Для параболы найдите вершину и проверьте, попадает ли она на свой участок, — если нет, на графике её не будет.
3. Граница. Вычислите значение каждой из формул в граничной точке. Совпали — график непрерывен, кусочки стыкуются. Не совпали — будет скачок: закрашенная точка на одном куске и пустой кружок на другом.
4. Чистовик. Сотрите вспомогательные части кривых за пределами участков: оставлять «хвосты» парабол на чужих промежутках нельзя.

Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$, которая есть в учебнике алгебры 9 класса Макарычева^[2]. В решении на экзамене эту формулу можно использовать как известную из учебника без вывода. Для прямых хватает двух точек на участке, но одну из них разумно брать именно на границе.

Разбор: гипербола и парабола на разных участках

Если одна часть кусочной функции — гипербола, у графика появляется асимптота, и значение, к которому кривая приближается, но которого не достигает, становится кандидатом в ответ.

Постройте график функции $y = \begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x < -1, \\ (x - 1)^2, & x \ge -1, \end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Левый кусок — часть гиперболы во второй четверти. При $x \to -\infty$ значения стремятся к нулю, оставаясь положительными, а при приближении к $x = -1$ растут к 4, но значения 4 не достигают: точка $x = -1$ этому куску не принадлежит. Итак, левый кусок даёт все значения из интервала $(0; 4)$, по одному разу.

Правый кусок — парабола с вершиной $(1; 0)$. В граничной точке $y(-1) = (-1 - 1)^2 = 4$, и эта точка закрашена. Значит, на участке $x \ge -1$ парабола спускается от $(-1; 4)$ к вершине и поднимается неограниченно. Гипербола подходит к той же высоте 4, поэтому график выглядит непрерывным.

Считаем общие точки. При $m < 0$ их нет. При $m = 0$ — одна, вершина параболы. При $0 < m < 4$ — три: одна на гиперболе и две на параболе. При $m = 4$ — две: $(-1; 4)$ и $(3; 4)$, гипербола этого уровня не достигает. При $m > 4$ — одна, на правой ветви параболы.

Ответ: $m = 0$ и $m > 4$. Для самопроверки решите уравнения при $m = 5$: гипербола дала бы $x = -0{,}8$, а это не меньше $-1$ — корень не входит в участок; парабола даёт $x = 1 \pm \sqrt5$, и только $1 + \sqrt5$ не меньше $-1$. Одна точка — всё сходится. Свойства левого куска разобраны в теме гипербола и обратная пропорциональность.

Миф: «если формулы на границе дают одинаковые значения, границу можно не проверять». Это неверно: совпадение значений означает лишь, что скачка нет. Какой кусок «владеет» граничной точкой и не меняется ли там число пересечений, всё равно нужно выяснить — в разборе выше именно уровень 4 дал отдельный случай.

Модуль внутри формулы: две параболы

Функция вида $y = x|x| + p|x| + qx$ после раскрытия модуля — это две разные параболы: одна на луче $x \ge 0$, другая на луче $x < 0$, склеенные в начале координат.

Постройте график функции $y = x|x| - 2|x| - 3x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

При $x \ge 0$ модуль равен $x$: $y = x^2 - 2x - 3x = x^2 - 5x$. Это парабола ветвями вверх с вершиной $(2{,}5; -6{,}25)$, вершина лежит на своём участке. При $x < 0$ модуль равен $-x$: $y = -x^2 + 2x - 3x = -x^2 - x$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $(-0{,}5; 0{,}25)$, и вершина тоже попадает на участок.

Обе формулы в точке $x = 0$ дают $0$, так что график непрерывен. Слева он поднимается из $-\infty$ к вершине $(-0{,}5; 0{,}25)$, опускается через $(-1; 0)$ и $(0; 0)$ к нижней вершине $(2{,}5; -6{,}25)$ и уходит вверх через $(5; 0)$.

Прямая $y = m$ пересекает такой «зигзаг» три раза при $-6{,}25 < m < 0{,}25$, два раза — ровно на уровнях вершин, и один раз выше верхней или ниже нижней вершины. Ответ: $m = -6{,}25$; $m = 0{,}25$.

Частая ошибка здесь — изменить знак перед $3x$ при переходе к отрицательным $x$, хотя это слагаемое остаётся прежним. Правила повторите в теме модуль числа и уравнения с модулем.

Модуль всей функции: отражение вверх

Если модуль стоит снаружи, как в $y = |f(x)|$, график строят в 2 действия: рисуют $y = f(x)$ и отражают всё, что ниже оси $x$, симметрично вверх.

Возьмём $y = |x^2 - 2x - 3|$. Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ пересекает ось в точках $-1$ и $3$, её вершина $(1; -4)$. Участок между корнями отражается, и вершина переходит в $(1; 4)$. Получается кривая в форме буквы «М» с «провалами» до нуля.

Такая таблица — удобная форма обоснования в бланке: эксперт видит, что все уровни, где меняется число пересечений, рассмотрены. Такая функция никогда не принимает отрицательных значений, поэтому значения $m < 0$ отбрасываются сразу.

Как найти все критические значения m

Число общих точек с прямой $y = m$ может меняться только на особых уровнях — их 4 вида: вершины кусков, значения на границах участков (с обеих сторон), уровни асимптот и уровни выколотых точек.

Практический приём: выпишите эти уровни в порядке возрастания и проверьте каждый уровень и каждый интервал между ними. В первом разборе уровни были $0$ и $4$ (плюс асимптота $y = 0$ у гиперболы), то есть 5 случаев. Пропустить случай при такой записи почти не выйдет. Этот же приём рекомендован в типовых вариантах под редакцией Ященко^[3]: в разборах ответ к номеру всегда опирается на перечень особых значений.

Миф: «у функции с модулем график всегда симметричен относительно оси $y$». Не подтверждается: симметрия бывает только у функций вида $f(|x|)$. У разобранной выше функции $y = x|x| - 2|x| - 3x$ вершины лежат на разных высотах, и никакой симметрии не существует.

Построитель графиков: тренировка зрения

«Построитель графиков» вверху страницы — это координатная плоскость с ползунками для графика вида «уголок»: двигая их, вы видите, как «уголок» сдвигается, растягивается и переворачивается.

Используйте его как тренажёр «зрения» на критические уровни. Выставьте график, затем мысленно ведите прямую $y = m$ снизу вверх и назовите вслух число пересечений на каждом участке. Через 5–6 таких упражнений уровни вершин и изломов начинают «бросаться в глаза» и на бумажном чертеже. Если нужны другие виды кривых, откройте построитель графиков онлайн со всеми типами функций.

Учтите ограничение: построитель рисует одну формулу и не делает пустых кружков. Граничные точки кусочных функций и выколотые точки на экзамене нужно отмечать самостоятельно, и именно за их отсутствие теряют балл чаще всего.

Когда этот приём не поможет

Не любую трудность с кусочными графиками снимает тренировка именно этого типа — иногда проблема в базовых навыках.

• Если вершину параболы удаётся найти верно меньше чем в 4 случаях из 5, сначала отработайте квадратичную функцию отдельно.
• Если знаки при раскрытии путаются хотя бы в 1 задаче из 3, вернитесь к определению и простым уравнениям.
• Если до экзамена меньше 2 недель и задания 20–21 ещё не освоены, они принесут балл быстрее, чем этот тип графиков.
• Если цель — «3» (8 баллов), вторую часть, включая этот тип, можно не готовить вовсе.

Чего делать нельзя

Нельзя путать «нарисовано красиво» и «нарисовано верно»: в кусочных графиках решают детали на границах.

• Нельзя оставлять части кривых за пределами их участков.
• Нельзя закрашивать граничную точку на обоих кусках, если она принадлежит только одному.
• Не следует раскрывать модуль «на глаз», без явной записи двух случаев $x \ge 0$ и $x < 0$.
• Не следует рисовать вершину параболы, если она не попадает на свой участок.
• Не стоит записывать ответ без перечня проверенных уровней $m$.
• Не допускается заменять график таблицей значений без рисунка — построение обязательно.

Источники

[1] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[3] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

Вопросы и ответы

Как часто в задании 22 встречаются кусочные функции?

Это один из основных сюжетов номера наряду с дробями, которые сокращаются до параболы или гиперболы. Демоверсия ФИПИ^[1] показывает лишь один образец, поэтому готовиться стоит ко всем видам.

Нужно ли отдельно доказывать, что график непрерывен?

Достаточно вычислить значения обеих формул в граничной точке и записать их. Если они равны, этого хватает как обоснования стыковки кусков.

Что делать, если вершина параболы вне участка?

Тогда на этом участке парабола монотонна, и вершина в ответе не участвует. Особым уровнем становится значение функции на границе участка.

Можно ли решать без графика, только уравнениями?

Для поиска значений $m$ можно, но первый балл ставится именно за построенный график. Без рисунка за решение ставится 0 баллов.

Как записать ответ, если подходит промежуток?

Неравенством или промежутком: «$m = 0$ или $m > 4$», или $m \in \{0\} \cup (4; +\infty)$. Обе записи равноправны.

Сколько таких графиков построить для уверенности?

Ориентир — 15–20 графиков разных видов: по 5–7 каждого из трёх видов, разобранных выше. Лучше распределить их на 2–3 недели, чем строить все за один вечер.